电磁场与电磁波课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电磁场与电磁波,代 秋 芳,daiqiufangscau.edu,150 1301 9319,电磁场与电磁波代 秋 芳daiqiufangscau.e,1,郭辉萍 刘学观 编,电磁场与电磁波,第二版,谢处方 饶克谨 编,电磁场与电磁波,焦其详 王道东 编,电磁场理论,毕德显 编,电磁场理论,杨儒贵 编,电磁场与波,参考教材,应用教材,王家礼 朱满座 路宏敏 编,电磁场与电磁波,第三版,教 材,参考网站,col.njtu.edu/zskj/5019/EMF&W/,see.xidian.edu/faculty/hmlu/index.html,jpkc.nwpu.edu/jp2019/02/lyindex.html,郭辉萍 刘学观 编电磁场与电磁波第二版参考,2,课程特点,理论体系严谨,抽象,-,看不见、摸不着,要求：,具有较深厚的数学功底,较强的空间想象能力,较好的逻辑推理能力,应用广泛,课程特点理论体系严谨,3,本课程与相关课程的关系,电磁场与电磁波,无线通信,信号与系统,普通物理,高等数学,复变函数,线性代数,通信原理,微波技术与天线,波动光学,光纤通信,本课程与相关课程的关系电磁场与电磁波无线通信信号与系统普通物,4,学习建议,课堂学习,课堂纪律,师生互动,出勤率,教学安排,课前预习,熟悉教材内容,复习先修课程,课后复习,复习教材内容,复习考试内容,学习建议课堂学习课堂纪律师生互动出勤率教学安排课前预习熟悉教,5,电磁学发展史,1.,最早的记载：公元前,600,年左右,2. 1745,年，,荷兰,莱顿大学教授,马森布罗克,制成了莱顿瓶，可以将电荷储存起来，供电学实验使用，为电学研究打下了基础。,3. 1752,年,7,月，,美国,著名的科学家、文学家、政治家,富兰克林,的风筝试验，证实了闪电式放电现象，发明了避雷针，从此拉开了人们研究电学的序幕。,电磁学发展史,6,电磁学发展史,4. 1638,年，在我国的某些建筑学的书籍中就有关于避雷的记载：屋顶的四角都被雕饰成龙头的形状，仰头、张口，在它们的舌头上有一根金属芯子，其末端伸到地下，如有雷电击中房顶，会顺着龙舌引入地下，不会对房屋造成危险。,5. 1753,年，俄国著名的电学家,利赫曼,在验证富兰克林的实验时，被雷电击中，为科学探索献出了宝贵的生命。,6. 17711773,年间，英国科学家,卡文迪什,进行了大量的静电试验，证明在静电情况下，导体上的电荷只分布在导体表面上。,电磁学发展史,7,电磁学发展史,7. 1785,年，法国科学家,库仑,在实验规律的基础上，提出了第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的道路。,8. 1820,年，由丹麦的科学家,奥斯特,在课堂上的一次试验中，发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起 。,9. 1822,年，,法国,科学家,安培,提出了安培环路定律，将奥斯特的发现上升为理论。,10. 1825,年，,德国,科学家,欧姆,得出了第一个电路定律：欧姆定律。,11. 1831,年，,英国,实验物理学家,法拉第,发现了电磁感应定律 。并设计了世界上第一台感应发电机。,电磁学发展史,8,电磁学发展史,12,、,1840,年，,英国,科学家,焦耳,提出了焦耳定律，揭示了电磁现象的能量特性。,13,、,1848,年 ，,德国,科学家,基尔霍夫,提出了基尔霍夫电路理论，使电路理论趋于完善。,奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基础。,14,、 电磁学理论的完成者,英国,的物理学家,麦克斯韦,（,18311879,）。麦克斯韦方程组,用最完美的数学形式表达了宏观电磁学的全部内容,。麦克斯韦从理论上预言了电磁波的存在。,电磁学发展史,9,15. 1866,年，,德国的西门子,发明了使用电磁铁的发电机，为电力工业开辟了道路。,16. 1876,年，,美国贝尔,发明了电话，实现了电声通信。,17. 1879,年，,美国,发明家,爱迪生,发明了电灯，使电进入了人们的日常生活。,18. 1887,年，,德国,的物理学家,赫兹,首次用人工的方法产生了电磁波。,19.,随之，,俄国,的,波波夫,和,意大利,的,马可尼,，利用电磁波通信获得成功，开创了人类无线通信的新时代。,15. 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为,10,本课程的应用,静电场：利用静电场对带电粒子具有力的作用。,如：静电复印、静电除尘以及静电喷漆,静磁场：利用磁场力的作用。,如：电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等,时变电磁场：利用电磁波作为媒介传输信息。,如：无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线因特网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等信息技术,应用的三个主要方面,本课程的应用静电场：利用静电场对带电粒子具有力的作用。如：静,11,应用的各个领域,电磁理论,电子对抗,无线通信,广播、电视,雷达、导航、遥感,工业无损探伤,射电天文,强电（变压器、电机）等,电磁兼容等,电磁医疗仪器、电磁医疗,探地雷达,磁悬浮技术,微波烘干、杀菌,应用的各个领域电磁理论电子对抗无线通信广播、电视雷达、导航、,12,静态场应用,时变场应用,阴极射线示波器,喷墨打印机,磁分离器,磁悬浮列车,矿物的分选,.,.,.,变压器,蓝牙技术,卫星通信,微波炉,/,电磁炉,隐形飞机,.,.,.,应用实例,静态场应用时变场应用阴极射线示波器喷墨打印机磁分离器磁悬浮列,13,带电粒子偏转：静电场最常见的应用,所有带电粒子偏转都是通过两平行板间的电位差实现,原理应用：,阴极射线示波器,回旋加速器,喷墨打印机,速度选择器等,原理：通过控制带电粒子（电子或是质子）的轨迹。,带电粒子偏转：静电场最常见的应用所有带电粒子偏转都是通过两平,14,阴极射线示波器,col.njtu.edu/zskj/5019/EMF&W/application/html/1_1.htm,阴极射线示波器col.njtu.edu/zskj/5019/,15,喷墨打印机,col.njtu.edu/zskj/5019/EMF&W/application/html/1_2.htm,喷墨打印机col.njtu.edu/zskj/5019/EM,16,喷墨打印机,col.njtu.edu/zskj/5019/EMF&W/application/html/1_2.htm,喷墨打印机col.njtu.edu/zskj/5019/EM,17,磁悬浮列车,磁悬浮列车,18,2019.2.9,盘点世上最快的五大火车：中国火车入选,中国上海磁悬浮列车,2019.2.9盘点世上最快的五大火车：中国火车入选 中国上,19,卫星通信,基本原理：,卫星通信就是地球上（包括地球、水面和低层大气中）的无线电通信站之间利用人造卫星做中继站而进行的通信。,通信地球站：,可以是地面站、车载站、机载站,地球站的天线,要始终对准卫星才能利用卫星进行通信，所以我们通常使用静止卫星，也即同步卫星。,同步卫星：,卫星处在距地面,35600,公里左右时，周期,T=24,小时，时间与地球自转时间一致。,卫星通信,是二战之后发展起来的一种先进的无线通信技术。,卫星通信基本原理：卫星通信就是地球上（包括地球、水面和低层,20,我国卫星发展状况,1,、,1970,年,4,月,24,日成功发射“东方红一号”第一颗卫星。,2,、,1984,年,4,月 成功发射第一颗同步卫星“东方红二号”。,3,、,1990,年,4,月,27,日成功发射“亚州一号”通信卫星。,我国卫星发展状况1、1970年4月24日成功发射“东方红一号,21,电磁炉,加热原理：,采用磁场感应电流,(,涡流,),加热，利用电流通过线圈产生磁场，当磁场内的磁力线通过金属器皿的底部时即会产生无数小涡流，使器皿本身自行高速发热，然后再加热于器皿内的食物。,特点：,锅具自行发热，并煮食锅内食物。,炉面不发热，当磁场内的磁力线通过非金属物休，不会产生涡流，故不会产生热力。炉面和人都是非金属物体，本身不会发热，因此没有被电磁炉烧伤的危险，安全可靠。,电磁炉的热效率极高，煮食时安全、洁净、无火、无烟、无废气、不怕风吹、不会爆炸或引致气体中毒。,电磁炉加热原理：采用磁场感应电流(涡流)加热，利用电流通过线,22,微波炉,内加热：,微波炉中极性分子接受微波辐射的能量后，通过分子偶极的每秒数十亿次的高速旋转产生热效应，这种加热方式称为内加热,外加热：,把普通热传导和热对流的加热过程称为外加热。,内加热特点：,加热速度快、受热体系温度均匀等特点。,微波炉内加热：微波炉中极性分子接受微波辐射的能量后，通过分子,23,隐形飞机,雷达工作原理：,雷达发出高频电磁波射到物体上。物体把这个电磁波向各个方向反射，当然也有一部分反射回发射点（雷达），在雷达处再设一个接收装置就可接收到回波。根据回波可发现物体。,隐形飞机原理：,使雷达无法探测到。飞机达到隐形效果的关键，在于采用隐形材料和隐形设计，尽量把雷达波束吸收掉，或者向偏离原雷达的方向反射。这样飞机就不容易被雷达探测到。,隐形飞机决不是指飞机将自己的形体隐藏起来，让我们看不见它，而是说它可以使雷达“看不到”它。,F-117A,(,第,1,种可正式作战的隐形飞机,),隐形飞机雷达工作原理：雷达发出高频电磁波射到物体上。物体把这,24,第一章 矢量分析,1.1,场的概念,1.2,标量场的方向导数和梯度,1.3,矢量场的通量和散度,1.4,矢量场的环量和旋度,1.5,圆柱坐标系与球坐标系,1.6,亥姆霍兹定理,第一章 矢量分析1.1 场的概念,25,本章要点,标量场的方向导数和梯度,矢量场的通量和散度,矢量场的环量和旋度,亥姆霍兹定理,本章要点,26,1.1,场的概念,本节要点,标量和矢量的概念,标量场和矢量场的概念,矢量代数运算,等值面和矢量线,1.1 场的概念本节要点,27,1.1,场的概念,标量：,只有大小而没有方向的量。如电压,U,、电荷量,Q,等。,矢量：,具有大小和方向特征的量。如,电场强度矢量、磁场强度矢量,、作用力矢量、速度矢量等。,常矢：,若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力,变矢：,若模和方向二者至少一个发生变化，如弯道速度,矢量描述：,矢量可采用有向线段、文字、,单位矢量、分量,表示等多种方式来描述。,矢性函数：,设,t,是数性变量， 为变矢，对于某区间,G,a,b,内的每一个数值,t,， 都有一确定的矢量 与之对应，则称 为数性变量,t,的矢性函数，记为：,1.1 场的概念标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、,28,物理量：,被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢量和标量。如电压,U,、电荷量,Q,等。,场：,在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，如温度场，电位场等。,标量场：,在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如温度、密度等。,矢量场：,在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如电场、磁场、流速场等。,1.1,场的概念,物理量：被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢量和标量。如电压,29,场的属性：,占有一定空间，且在该空间区域内，除有限个点和表面外，其物理量处处连续,场的分类,按与时间的关系分：,静态场,/,时变场，各处物理量是否随时间变化,按与方向关系分：,标量场,/,矢量场，各处物理量是标量还是矢量,1.1,场的概念,场的属性：占有一定空间，且在该空间区域内，除有限个点和表面外,30,矢量代数,空矢或零矢：,一个大小为零的矢量,单位矢量：,一个大小为,1,的矢量，在直角坐标系中，用单位矢量表征矢量分别沿,x,，,y,，,z,轴分量的方向。,如：,矢量的表示方法,矢量一般表示：,，,A,为矢量 的大小， 为方向,1.1,场的概念,矢量代数空矢或零矢：一个大小为零的矢量 矢量的表示方法矢量一,31,任一矢量可以表示为：,位置矢量：,从原点指向空间任一点,P,的矢量,位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。,直角坐标系中点,P,(,x,y,z,),的位置矢量表达式为：,1.1,场的概念,P,(,x,y,z,),任一矢量可以表示为：位置矢量：从原点指向空间任一点P的矢量,32,结论：,若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直,数学知识补充,矢量的代数运算,求和差,作图法：,平行四边形法则,分量法：,求点积 （标量积、内积）,公式： 特点：,直角坐标系中：,1.1,场的概念,结论：若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直数学知识补充,33,求叉积 （矢量积、外积）,结论：,若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行,公式：,其中：,右手螺旋法则,特点：,直角坐标系中：,右手螺,旋法则,1.1,场的概念,求叉积 （矢量积、外积）结论：若两不为零矢量的叉积为零，则两,34,数学知识补充,矩阵和行列式的计算,代数余子式：,的余子式前添加符号 ，称 的代数余子式，记为 ，,例：求 中元素 的余子式和代数余子式,余子式：,在,n,阶行列式 中去掉元素 所在的行和列，剩下的,n,-1,阶行列式称为元素 的余子式。记为,1.1,场的概念,数学知识补充矩阵和行列式的计算代数余子式： 的余子式前,35,n,阶行列式的计算：,等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即,例：,求,1.1,场的概念,n阶行列式的计算： 等于它的任意一行（列）的各元,36,矩阵的乘法：,设,A,=(,a,ij,),是,m,s,矩阵，,B,=(,b,ij,),是,s,n,矩阵，作,A,的第,i,行与,B,的第,j,列的对应元素的乘积之和,则矩阵为矩阵,A,与,B,的乘积,例：,已知：,求,AB,解：,1.1,场的概念,矩阵的乘法：设A=(aij)是ms矩阵， B=(bij)是,37,方程组的矩阵表示,设矩阵,可记为,Y,=,AX,则,X,=,A,-1,Y,，,A,-1,为,A,的逆矩阵，,要求,X,，,只需求,A,-1,，即求,A,的逆矩阵,1.1,场的概念,方程组的矩阵表示设矩阵可记为Y=AX 则 X=A-1Y，A-,38,逆矩阵的求法,其中,为,A,的,伴随矩阵,n,阶方阵,A,可逆的充分必要条件是,|,A,|,0,且当,A,可逆时，,有,A,ij,是,|,A,|,的元素,a,ij,的代数余子式,注意此矩阵行和,列的排列，转置矩阵,1.1,场的概念,逆矩阵的求法其中为A的伴随矩阵n阶方阵A可逆的充分必要条件是,39,例：,已知：,求,A,-1,解：,1.1,场的概念,例：已知：求A-1解：1.1 场的概念,40,1,、,计算,2,、,已知,求：,作业,1.1,场的概念,1、计算 2、已知 求：作业1.1 场的概念,41,标量场的等值面和矢量场的矢量线,场的,场图,表示,研究标量场和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。,对标量场,等值面图表示：,空间内标量值相等的点集合形成的曲面称等值面，如等温面等。等值面方程：,等值线图表示：,等值面在二维空间称为等值线。如等高线等。等值线方程：,1.1,场的概念,标量场的等值面和矢量场的矢量线场的场图表示1.1 场,42,等值面和等值线作用：,帮助了解标量场在空间中的分布情况。,等高线作用,根据等高线及其所标出的高度，了解该地区高度,2,根据等高线的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度,A,点高,300,B,点高,300,A,点比,B,点陡,越密就越陡,1.1,场的概念,等值面和等值线作用：帮助了解标量场在空间中的分布情况。A点,43,对矢量场,矢量线表示：,用一些有向矢量线来形象表示矢量在空间的分布，称为矢量线。如静电场的电力线等。,特点：,矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同,矢量线方程（直角坐标系）：,1.1,场的概念,对矢量场1.1 场的概念,44,矢量线的作用,根据矢量线确定矢量场中各点矢量的,方向,根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的,大小及变化趋势,。,A,点受到向下电场力,B,点受到向下电场力,A,点比,B,点受到的力大,越密矢量越大,1.1,场的概念,矢量线的作用A点受到向下电场力1.1 场的概念,45,例,1-1,求数量场,=(,x+y,),2,-,z,通过点,M,(1, 0, 1),的等值面方程。,解：,点,M,的坐标是,x,0,=1,y,0,=0,z,0,=1,，则该点的数量场值为,=(,x,0,+,y,0,),2,-,z,0,=0,。其等值面方程为,或 ：,1.1,场的概念,例1-1 求数量场=(x+y)2-z 通过点 M(1, 0,46,例,1-2,求矢量场 的矢量线方程,解：,矢量线应满足的微分方程为,从而有,c,1,和,c,2,是积分常数。,1.1,场的概念,例1-2 求矢量场,47,1.2,标量场的方向导数和梯度,1.2.1,标量场方向导数,(,标量,),Directional Derivative,设,M,0,是标量场,=,(,M,),中的一个已知点，从,M,0,出发沿某一方向引一条射线,l,在,l,上,M,0,的邻近取一点,M,，,MM,0,=,，若当,M,趋于,M,0,时,(,即,趋于零时,),的极限存在，称此极限为函数,(,M,),在点,M,0,处沿,l,方向的方向导数，记为,1.2 标量场的方向导数和梯度1.2.1 标量场方向导,48,结论：,方向导数 是函数 在点 处沿方向 对距离的变化率,表明,M,0,处函数,沿,l,方向增加，反之减小,若函数,=,(,x, y, z,),在点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,),处可微，,cos,、,cos,、,cos,为,l,方向的方向余弦，则函数,在点,M,0,处沿,l,方向的方向导数必定存在，且为,1.2.1,标量场方向导数,结论：方向导数 是函数 在点,49,证明：,M,点的坐标为,M,(,x,0,+,x,y,0,+,y,z,0,+,z,),，由于函,数,在,M,0,处可微，故,两边除以,，可得,当,趋于零时对上式取极限，可得,1.2.1,标量场方向导数,证明：M点的坐标为M(x0+x, y0+y, z0+z,50,解：,l,方向的方向余弦为,而,数量场在,l,方向的方向导数为,点,M,处沿,l,方向的方向导数,例,1-3,求数量场 在点,M,(1, 1, 2),处沿,方向的方向导数,1.2.1,标量场方向导数,解：l方向的方向余弦为而 数量场在 l 方向的方向导数为 点,51,1.2.2,标量场的梯度,(,矢量,) gradient,在直角坐标系中,梯度的定义：,在标量场 中的一点,M,处，其,方向,为函数 在,M,点处变化率最大的方向，其,模,又恰好等于最大变化率的,矢量,，称为标量场 在,M,点处的梯度，用 表示。,方向：,函数 在,M,点处变化率最大的方向,大小：,最大变化率的矢量的模,1.2.2 标量场的梯度(矢量) gradient在直角坐,52,在直角坐标系中，令,已知：,证明：,标量场 在任意方向,l,上的方向导数为,证明沿 方向的方向导数 最大，且,已知：,与 方向一致，且,1.2.2,标量场的梯度,在直角坐标系中，令 已知： 证明：标量场,53,梯度的性质：,标量场 中每一点,M,处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数 的增大方向。即梯度为该等值面的法向矢量。,在某点,M,处沿任意方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投影。,任一点梯度的模等于该点各方向上方向导数最大值,1.2.2,标量场的梯度,梯度的性质：标量场 中每一点M处的梯度,54,梯度运算法则,1.2.2,标量场的梯度,梯度运算法则1.2.2 标量场的梯度,55,点,M,处的坐标为,x,=1,y,=0,z,=1,且,r,在,M,点沿,l,方向的方向导数为,解：,r,的梯度为,例,1-5,求,r,在,M,(1,0,1),处沿 的方向导数,而,所以,所以,r,在,M,点的梯度为,1.2.2,标量场的梯度,证明见例,1-4,矢量单位化方法,点M处的坐标为 x=1, y=0, z=1, 且r在M点沿l,56,1.3,矢量场的通量和散度,1.3.1,矢量场的通量（,flux,）,一、面元矢量：,面积很小的有向曲面,方向：,1,、开曲面上的面元,2,、闭合面上的面元,确定绕行,l,的方向后，,沿绕行方向按右手,螺旋,拇指方向,闭合曲面的,外法线方向,1.3 矢量场的通量和散度1.3.1 矢量场的通量（f,57,二、通量（标量）,1,、 穿过面元,的通量,2,、 穿过整个曲面,S,的通量,3,、 穿过闭合曲面,S,的通量,通量特性：,反映某一空间内场源总的特性,净流量,通过闭合面,S,的通量的物理意义,（流出正，流入负）,0,，穿出多于穿入，,S,内有发出矢量线的,正源,0,，,穿出,少于穿入，,S内有,汇集矢量线的,负源,=,0,，,穿出,等于穿入，,S内,无源,，或,正源负源代数和为,0,1.3.1,矢量场的通量,二、通量（标量）1、 穿过面元的通量 2、 穿过,58,1.3.2,矢量场的散度,(,标量,)(,divergence),散度的定义：,极限存在，此极限为矢量场,在某点的散度,散度的定义式：,散度的物理意义：,散度表征矢量场的通量源的分布特性。,散度值表征空间中通量源的密度,通量密度,有源点,汇点,无源点,若,矢量场为无散场,1.3.2 矢量场的散度(标量)(divergence),59,散度的计算：,在直角坐标系下：,哈密尔顿算子,散度符合规则：,1.3.2,矢量场的散度,矢量恒等式,散度的计算：在直角坐标系下：哈密尔顿算子散度符合规则：1,60,例,1-9,原点处点电荷,q,产生电位移矢量,试求电位移矢量 的散度。,解：,静电场的性质：,r,=0,以,外空间均为无源场,1.3.2,矢量场的散度,思考：,r,= 0,的空间呢？,有散度源,例1-9 原点处点电荷q产生电位移矢量解：静电场的性质：r,61,1.3.3,散度定理（高斯散度定理）,散度定理：,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量。,应用：,将一个封闭面积分变成等价的体积分,将一个体积分变成等价的封闭面积分,1.3.3 散度定理（高斯散度定理）散度定理：矢量场散度,62,证明：,散度定理,证：,将闭合曲面,S,包围的体积,V,分成许多小体积元,d,V,i,(,i,=1,n,),，计算每个体积元的小封闭曲面,S,i,上的通量，再叠加。由散度定义有：,可得：,由于相邻体积元有一个公共表面，两体积元在公共,表面上的通量,等值异号,，求和时互相抵消。有部分表面在,S,面上，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等于从封闭面,S,穿出的通量。因此有：,1.3.3,散度定理,证明：散度定理证：将闭合曲面S包围的体积V分成许多小体积元d,63,例,1-10,球面,S,上任意点的位置矢量为,求,解：,根据散度定理知,而散度为,所以,R,为球面半径,1.3.3,散度定理,例 1-10 球面S上任意点的位置矢量为解： 根据散度定理知,64,1.4,矢量场的环量和旋度,1.4.1,矢量场的环量（标量）,(circulation),环量的定义：,结论：,矢量的环量也是一个标量,矢量的环量不等于零，则闭合曲线内必有旋涡源,矢量的环量等于零，则闭合曲线内没有旋涡源,例如：,在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不,等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源,环量的性质：,积分量，反映旋涡源总的分布特性,1.4 矢量场的环量和旋度1.4.1 矢量场的环量（标量,65,解：,由于在曲线,l,上,z,=0,，所以,d,z,=0,。,例,1-11,求矢量,(,c,是常数,),沿曲线,(,x,-2),2,+,y,2,=,R,2,z,=0,的环量,1.4.1,矢量场的环量,解： 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。 例1-11 求矢,66,1.4.2,矢量场的旋度（矢量）,(rotation),一、环量面密度的定义（标量）,若,极限存在,此极限即为该点的环量面密度。,面元的方向：,面元的方向与闭合曲线,c,的绕行方向成右手螺旋关系。,说明：,由于面元是有方向的，它与闭合曲线,l,的绕行方向成右手螺旋关系，因此在给定点上，上述极限对于不同的面元是不同的。,1.4.2 矢量场的旋度（矢量）(rotation)若极,67,二、旋度的定义（矢量）,旋度大小：,最大环量面密度的数值,旋度方向：,环量面密度最大时的面元的方向,引入哈密尔顿算子,在直角坐标系中,1.4.2,矢量场的旋度,二、旋度的定义（矢量）旋度大小：最大环量面密度的数值引入哈密,68,结论：,旋度描述矢量 在该点的旋涡源强度。,矢量场在,P,点处沿任一方向 的环量面密度为旋度,在,方向上的投影。,若 ，则为无旋场，反之为有旋场,1.4.2,矢量场的旋度,结论：矢量场在P点处沿任一方向 的环量面密度为旋度,69,旋度的运算规则,直角坐标系中,2,为拉普拉斯算子,1.4.2,矢量场的旋度,旋度的运算规则直角坐标系中2为拉普拉斯算子1.4.2 矢,70,解：,矢量场的旋度,例,1-12,求矢量场 在点,M,(1,，,0,，,1),处的旋度以及沿 方向的,环量面密度。,在点,M,(1,，,0,，,1),处的,旋度,环量面密度,方向的单位矢量,1.4.2,矢量场的旋度,解：矢量场的旋度 例1-12 求矢量场,71,例,1-13,在坐标原点处放置一点电荷,q,，在自由空间产生,的电场强度为,求自由空间任意点,(,r,0),电场强度的旋度,解：,静电场的性质：,说明点电荷产生,的场为无旋场,（包括,r,= 0,的点）,1.4.2,矢量场的旋度,例1-13 在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生求自由,72,1.4.3,斯托克斯定理,旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线,c,上,的环量等于闭合曲线,c,所包围曲面,S,上旋度的总和， 即,式中：,S,是闭合路径,l,所围成的面积。,的方向与 的方向成右手螺旋关系。,应用：,将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分；,将矢量的线积分转换为该矢量旋度的面积分。,例,1-11,的另一种解法,1.4.3 斯托克斯定理 旋度代表单位面积的环量，因此矢量,73,1.5,圆柱坐标系与球坐标系,1.5.1,圆柱坐标系,理解,1.5 圆柱坐标系与球坐标系1.5.1 圆柱坐标系理解,74,直角坐标系与圆柱坐标系的转换关系,直角坐标系,圆柱坐标系,圆柱坐标系,直角坐标系,1.5.1,圆柱坐标系,了解,直角坐标系与圆柱坐标系的转换关系直角坐标系圆柱坐标系 ,75,对任意增量,d,、,d,、,d,z,，,P,点位,置沿,、,、,z,方向的,长度增量,为：,拉梅系数,（各方向的长度增量,与各自坐标增量之比）为：,面积元与体积元为：,1.5.1,圆柱坐标系,对任意增量d、d、dz，P点位拉梅系数（各方向的长度增量,76,1.5.2,球面坐标系,1.5.2 球面坐标系,77,1.5.2,球面坐标系,了解,1.5.2 球面坐标系了解,78,直角坐标系与球坐标系的转换关系,直角坐标系,球坐标系,球坐标系,直角坐标系,1.5.2,球面坐标系,了解,直角坐标系与球坐标系的转换关系直角坐标系球坐标系球坐标系,79,P,点沿,r,、,、,方向的,长度增量,为：,拉梅系数为：,面积元与体积元为：,1.5.2,球面坐标系,P点沿r、 方向的长度增量为：拉梅系数为：面积元与体积,80,1.6,亥姆霍兹定理,一、亥姆霍兹定理：,若矢量场,F,在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，,则矢量场由其散度和旋度唯一确定,，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即,二、亥姆霍兹定理的意义：总结了矢量场的共同性质,矢量场的散度和旋度各对应矢量场中的一种源,矢量场可由它的散度和旋度唯一确定；,因此研究矢量场都应该从散度和旋度两个方面进行， 或者从矢量场的通量和环量两个方面去研究。,1.6 亥姆霍兹定理一、亥姆霍兹定理：若矢量场F在无限空,81,1.6,亥姆霍兹定理,三、矢量场的基本方程：,1,、基本微分方程：散度方程和旋度方程,2,、基本积分方程：通量方程和环量方程,1.6 亥姆霍兹定理三、矢量场的基本方程：,82,第一章总结,主要公式,一、直角坐标系中,散度：,梯度：,旋度：,拉普拉斯：,第一章总结主要公式一、直角坐标系中 散度：梯度：旋度：,83,二、圆柱坐标系中,散度：,梯度：,旋度：,拉普拉斯：,二、圆柱坐标系中散度：梯度：旋度：拉普拉斯：,84,三、球坐标系中,散度：,梯度：,旋度：,拉普拉斯：,三、球坐标系中散度：梯度：旋度：拉普拉斯：,85,公式归纳,直角坐标系：,圆柱坐标系：,球坐标系：,P,点用,u,1,，,u,2,，,u,3,坐标表示，沿坐标增量方向的单位,矢量为 ，拉梅系数为,h,1,，,h,2,，,h,3,公式归纳直角坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：P点用u1，,86,曲线正交坐标系中，统一公式：,散度：,梯度：,旋度：,拉普拉斯：,曲线正交坐标系中，统一公式：散度：梯度：旋度：拉普拉,87,作业,习题一,1-6 1-7 1-11,作业习题一 1-6 1-7 1-1,88,