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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2014-10-4,#,4.1,李雅普诺夫稳定性定义,4.2,李雅普诺夫第一法,4.3,李雅普诺夫第二法,4.4,李雅普诺夫方法在线性系统中的应用,第,4,章 稳定性与李雅普诺夫方法,4.1,李雅普诺夫稳定性定义,稳定性是指系统在平衡状态受到扰动后，系统自由运动的性质。,对于,线性定常系统,，通常只存在唯一一个平衡状态，因此将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。,对于其它系统，平衡点不止一个，系统中不同的平衡点有着不同的稳定性，只能讨论某一平衡状态的稳定性。,一、平衡状态,令,u=0,，系统的状态方程为,f(xe,，,t,）,=0,若对所有的,t,，状态,x,满足,，,则,称该状态,x,为平衡状态，记为,xe,。,x(t,0,)=x,0,由平衡状态,xe,在状态空间中所确定的点，称为平衡点。,系统的平衡状态应满足,Ax,e,=0,当,A,为非奇异，则存在唯一一个平衡状态,xe=0,。,当,A,为奇异，则有无穷多个平衡状态。,对于线性定常系统，其状态方程为,对于非线性系统，方程,f,(,x,e,，,t,)=0的解可能有多个，,即可能有多个平衡状态.,例,4.1,因此该系统有三个平衡状态,二、范数的概念,在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用x表示，则：,向量（,x,xe,）范数可写成：,表示矢量,x,与平衡状态,xe,的距离,则称平衡状态,x,e,是,稳定,的。,若,与,t,0,无关，则称平衡状态,x,e,是,一致稳定,的。,从任意初始状态,x,0,出发所对应的解,x,，满足,1,.,稳定,2.,渐近稳定,则称平衡状态,xe,是渐近稳定的。,且对于任意小,0,，总有,若对任意给定的实数,0,，总存在,(,t,0,)0,，使得,x,0,x,e,(,t,0,),的任意初始状态,x,0,所对应的解,x,，在所有时间内都满足,x,x,e,（,t,t,0,）,x,1,x,2,x,e,S,(,),S,(,),x,0,x,若平衡状态,x,e,是稳定的，即当,t,无限增大时，状态轨迹不超过 ，且最终收敛于,x,e,，则称平衡状态,x,e,渐近稳定。,3.,大范围渐近稳定,在整个状态空间中，对所有初始状态,x,0,出发的轨迹都具有渐近稳定，则系统的平衡状态,x,e,是大范围渐近稳定的。,注：,（,1,）由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收敛于,x,e,，因此系统只能有一个平衡状态，这也是大范围渐近稳定的必要条件。,（,2,）对于线性定常系统，当,A,为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态,xe=0,。所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。,（,3,）对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定。,如果对于某个实数,0,和任一实数,0,，在球域,S(),内总存在一个初始状态,x,0,，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将超出球域,S(),，则称该平衡状态是不稳定的。,4.,不稳定,球域S()限制初始状态,x,0,取值，球域S()规定了系统状态轨迹的边界。因此，,（1）如果x(t)有界，则,xe稳定；,（2）,如果x(t)有界且 ，则xe渐近稳定；,（3）如果x(t)无界，则xe不稳定；,（4）经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称为,稳定系统；只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是,渐近稳定的系统则称为临界稳定系统。,总结,：,4.2,李雅普诺夫第一法,利用系统的特征值或微分方程及状态方程解的性质来判断系统的稳定性。,它适用于,线性定常系统,、,线性时变系统,及,非线性系统可以线性化,的情况。,一、线性定常系统的稳定判据,1.,线性定常系统,线性定常系统，,平衡状态渐近稳定,的充要条件是,A,的特征值均具有负实部，即,Re(,i,)0，那么,v,(,x,)为正定；,如果,v,(,x,)0，那么,v,(,x,)为正半定；,如果,v,(,x,)0；,当,v,(,x,)是,负定,的，称,P,是,负定,的，记为,P,0,系统在,xe=0,处是渐近稳定的。,又当,x,时，,v(x),，故,xe=0,也是大范围渐近稳定,解：,平衡状态,xe,在李雅普诺夫意义下是稳定的,.,不会恒等于零,如选李雅普诺夫函数为,即是负定的，所以系统在,xe=0,处是渐近稳定的。,对于一个给定的系统，判定渐近稳定的李氏函数不是唯一的。,解：原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为：,v(x)=x,1,2,+4x,2,2,0,例,4-5,：设系统的状态方程为,试确定系统平衡状态的稳定性。,在任意,x,值上均保持为零。因此，系统在,xe=0,处是稳定的，但不是渐近稳定的。,解：原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为：,系统在,xe=0,处是不稳定的。,例,4-6,：设系统的状态方程为,试确定系统平衡状态的稳定性。,1,、线性定常连续系统渐进稳定判据,设线性定常连续系统为：,则平衡状态 为大范围渐近稳定的充要条件是：,A,的特征根均具有负实部。,矩阵,A,的所有特征根均具有负实部，,等价于,存在对称矩阵,P0,，使得,A,T,P+P,T,A0,4.,4,李雅普诺夫方法在线性系统中的应用,通常选定,Q,阵为单位矩阵,I,若 沿任一轨迹不恒等于零，那么,Q,可取为半正定的。,考研真题,考研真题（,2008,年第,7,题）：,
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