电阻电路的等效化简

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第2章 电阻电路的等效化简,二端网络：,将电路 N 分为 N1和 N2两部分，若 N1 、N2内部变量之间无控制和被控的关系，则称 N1和 N2为单口网络（二端网络）。,一个单口网络对电路其余部分的影响，决定于其端口电流电压关系（VAR）。,2.1 等效及等效化简,一个二端网络的端口电压电流关系和另一个二端网络的端口电压、电流关系相同,这两个网络叫做等效网络。,电路等效变换的条件是相互代换的两部分电路具有相同的VAR；电路等效的对象是A(也就是电路未变化的部分)中的电流、电压、功率；电路等效变换的目的是为简化电路，可以方便地求出需要求的结果。,等效化简方法的一般步骤：,1.在电路中某两个关系的节点处作分解，把电路分解成两个或多个部分。,2.分别对各部分进行等效化简，求出最简的等效电路。,3.用最简的等效电路替代原电路，求出端钮处的电压或电流。,4.若还需要求电路中其他支路上的电压或电流，在回到原电路，根据已求得的端电压或端电流进行计算。,2.2二端电阻网络的等效,二端串联电阻网络,1.串联电阻网络的等效：,电阻的串联等效串联电阻及分压关系,R,R,+,R,+,R,2.分压公式：,由串联电阻的分压公式；由此可得,各电阻消耗的功率可以写成如下形式：,故有,串联电阻的功率分配关系,例2.1,有一量程为100mV，内阻为1k的电压表。如欲将其改装成量程为,U,1,=1V，,U,2,=10V，,U,3,=100V的电压表，,试问应采用什么措施?,图 2.2 例2.1图,解:,则,所以,2.2.2 电阻的并联,1.等效并联电阻及分流关系,在并联电路中，若总电流,I,为已知，于是根据各支路电导求出各支路电流,图 2.3电阻并联及其等效电路,各电导上的电流具有分流（current division）关系。若已知端电流i，则第j个电导上分得的电流为,这就是并联电阻电路的分流公式。由上式可知，对于并联的电阻网络，电阻上分得的电流与其电导值成正比，即与其电阻值成反比，电阻值越大，其分得的电流也越小。,2.并联电阻的功率分配关系,上式说明各并联电导所消耗的功率与该电导的大小,成正比，即与电阻成反比。,3.两电阻并联时的等效电阻计算及分流公式,即,例 2.2,有一量程为100 A，内阻为1.6 k的电流表，如欲将其改装成量程,I,1,=500A，,I,2,=5mA，,I,3,=50mA的电流表。试问应采取什么措施?,图 2.4 例2.2图,图中,R,g,为电流表内阻，,I,g,为其量程，,R,1,、,R,2,、,R,3,为分流电阻。首先求出最小量程,I,1,的分流电阻，此时，,I,2,、,I,3,的端钮均断开，分流电阻为,R,1,+,R,2,+,R,3,，根据并联电阻分流关系，有,所以,当量程,I,2,=5mA时，分流电阻为,R,2,+,R,3,，而,R,1,与,R,g,相串联，根据并联电阻分流关系，有,故,当量程,I,3,=50mA时，分流电阻为,R,3,，,R,1,、,R,2,均与,R,g,相串联，同理有,所以，,R,2,=40=36。对应各量程电流表内阻为,2.2.3,混联电阻网络的等效,在一个电阻网络中，既有电阻串联，又有电阻并联时，就构成了混联网络。对于二端混联电阻网络的等效，关键是要抓住二端网络的两个端钮，从一个端钮出发，逐个元件地缕到另一个端钮。,分清每个部分的结构是串联还是并联，再利用串联和并联的等效公式，最终求得该二端混联网络的等效电路。下面举例说明混联网络的,等效化简,。,d,c,b,a,7,15,5,6,6,20,c,（a）,d,c,b,a,15,4,3,7,Rab,R,2,R,1,b,a,4,6,Rab,c,20,d,c,b,a,6,5,6,15,7,Rab,（b）,（c）,（d）,图2.2-4 例2.2-2图,例2.2-2 求图2.2-4（a）所示电路a、b两端的等效电阻Rab。,解：电路为多个电阻混联，初一看似乎很复杂，但只要抓住端钮a和b，从a点出发，逐点缕顺，一直缕到另一端钮b。为清楚起见，在图2.2-4（a）中标出节点c和d。就得到图2.2-4（b），并可看出5和20的电阻是并联，两个6的电阻也是并联，其等效电阻分别是,520=,66=,这里，用符号“”表示两个电阻的并联关系。,由此，进一步得到图2.2-4（b）的等效电路图2.2-4（c）。再对2.2-4（c）进行等效化简，得到2.2-4（d）。其中R2=15(3+7)=1510=6。,所以a、b两端的等效电阻,Rab=R1+R2=4+6=10。,输入电阻:,前面我们分析了二端电阻网络的等效，不管二端网络,内的电阻是串联、并联还是混联,，总可以等效为一个电阻，这个,等效电阻又称为该二端网络的,输入电阻，也就是说，从a、b,两端看进去的等效电阻，用,Rin,表示。,b,a,图2.2-6 输入电阻的定义,R,in,i,N,u,输入电阻定义为该二端网络的端电压除以端电流，即,2.3 星形（Y）和三角形（）电阻网络的等效变换,星形（Y）（star-connected）电阻网络和三角形（）（delta-connected）电阻网络是实际工程电路，尤其是三相电路中常见的电路结构，图2.3-1（a）、（b）分别是星形（Y）电阻网络和三角形（）电阻网络，它们分别由三个电阻构成，电阻之间的关系既不是串联关系，又不是并联关系。,星形（Y）电阻网络和三角形（）电阻网络,1.星形（Y）网络和三角形（）网络的转换,特殊地，当Y形电阻网络的三个电阻都相等时，即时，其等效的形电阻网络的三个电阻也相等，即，它们之间的关系是,2.三角形（）网络和星形（Y）网络的转换,形相邻电阻之积,Y电阻=,形电阻之和,形电阻网络等效成Y形电阻,网络的电阻便于记忆,特殊地，当形电阻网络的三个电阻都相等时，即时，其等效的Y形电阻网络的三个电阻也相等，即，它们之间的关系是,例2.3-1,求图2.3-2（a）所示二端网络的输入电阻Rab,b,a,1/3,1/3,1,1,1,（b）,1/3,b,a,1/3,4/3,4/3,1,（c）,图2.3-2 例2.3-1图,1,1,1,1,1,1,（a）,a,b,解：先对三个1电阻组成的网络的节点作标记，在图2.3-2（a）上分别记为、。再将这个网络等效成Y形网络，如图2.3-2（b），由于网络的三个电阻都为1，即，则其等效的Y形网络的电阻为。,再根据电阻的串、并联关系，把图2.3-2（b）等效成图2.3-2（c），并得到,输入电阻,例2.3-2,电路如图2.3-3（a）所示，求电流源两端的电压U。,c,b,a,U,+,2,2,2,3,3,6,4,1A,（a）,图2.3-3 例2.3-2图,6,6,c,b,a,3,3,6,6,（b）,b,a,2,3,2,（c）,解：欲求电流源两端的电压U，只要求出a、b两端的等效电阻即可。,从图中可以看出，节点a、b、c的三端网络是由一个形网络和一个Y形网络组成，将三个2电阻组成的Y形网络等效成形网络，得图2.3-3（b）的等效电路。,进一步等效，得到图2.3-3（c）的等效电路。,所以，a、b两端的等效电阻,Rab=3(2+2)=34=。,电流源两端的电压 U=1(4+Rab)=4+=5.71V。,2.4含独立源的二端网络的等效,2.4.1 含理想电压源的二端网络的等效,一、理想电压源的串联,图2.4-1（a）所示电路是由n个理想电压源的串联的二端网络，其端电压,式中，当某电压源的参考方向与端电压u的参考方向相同时，取“+”，反之，则取“”。,图2.4-1 理想电压源串联网络的等效,+,u,sj,u,sn,u,s2,u,s1,b,a,u,（a）,b,a,+,R,u,（b）,u,s,电压值相同且极性也相同的理想电压源可以并联，并联后的电压值和极性都不变，相当于一个电压源，如图2.4-2所示。,二、理想电压源的并联,+,u,S,u,S,u,S,u,S,u,S,图2.4-2 理想电压源并联网络的等效,但是，如果理想电压源的电压值不同，或极性不同，,那么就不可以并联，因为它违背了基尔霍夫电压定,律（KVL）。,三、理想电压源和其它元件的并联,例2.4-1,求图2.4-4（a）所示电路中的电流I。,u,S,R,（a）,u,S,任意元件,（b）,u,S,（c）,图2.4-3理想电压源和其它元件的并联,I,5V,9A,10,20,5,（a）,I,5V,10,5,（b）,图2.4-4 例2.4-1图,2.4.2 含理想电流源的二端网络的等效,一、理想电流源的并联,图2.4-5（a）所示电路是由n个理想电流源并联的二端网络，其端电流,式中，当某电流源的参考方向与端电流i的参考方向相同时，取“+”，反之，则取“”。,因此，对于n个理想电流源相并联的二端网络，可以等效为一个电流源，其电流为各电流源电流的代数和。即,i,（a）,图2.2-5 理想电流源并联网络的等效,i,S1,i,S2,i,Sj,i,Sn,i,（b）,i,S,二、理想电流源的串联,i,S,图2.4-6 理想电流源串联网络的等效,i,S,i,S,但是，电流值不同或电流方向不一致的理想,电流源不可以串联，因为这样就违背了KCL,定律。,三、理想电流源和其它元件的串联,i,S,i,S,R,（a）,i,S,（b）,任意元件,（c）,图2.4-7理想电流源和其它元件的串联,2.4.3 有伴电源的相互等效,电路中，一个理想电压源与一个电阻相串联的支路称为有伴电压源（accompanied voltage source），而一个理想电流源与一个电阻相并联的支路称为有伴电流源（accompanied current source）。,实际电压源模型就是有伴电压源，而有伴电流源也就是实际电流源模型，有伴电源的相互等效也就是实际电源的相互等效。,i,i,u,S,R,1,u,（a）,i,S,R,2,（b）,图2.4-8 有伴电压源和有伴电流源,u,有伴电压源和有伴电流源之间是可以相互转换的。,所谓等效，就是端钮处的电压和电流相等或具有相同的伏安关系。,对于图2.4-8（a）所示的有伴电压源，端钮处的伏安关系为,对于图2.4-8（b）所示的有伴电流源，端钮处的伏安关系为,因此，有伴电压源和有伴电流源可以相互等效，其等效的条件是：电流源的电流值等于电压源的电压值除以电阻，而两者的电阻相等，即,电流源的电流方向与电压源的电压方向相反，表明电源的电流流向是从“”极流出，回到“”极。,例2.4-2,求图2.4-9（a）电路中的电流I。,解：利用有伴电压源和有伴电流源的等效变换及理想电压源和理想电流源的串、并联之间的关系，将图2.4-9（a）作如下等效变换，如图2.4-9（b）、（c）、（d）、（e）所示。,4A,4,5,3,I,（a）,8V,4,3A,图2.4-9 例2.4-2图,4,2A,4A,9V,4,5,3,I,（b）,6A,9V,2,5,3,I,（c）,5,I,3V,5,（e）,9V,5,3,I,12V,2,（d）,2.5含受控源的二端网络的等效,2.5.1 含受控源和电阻的二端网络的等效,端钮处的电压,其等效电阻为,i,ri,R,1,u,（a）,i,R,u,（b）,图2.5-1 含受控源和电阻的二端网络的等效,2.5.2 含受控源、电阻和独立源的二端网络的等效,显然，当电路中含有受控源、电阻和独立源时，可以等效成有伴电压源或有伴电流源。,例2.5-2,求图2.5-3（a）所示二端网络的最简等效电路。,解：由图2.5-3（a）可知,（1）,（2）,把（1）式代入（2）式，得,（3）,U,1,i,1,i,b,a,3A,12V,1,2U,1,图2.5-3（a）例2.5-2图,由（3）又可得到 （4）,由（3）、（4）式得到最简等效电路，如图2.5-3（b）、（c）所示。,i,b,a,21V,3,U,ab,（b）,i,a,b,7A,3,U,ab,（c）,图2.5-3 例2.5-2图,例2.5-4,电路如图2.5-5（a）所示，求4