概率论与数理统计 第四章PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,第四章 随机变量的数字特征,数学期望及其性质,方差及其性质,协方差与相关系数,契比雪夫不等式,常见的重要分布的数字特征,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,分布函数能完全描述随机变量的统计特性，但求,分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中，只需,知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。,由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关,的数值，故称它们为随机变量的数字特征。,本章介绍常用数字特征：数学期望，方差，协方,差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余,都可以由它来定义。,引言,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,1,、数学期望,【,引例,】,枪手进行射击，规定击中区域,I,内得,2,分，,击中区域,II,内得,1,分，脱靶（击中区域,III,）得,0,分。,II,I,III,枪手每次射击的得分,X,是一个随机变量，其分布律为,现射击,N,次,其中得,0,分的有 次,得,1,分的有 次,得,2,分的有 次,于是,射击,N,次的总分为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,从而,每次射击的平均分为,在第五章,大数定律,中可证明,:,当,N,无限增大时,频率 接近于概率,故当,N,很大时,这表明,:,随着试验次数增大,随机变量,X,的观察值的算术平均 接近于,称后者为随机变量,X,的数学期望,(,均值,).,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义,1,随机变量,X,的,数学期望,记为,E(X),定义为,其中无穷级数或广义积分均,绝对收敛,，分,别为离散型随机变量,X,的分布律或连续型随机变量,X,的概率密度。,(1),一、概念,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,试评定甲乙成绩的优劣。,解,这是,离散型,随机变量。由数学期望定义得：,由 知：甲的成绩远胜过乙的成绩。,【,例,1,】,甲乙两人进行射击所得分数分别为,X,1,，,X,2,，其,分布律分别为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,求,E(X),。,解,这是,连续型,随机变量。由数学期望定义得：,分段函数的积分,【,例,2,】,(,设在某一规定时间间隔里，某电气设备用,于最大负荷的时间,X(,分钟,),是一个随机变量,其概率密度,为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定理,1,设,Y=,g(X,),是随机变量,X,的连续函数，则,Y,也是随机变量，且其数学期望为,(2),利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理,:,二、随机变量函数的数学期望,其中无穷级数或广义积分均,绝对收敛,，分,别为离散型随机变量,X,的分布律或连续型随机变量,X,的概率密度。,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,其中无穷级数或广义积分均绝对收敛,分,别为离散型随机变量,(X,Y),的分布律和连续型随机,变量,(X,Y),的概率密度。,定理,2,Z=,g(X,Y,),是随机变量,(X,Y),的连续函数，,则,Z,也是随机变量，且其数学期望为,(3),河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,其中,k,m,为自然数。,可见,方差,是二阶中心矩,协方差,是二阶混合中心,矩，它们都是随机变量函数的数学期望。,X,与,Y,的,协方差,（,4,）,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,3】P.115:eg6,解,设,X,为随机取一球的标号,则,r.v.X,等可,能地取值,1,2,3,4,5,6;,又,Y=,g(X,),且,g(1)=g(2)=g(3)=1;g(4)=g(5)=2,g(6)=5.,故随机摸一球得分的期望为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,4,】,一工厂生产的某种设备的寿命,X(,以年计,),服从,指数分布,其概率密度为,解,这是求,连续型,随机变量函数的数学期望。,工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换,.,若工,厂售出一台设备赢利,100,元,调换一台设备厂方需花费,300,元,.,试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望,.,设售出一台设备的净赢利为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故售出一台设备的净赢利的数学期望为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,D,解,这是二维,连续型,随机变量函数的数学期望。联合概率密度函数非零区域为,故由定理,2,得,:,【,例,5】P.116:eg9,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,例,5-,续,在计算二维连续型随机变量的数字数字特征时,需,要计算广义二重积分，当概率密度在有界区域,D,上非,零时，实际上是计算普通二重积分,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,三,.,数学期望的性质,数学期望具有如下性质,:,设,X,Y,为随机变量,c,为常数,则,E(c,)=c;,E(cX,)=,cE(X,);,E(X+Y)=E(X)+E(Y);,当,X,Y,相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y);,【,证,】,由随机变量及其函数的数学期望知,:,此时,为退化分布,:PX=C=1,故由定义得,:,E(c,)=E(X)=,cPX,=c=c.,由定义得,:,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,现就连续型证下面两条：,设二维随机变量,(X,Y),的概率密度、边缘概率密度分别为,由随机变量函数的期望得,:,由,X,Y,相互独立得,:,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,利用期望的性质可以简化某些期望的计算以及推,出其它数字特征的一些性质,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,解,方法,1,(,表格法,),由,X,的分布列得,:,X,-2,0,2,P,0.4,0.3,0.3,X,2,0,4,P,k,0.3,0.7,3X,2,+5,5,17,P,k,0.3,0.7,【,例,6,】,已知随机变量,X,的分布列为,求,X,X,2,3X,2,+5,的数学期望,.,E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;,于是,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,E(X,2,)=00.3+40.7=2.8;,E(3X,2,+5)=50.3+170.7=13.4.,方法,2,(,定义,+,性质法,),因为,E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;,E(X,2,)=(-2),2,0.4+0,2,0.3+2,2,0.3=2.8;,所以,E(3X,2,+5)=3E(X,2,)+5=32.8+5=13.4.,例,6-,续,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,E(X,2,)=00.3+40.7=2.8;,E(3X,2,+5)=50.3+170.7=13.4.,方法,2,(,定义,+,性质法,),因为,E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;,E(X,2,)=(-2),2,0.4+0,2,0.3+2,2,0.3=2.8;,所以,E(3X,2,+5)=3E(X,2,)+5=32.8+5=13.4.,例,6-,续,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,一、概念,定义,2,随机变量,X,的,方差,记为,D(X),或,Var(X,),定,义为,其中数学期望存在,.,(4),在应用上还用到与,X,具有相同量纲的量,称之为随机变量,X,的,均方差,(,标准差,).,方差,D(X),是反映,X,取值分散程度的量,当,X,取值比,较集中时,方差较小,;,当,X,取值比较分散时,方差较大,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由数学期望性质与方差定义可得,:,(6),这也是,计算方差的常用公式,.,显然,方差,D(X),就是,随机变量,X,的函数,的数学期望,.,因此,当,X,的分布律 或概率密度,已知时,有,(5),河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,8】P.122:eg3,解,【,例,8,】,设,X,服从参数为,p,的几何分布,其分布律为,又,求其期望与方差,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,9】,【,例,9,】,设随机变量,X,的概率密度为,解,期望为,求其期望与方差,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,二,.,性质,方差具有如下性质,:,设,X,Y,为随机变量,c,为常数,则,D(c,)=0;,D(cX,)=c,2,D(X);,D(X+c,)=D(X);,当,X,Y,相互独立时,D,(X,Y)=D(X)+D(Y),;,【,证,】,只证,4,。,D(aX+b,)=a,2,D(X),D(X)=0,的充要条件,PX=C=1,其中,C=E(X),.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由于,X,Y,相互独立,故可以证明,X-E(X),Y-E(Y),也,相互独立。于是，由数学期望的性质得：,从而，有,P.87:,定理,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,10,】,设,X,1,X,2,X,n,相互独立,且服从同一个,(0-1),分布,其分布律为,解,X,的所有可能取的值为,0,1,2,n.,证明 并求,E(X),D(X).,事件,X=k,是 个互斥基本事件的和事件,且其中每个基本事件为“从,n,个格子中取出,k,个放入,1,其余放入,0”.,由独立性易知,:,每个基本事件的概率为,故,从而,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,因为,0-1,分布,所以,由,期望与方差性质,得,:,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,契比雪夫不等式给出了在未知,X,分布的情况下,估计事件,|X-|,概率的方法,.,在上式中分别取,=3,4,得,由对立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一,形式,:,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,3.,常见重要分布的期望与方差,一、二项分布,设,X,服从参数为,n,p,的二项分布,B(n,p,),则其分布律为,在,2,例,10,中已经求得,设,X,服从参数为,的二项分布,P(,),则其分布律为,二、泊松分布,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由幂级数展开式 与期望、方差,定义得,故,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,设,X,服从参数为,2,的正态分布,N(,2,),则其概率密度为,其中,数学期望为：,奇函数在对称区间上的积分为零,换元,标准正态概率密度性质,三、正态分布,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,设,X,在区间,(,a,b,),上服从均匀分布,其概率密度为,则,X,的数学期望为,:,故,X,的方差为,:,四、均匀分布,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,五、指数分布,计算过程自学。,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,4,、协方差与相关系数,一、概念,定义,3,随机变量,X,与,Y,的,协方差,记为,Cov(X,Y,),定,义为,其中数学期望存在,而,称为随机变量,X,与,Y,的,相关系数,.,相关系数是一个无量纲的量,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,对于任意随机变量,X,与,Y,总有,由协方差定义得,这是计算协方差的常用公式,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,二,.,性质,协方差具有下列性质,:,相关系数具有下列性质,:,对称性,:,Cov(X,Y,)=,Cov(Y,X,);,线性性,:,Cov(aX,Y,)=,aCov(X,Y)(a,为常数,),Cov(X+Y,Z,)=,Cov(X,Z,)+,Cov(Y,Z,).,|,XY,|1;,若,Y=,aX+b(a,b,为常数,且,a0),则,X,与,Y,正相关,X,与,Y,负相关,|,XY,|=1,的充要条件是存在常数,a,b,使,PY=,aX,+b=1.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,相关系数,XY,是一个反映,X,和,Y,之间线性关系紧密程度的量,.,当,XY,较大时,表明,X,与,Y,线性相关程度较好,特别当,XY,=1,时,X,与,Y,之间以概率,1,存在线性关系,;,当,XY,较小时,表明,X,与,Y,线性相关程度较差,.,定义,4,若相关系