姜启源-数学模型第五版-第1章

,用数学方法解决任何一个实际问题，都必须在实际与数学之间架设一座,桥梁,.,数学,各门科学的,基础,；社会进步的,工具,.,解决过程,实际问题转化为数学问题；,数学问题的求解；数学解答回归实际问题,.,这个全过程称为,数学建模,为实际问题建立数学模型,.,第,一,章 建立数学模型,1.1,从,现实对象到数学模型,1.2,数学,建模的重要,意义,1,.3,建模,示例之一,包饺子,中的数学,1,.4,建模,示例之,二 路障,间距的设计,1,.5,建模,示例之,三 椅子,能在不平,的,地面上,放稳吗,1,.6,数学,建模的基本方法和步骤,1,.7,数学模型,的特点和,分类,1.8,怎样学习,数学建模,学习课程,和参加竞赛,第,一,章,建立数学模型,玩具、照片、飞机、火箭模型,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型,是为了一定目的，对客观事物的,一部分,进行简缩、抽象、提炼出来的,原型,的替代物,.,模型,集中反映了,原型,中人们需要的那一部分特征,.,1.1,从现实对象到数学模型,我们常见的模型,你碰到过的数学模型,“,航行问题”,用,x,表示船速，,y,表示水速，列出方程：,答：船速为,20km/h,.,甲乙两地相距,750km,，船从甲到乙顺水航行需,30h,，,从乙到甲逆水航行需,50h,，问船的速度是多少,?,x,=,20,y,=,5,求解,航行问题,建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）,用符号表示有关量（,x,y,分别表示船速和水速）,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以,时间）列出数学式子（二元一次方程）,求解得到数学解答（,x,=20,y,=5,）,回答原问题（船速,为,20km/h,）,数学模型,(Mathematical Model),和,数学建模（,Mathematical Modeling),对于一个,现实对象,，为了一个,特定目的,，,根据其,内在规律,，作出必要的,简化假设,，,运用适当的,数学工具,，得到的一个,数学表述,.,建立数学模型的全过程,（包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,欧几里德,几何原本,光反射定律,阿基米德,浮力定律,杠杆原理,伽利略,牛顿,落体定律,惯性原理,万有引力定律,微积分,数学建模历史悠久,直到,20,世纪后半叶数学建模才逐渐得到普遍重视和广泛应用，并且进入大学的课堂,.,1.2,数学建模的重要意义,计算机技术的出现和迅速,发展,为,数学建模的,应用,提供,了强有力的工具,.,数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质,等,领域,，为数学建模开拓了许多新的处女地,.,科技进步与社会发展的推动,高新技术中数学建模与科学计算是必不可少的,手段,数学,科学是关键的、普遍的、可应用的技术,.,数学建模引入教学顺应时代发展的潮流,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,如虎添翼,为教育改革注入强大活力,数学教育本质上是一种,素质教育,.,数学教育应培养两种能力：,算数,学,(,计算,、推导,、,证明,),和,用,数学,(,分析,、解决实际问题,).,传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者,.,让学生参加将数学,应用于实际,的尝试,参与,发现,和,创造,的过程,.,数学建模引入教学,符合教育改革的需要,传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者,.,通常，,1kg,馅,1kg,面,包,100,个饺子,.,问题,分析,直观认识,“大饺子包的馅多”,!,但是：,“用的面皮也多”,!,需要比较,：,饺子从小变大时,馅和面,增加,的数量关系,.,今天，馅比,1kg,多,1kg,面,不变,要,把馅包完,.,应多包几,个,(,每个小些,),还是,少包几,个,(,每个大些,),？,1.3,建模,示例之一,包饺子,中的数学,体积,V,、面积,S,一个大饺子,V,和,nv,哪个大,?,S,V,V,比,nv,大多少,?,定性分析,定量结果,分析,建立,馅,、,皮与数学概念,的,联系,：,馅,体积,，,皮,表面积,体积,v,、,面积,s,n,个小饺子,s,s,s,v,v,v,1.,皮的厚度一样,2.,饺子的形状一样,两个,k,1,(,及,k,2,),一样,R,大皮半径,r,小皮半径,(1),(2),(3),假设,建模,消去,S,s,k,体积与面积的联系,半径（特征半径）,解释,V,比,nv,大,(,n,1),大饺子包得馅,多,.,定性分析,定量结果,若,100,个饺子包,1kg,馅,50,个饺子能包多少馅？,应用,n,1,=100,n,2,=50,50,个饺子能包,1.4kg,馅,.,n,1,v,1,=1(kg),n,2,v,2,=?,n,2,v,2,=,讨论,饺子数量减少一倍，真的就能,多包,40%,的,馅,吗？,饺子越大，面皮应该越厚,.,若,100,个饺子包,1kg,馅,50,个饺子能,包,1.4kg,馅,.,可以对,“皮的厚度随着半径变大而,增加”,的数量关系作出,合理、简化的假设,，重新建模,.,“,皮,的厚度,一样”的假设值得探讨！,用,数学语言,(,体积和表面积,),表示现实对象,(,馅和皮,).,作出简化、合理的,假设,(,厚度一样，形状一样,).,利用问题蕴含的内在,规律,(,体积和表面积与半径,间,的,几何关系,).,包饺子建模过程的基本、关键步骤,日常生活,中有哪些可用,这个,模型解释,的,现象？,校园、居民小区道路需要,限制车速,设置路障,限制车速,40km/h,相距,多远设置一个路障？,汽车过路障,时速度,接近,零,过,路障,后,加速,.,车速达到,40km/h,时让司机看到下,一路障而,减速,至,路障处车速又接近,零,.,如此循环以达到,限速,的,目的,.,背景,问题,分析,1.4,建模,示例之二,路障,间距的设计,加速度、减速度：,方法一 查阅资料,方法二 进行测试,速度（,km/h,）,0,10,20,30,40,时间（,s,）,0,1.6,3.0,4.2,5.0,加速行驶,的测试数据,减速行驶,的测试数据,速度（,km/h,）,40,30,20,10,0,时间（,s,）,0,2.2,4.0,5.5,6.8,相邻路障之间汽车作,等加速运动,和,等,减速运动,.,假设,路障间距的设计,加速行驶：距离,s,1,，时间,t,1,加速度,a,1,减速行驶：距离,s,2,，时间,t,2,减速度,a,2,限速,v,max,相邻路障间行驶总距离,给定,v,max,，由测试数据估计,a,1,，,a,2,，,建模,s,=,路障间距,路障间距的设计,t,=,cv,+,d,最小二乘法,设计路障间距,67m,大致线性关系,计算,减速行驶,v,t,加速行驶,v,t,测试,数据作图,a,1,=1/,c,1,，,a,2,=-1/,c,2,d,1,d,2,0,1m/s=,3.6km/h,v,max,=11.1(m/s),c,1,=0.4536,，,c,2,=-0.6084,，,s,=65.5556(m),66.5,估算,(s,2,/m),(s,2,/m),40,7,5,40,作出简化、合理的,假设,(,等,加速和等减速,行驶,).,利用问题蕴含的内在,规律,(,时间,、距离、速度,、,加速度,之间的物理,关系,).,路障设计,中还有可用,数学建模研究的,问题吗？,路障间距建模过程的基本、关键步骤,根据测试数据,估计,模型的,参数,(,加速度,和减速,度,).,问题,不平的地面上的椅子，,通常三只脚着地,放不稳！,讨论椅子能放稳的条件,.,挪动几下，,使,四只脚,着地,椅子放稳,！,1.5,建模示例之三,椅子,能在不平,的地面上放稳吗,模型假设,四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈,正方形,.,地面高度连续变化,可视为数学上的,连续曲面,.,地面相对平坦,椅子在任意位置,至少三只脚着地,.,椅子,能在不平的地面上放稳吗,模型建立,椅子,位置,利用正方形,(,椅脚连线,),的对称性,.,x,B,A,D,C,O,D,C,B,A,用,表示,椅子位置,.,四,只脚着地,距离是,的,函数,.,四个距离,(,四只脚,),A,C,两脚与地面距离之和,f,(,),B,D,两脚与地面距离之和,g,(,),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形,ABCD,绕,O,点旋转,对称性,f,(,),g,(,),是,连续函数,对任意,f,(,),g,(,),至少一个为,0,已知：,f,(,),g,(,),连续,对任意,f,(,),g,(,)=0,且,g,(,0,)=,f,(,/2,)=,0,f,(,0,)0,g,(,/2,)0.,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,g,(,0,)=0,，,f,(,0,)0,，,f,(,/2,)=0,g,(,/2,)0.,模型建立,椅子旋转,90,0,对角线,AC,和,BD,互换,证明：存在,0,，使,f,(,0,)=,g,(,0,)=0.,一种简单的证明方法,2,）由,f,g,连续可得,h,连续,.,1,）令,h,(,)=,f,(,),g,(,),则,h,(0)0,，,h,(,/2,)0.,4,）因为,f,(,0,),g,(,0,)=0,所以,f,(,0,)=,g,(,0,)=0.,模型求解,3,）据连续函数的基本性质,必存在,0,(0,0,/2),使,h,(,0,)=0,即,f,(,0,)=,g,(,0,).,结论,：,在,模型,假设条件下，将椅子绕中心旋转，,一定能,找到四只脚着地的稳定点,.,机理分析,测试分析,二者结合,机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数,.,对量测数据的统计分析,与,数据拟合最好的模型,对客观事物特性的认识,内部机理的数量规律,白箱,黑箱,灰箱,机理分析,主要,通过,案例研究,学习,.,建模,主要指机理分析,.,数学建模的基本方法,1.6,数学建模的基本方法和步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模,型,准,备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个,比较清晰,的问题,模,型,假,设,针对问题特点和建模目的,作出,合理,的、,简化,的假设,在合理与简化之间作出折中,模,型,构,成,用数学的语言、符号描述问题,发挥,想像力,使用,类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型,求解,各种数学方法、软件和计算机技术,.,如结果的误差分析、统计分析、,模型对数据的稳定性分析,.,模型,分析,模型,检验,与实际现象、数据比较，,检验模型的合理性、适用性,.,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,解释,验证,表述,求解,实践,数学世界,理论,实践,两次,“,翻译,”,现实世界,将,实际问题“翻译”成数学问题,.,将,数学解答,“翻译”回实际对象,.,1.7,数学模型的特点和分类,模型的,逼真性,和,可行性,模型的,渐进性,模型的,强健性,模型的,可转移性,模型的,非预制性,模型的,条理性,模型的,技艺性,模型的,局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态、,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计、,表现特性,描述、优化、预报、决策、,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,技术,大致有章可循,.,数学建模与其说是一门,技术,，不如说是一门,艺术,.,艺术,无法归纳成普遍适用的准则,.,着重培养,数学建模的,意识和,能力,1.8,怎样学习数学,建模,学习,课程和参加竞赛,数学,建模的,意识,对于日常生活,和工作中那些,需要,或者可以,用,数学,知识,分析,、解决的实际问题，,能够,敏锐地发现,并从建模的角度去积极地思考、,研究,.,想象力,洞察力,判断力,创新意识,数学建模,的,能力,比较广博的数学知识,深入实际调查研究的决心和能力,如何,学习数学建模,学别人,的模型（学