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,理解复数的基本概念/理解复数相等的充要条件/了解复数的代数表示法及其几何意义/会进行复数代数形式的四则运算/了解复数代数形式的加减运算的几何意义,第4课时 数系的扩充与复数的引入,1了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，对于复数概念与运算，注意避免烦琐的计算与技巧的训练,2虚数单位i的引入，使数的概念扩充到复数范围，理解好扩充原则和复数的有关概念是解决简单复数问题的关键；复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,3高考对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的几何意义，一般是填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势,【命题预测】,1复数的代数形式,z,a,b,i(,a,，,b,R)是表示复数,z,的最基本形式，在求满足条件的复数,z,时，常常把,z,设为,a,b,i(,a,，,b,R)后，再根据条件列方程分别求出,a,，,b,的值,2要求熟练掌握并能灵活运用以下结论：,(1)复数相等的充要条件：,a,b,i,c,d,i(,a,，,b,，,c,，,d,R),a,c,，且,b,d,.,(2)复数,z,a,b,i(,a,，,b,R)是实数的充要条件：,z,a,b,iR,b,0(,a,，,b,R)或,z,R,z,.,【应试对策】,(3)一个非零复数是纯虚数的充要条件：,z,a,b,i是纯虚数,a,0且,b,0(,a,，,b,R)，或,z,是纯虚数,z,0,且,z,0.,3复数问题的基本解题策略：(1)复数问题实数化，设,z,a,b,i(,a,，,b,R)，利用复数相等的条件，把复数关系转化为实数关系求解；(2)利用整体思想：如,z,|,z,|,2,|,2,.,复数的三角形式,设复数,z,在复平面内对应的点为,Z,，,是以,x,轴的非负半轴为始边，以,OZ,为终边的角，则,z,r,(cos,isin,),叫复数,z,的三角形式,当,r,0,时,，,叫做复数,z,的辐角，复数,0,的辐角是任意角,【知识拓展】,1虚数单位i的性质,(1)i,2,1；,(2),实数可以与,i,进行四则运算,，,进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立,2复数的概念及分类,(1),概念,：,形如,a,b,i(,a,，,b,R),的数叫复数,，,其中,a,，,b,分别为它的,和,实部,虚部,(3)相等复数：,a,b,i,c,d,i,a,c,，,b,d,(,a,，,b,，,c,，,d,R),思考：,任意两复数能比较大小吗？,提示：,不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小,b,0,b,0,a,0，,b,0,3,复数的加、减、乘、除运算法则,设,z,1,a,b,i，,z,2,c,d,i(,a,，,b,，,c,，,d,R)，则,(1)加法：,z,1,z,2,(,a,b,i)(,c,d,i),；,(2)减法：,z,1,z,2,(,a,b,i)(,c,d,i),；,(3)乘法：,z,1,z,2,(,a,b,i)(,c,d,i),.,(4)乘方：,z,m,z,n,z,m,n,，(,z,m,),n,z,mn,，(,z,1,z,2,),n,(,a,c,)(,b,d,)i,(,a,c,)(,b,d,)i,(,ac,bd,)(,ad,bc,)i,4复平面的概念,建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,叫做实轴,，,叫做虚轴实轴上的点都表示,；,除原点外，虚轴上的点都表示纯,复数集,C,和复平面内,组成的集合是一一对应的，复数集,C,与复平面内所有以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的,5共轭复数,把,相等,，,相反的两个复数叫做互为共轭复数，复数,z,a,b,i(,a,、,b,R),的共轭复数记做,，,即,(,a,，,b,R),实数,x,轴,y,轴,虚数,所有的点,实部,虚部,a,b,i,6复数的模,向量,的模叫做复数,z,a,b,i(,a,，,b,R),的模,(,或绝对值,)，,记作,或,，,即,|,z,|,a,b,i|,.,7复平面内两点间距离公式,两个复数的,就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离,设复数,z,1,，,z,2,在复平面内的对应点分别为,Z,1,，,Z,2,，,d,为点,Z,1,和,Z,2,的距离,，,则,d,.,|,z,|,|,a,b,i|,|,z,1,z,2,|,差的模,11 的虚部是_,解析：,1 1i，其虚部为1.,答案：,1,2,(南京市高三调研),若将复数(1i)(12i),2,表示为,p,q,i(,p,，,q,R，i是虚数单位)的形式，则,p,q,_.,解析：,因为(1i)(12i),2,(1i)(14i4)(1i)(4i3)17i，所以,p,q,8.,答案：,8,4,(盐城市高三调研),设复数,z,3i，则|,z,|_.,解析：,|,z,|,答案：,5,(苏北四市高三联考),在复平面内，复数,z,(i是虚数单位)对应的点位于第_象限,解析：,因为,z,，所以复数对应的点位于第一象限,答案：,一,3,(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查),复数(2i)i在复平面上对应的点在第_象限,解析：,(2i)i12i，所以应填二,答案：,二,2处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题,【例1】,m,为何实数时，复数,z,m,2,(8,m,15)i,(1),为实数,；(2),为虚数,；(3),为纯虚数,；(4),对应点在第二象限,思路点拨：,根据复数分类的条件和复数的几何意义求解,解：,由已知整理得,z,(,m,2,8,m,15)i.,所以(1),z,为实数,m,2,8,m,150，且,m,5,0,m,3；,(2),z,为虚数,m,3且,m,5；,(3),z,为纯虚数,m,2；,(4),z,对应的点在第二象限,m,5或3,m,2.,变式1：(苏州市高三教学调研),已知复数,z,1,12i，,z,2,1,a,i(i,是虚数单位,)，,若,z,1,z,2,为纯虚数，则实数,a,_.,解析：,z,1,z,2,(12i)(1,a,i)12,a,(2,a,)i，若,z,1,z,2,为纯虚数，则有12,a,0,2,a,0，,故有,a,.,答案：,变式2：(南京市高三期末调研),复数,z,对应的点在第_象限,解析：,z,1i.其对应的点的坐标为(1,1)，,所以点在第二象限,答案：,二,1,a,b,i,c,d,i,(,a,，,b,，,c,，,d,R),2利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式,【例2】,已知关于,x,的方程,x,2,(,k,2i),x,2,k,i0,有实根，求这个实根以及实数,k,的值,思路点拨：,首先假设实根为,x,0,，然后利用复数相等的充要条件建立方程组求解复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题加以解决的重要途径和手段,解：,设,x,0,为方程,x,2,(,k,2i),x,2,k,i0的实根，,则,x,(,k,2i),x,0,2,k,i0，,变式3：,下列条件中，使复数,z,为实数的充分而不必要条件是,_,z,2,为实数,z,为实数,z,|,z,|,z,答案：,1在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度,(1)(1i),2,2i；(2)(1i),2,2i；(3)i；(4)i；(5),b,a,ii(,a,b,i)；(6)i,4,n,1，i,4,n,1,i，i,4,n,2,i，i,4,n,3,i，,n,N.,2复数的四则运算类似于多项式的四则运算此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧,思路点拨：,(1)注意到式中隐含1i，故可考虑利用(1i),2,2i，以及,的运算性质简化运算，但需要先对式子进行变形,(2)直接利用多项式的乘法和除法运算比较繁琐，注意分析分子、分母的特征，把分子、分母转化为,的形式，就可以带来化简的方便,变式4：(南通市高三调研),若复数,z,满足,z,i2i(i,是虚数单位,)，,则,z,_.,解析：,由题意可得,z,12i.,答案：,12i,变式5：(盐城市高三调研),设,(3i),z,10i(i,为虚数单位,)，,则,|,z,|_.,答案：,1复数的加、减、乘法运算类似多项式的运算，虚数单位的乘方结果呈周期性的变化，复数的除法通过分母实数化转化为乘法运算,2对于简单的复数乘方运算，可以利用二项式定理进行运算，特殊的可利用：,(1)(1i),2,2i；,(2)若,，则,3,n,1，,3,n,1,，,3,n,2,，,n,N.,3在复数集中分解因式，对于,x,的多项式，都可分解为,x,的一次因式，分解因式与对应方程解的关系与实数集中分解因式与对应方程解的关系是一样的,4可利用复数的代数形式，根据复数相等的定义进行复数的开平方运算.,【,规律方法总结,】,【例4】(2009江苏卷),若复数,z,1,429i，,z,2,69i，,其中,i,是虚数单位,，,则复数,(,z,1,z,2,)i,的实部为,_,分析：,正确理解复数的实部与虚部的定义，即对于,z,a,b,i(,a,，,b,R)，其实部为,a,.本题中，首先对算式进行四则运算，化为最简形式，再确定其实部,【,高考真题,】,规范解答：,因为,(,z,1,z,2,)i(220i)i202i，,所以可知复数,(,z,1,z,2,)i,的实部为,20.,故填,20.,答案：,20,【课本探源】,本题考查了复数的四则运算法则，复数的定义以及复数的实部与虚部的概念等在苏教版选修22中，P,104,例1就是要求写出已知复数的实部与虚部此类题目考查的较为简单，一般难度和课本相当，所以备考中以课本中的例题习题为主即可,【,全解密,】,【知识链接】,对于复数,z,a,b,i(,a,，,b,R)，,a,称为实部，,b,称为虚部，在复平面上，如将实部作为横坐标，虚部作为纵坐标，则所有的复数与有序实数对可建立一一对应关系，构成点或点集如,x,轴(实轴)表示所有实数组成的点集，,y,轴(虚轴)表示所有纯虚数组成的点集(除原点外),【发散类比】,因本题的实部为20，虚部为2，可得到复数(,z,1,z,2,)i表示的点位于第三象限，这也是高考中的一种常见题型.,1复数,z,的虚部是_,答案,：1,2设,z,i，则,z,3,_.,答案,：1,点击此处进入 作业手册,
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