闭区间连续函数性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,闭区间上连续函数的性质,一、函数的一致连续性,一致连续的概念,证,证,于是,证,在,（0,1,上，,注,如果是开区间，或者是无穷区间，则上述结论未必成立.,上连续,则,上一致连续.,定理,（一致连续性定理）,若函数,f,在闭区间,(i)最大值与最小值的概念,定义,1,对于在区间,D,上有定义的函数,f,(,x,),，,如果有,x,0,D,，,使得对于任意,x,D,都有,f,(,x,),f,(,x,0,)(,f,(,x,),f,(,x,0,),则称,f,(,x,0,)是函数,f,(,x,)在区间,D,上的,最大值(最小值),最大值与最小值举例:,例如,函数,f,(,x,)=1+sin,x,在区间0,2,p,上有最大值 2 和最小值 0,二 闭区间连续函数的性质,1.最值定理和有界性定理,再如,函数,y,=sgn,x,在区间(,+,)内有最大值1和最小值1,但在开区间(0,+,)内,，,它的最大值和最小值都是1,注,并非任何函数都有最大值和最小值,例如，,函数,y,=,x,在开区间(,a,b,)内既无最大值又无最小值,(ii),最大值和最小值定理,定理,在闭区间,a,b,上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,又至少有一点,x,2,至少有一,定理,说明,如果函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,，,那么,点,x,1,a,b,，,使,f,(,x,1,)是,f,(,x,)在,a,b,上的最大值,，,a,b,，使,f,(,x,2,)是,f,(,x,)在,a,b,上的最小值,该定理可用确界原理证明，参见P69,注,如果函数仅在开区间内连续,，,或函数在闭区间上有间断点,，,那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,例如,，,函数,y,=,x,在开区间(,a,b,)内既无最大值又无最小值,又如,，如下,函数在闭区间0,2内既无最大值又无最小值,推论(有界性定理,P76),在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,证,(补充),设函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,根据定理4.6,存在,f,(,x,)在区间,a,b,上的最大值,M,和最小值,m,使任一,x,a,b,满足,m,f,(,x,),M,上式表明,f,(,x,)在,a,b,上有上界,M,和下界,m,因此函数,f,(,x,)在,a,b,上有界,2.,根的存在,定理与介值定理,其中：如果,x,0,使,f,(,x,0,),=,0，,则,x,0,称为函数,f,(,x,)的,零点,定理,2.4.8(根的存在,零点,定理),设函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,，,且,f,(,a,)与,f,(,b,)异号,，,那么在,开区间(,a,b,)内至少存在一点,x,0,，,使,f,(,x,0,),=,0,几何解释:,例,证明方程,x,3,-,4,x,2,+,1,=,0 在区间(0,1)内至少有一个根,证,设,f,(,x,),=,x,3,-,4,x,2,+,1,，则,f,(,x,)在闭区间0,1上连续,，,并且,f,(0),=,1 0，,f,(1),=-,2 0,根据根的存在定理,，,在(0,1)内至少有一点,x,0,，使得,f,(,x,0,),=,0,，,即,x,0,3,-,4,x,0,2,+,1,=,0,这说明方程,x,3,-,4,x,2,+,1,=,0 在区间(0,1)内至少有一个根是,x,0,证,由,根的存在,定理，,定理(介值性定理),设函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,，,且,f,(,a,),f,(,b,),，,则对于,f,(,a,)与,f,(,b,)之间的任意实数,，,在开区间(,a,b,)内至少有一点,x,0,，,使得,f,(,x,0,)=,即 ,f,(,a,),f,(,b,),f,(,a,b,).,推论2(P76),在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,M,与最小值,m,之间的任何值,即,m,M,=,f,(,a,b,).,几何解释:,证(推论2),2.4.,3,连续函数在极限计算中的应用,解,例,解,同理可得,解,