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,第十七讲等腰三角形和直角三角形,第十七讲等腰三角形和直角三角形,一、等腰三角形,两边,底边上的中线,(,或底边上的,高或顶角平分线,),所在的直线,相等,等边对等角,平分线,高,相等,等角对等边,一、等腰三角形两边底边上的中线(或底边上的高或顶角平分,二、等边三角形,三边,相等,60,三,相等,等腰,二、等边三角形三边相等60三相等等,三、线段的垂直平分线,1.,性质,:,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离,_.,2.,判定,:,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的,_,上,.,相等,垂直平分线,三、线段的垂直平分线相等垂直平分线,四、直角三角形的性质与判定,互余,一半,一半,直角,互余,四、直角三角形的性质与判定互余一半一半直,五、勾股定理及逆定理,1.,勾股定理,:,如果直角三角形的两条直角边长分别为,a,b,斜边长为,c,那么,_.,2.,勾股定理的逆定理,:,如果三角形的三边长,a,b,c,满足,_,那么这个,三角形是直角三角形,.,3.,勾股数,:,可以构成一个直角三角形三边的一组,_,常见勾股数有,:3,4,5;6,8,10;5,12,13;8,15,17,等,.,a,2,+b,2,=c,2,a,2,+b,2,=c,2,正整数,五、勾股定理及逆定理a2+b2=c2a2+b2=c2,六、命题、定理,1.,互逆命题,:,如果两个命题的,_,和,_,正好相反,我们把这样的两,个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的,_,_.,2.,互逆定理,:,若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为,_,定理,.,题设,结论,逆,命题,互逆,六、命题、定理题设结论逆命题互逆,【自我诊断】,1.,一个等腰三角形两边的长分别为,4,和,9,那么这个三角形的周长是,(,),A.13,B.17,C.22D.17,或,22,C,【自我诊断】C,2.,已知三组数据,:2,3,4;3,4,5;1,2.,分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长,构成直角三角形的有,(,),A.B.,C.D.,D,2.已知三组数据:2,3,4;3,4,5;1,3.,等腰三角形的顶角为,80,则它的底角是,(,),A.20B.50,C.60D.80,4.,对顶角相等的逆命题是,_,命题,.,B,假,3.等腰三角形的顶角为80,则它的底角是()B,5.,如图,ABC,中,AB=AC,ADBC,垂足为点,D,若,BAC=70,则,BAD=,_.,35,5.如图,ABC中,AB=AC,ADBC,垂足为点D,若,6.,在,ABC,中,C=90,AB=7,BC=5,则边,AC,的长为,_.,7.,如图,在,RtABC,中,ACB=90,AC=3,BC=4,以点,A,为圆心,AC,长为半径画弧,交,AB,于点,D,则,BD=_.,2,6.在ABC中,C=90,AB=7,BC=5,则边AC,考点一 等腰三角形的性质与判定,【示范题,1,】,(2020,南充中考,),如图,在等腰,ABC,中,BD,为,ABC,的平分线,A=36,AB=AC=a,BC=b,则,CD=(,),A.,B.,C.a-b,D.b-a,高频考点,疑难突破,C,考点一 等腰三角形的性质与判定高频考点疑难突破C,【答题关键指导】,三线合一的作用,等腰三角形的“三线合一”,包括以下三个结论,:,如图,在,ABC,中,AB=AC.,(1),若,ADBC,则,BD=DC,1=2.,(2),若,BD=DC,则,ADBC,1=2.,(3),若,1=2,则,ADBC,BD=DC.,【答题关键指导】三线合一的作用,等腰三角形的“三线合一”是证明两角相等、两线段相等以及两条直线垂直的重要依据,.,在解题时,要灵活运用上面的结论,.,等腰三角形的“三线合一”是证明两角相等、两线段相等以及两条直,【跟踪训练】,1.(2020,自贡中考,),如图,在,RtABC,中,ACB=90,A=50,以点,B,为圆,心,BC,长为半径画弧,交,AB,于点,D,连接,CD,则,ACD,的度数是,(,),A.50B.40,C.30D.20,D,【跟踪训练】D,2.(2020,桂林中考,),如图,在,RtABC,中,AB=AC=4,点,E,F,分别是,AB,AC,的中点,点,P,是扇形,AEF,的 上任意一点,连接,BP,CP,则,BP+CP,的最小值是,_.,2.(2020桂林中考)如图,在RtABC中,AB=AC,3.(2020,台州中考,),如图,已知,AB=AC,AD=AE,BD,和,CE,相交于点,O.,(1),求证,:ABDACE;,(2),判断,BOC,的形状,并说明理由,.,3.(2020台州中考)如图,已知AB=AC,AD=AE,【解析】,(1)AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,ABDACE(SAS);,(2)BOC,是等腰三角形,理由如下,:,ABDACE,ABD=ACE,AB=AC,ABC=ACB,ABC-ABD=ACB-ACE,OBC=OCB,BO=OC,BOC,是等腰三角形,.,【解析】(1)AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,4.(2020,广东中考,),如图,在,ABC,中,点,D,E,分别是,AB,AC,边上的点,BD=CE,ABE=ACD,BE,与,CD,相交于点,F.,求证,:ABC,是等腰三角形,.,4.(2020广东中考)如图,在ABC中,点D,E分别是,【解析】,ABE=ACD,DBF=ECF,在,BDF,和,CEF,中,BDFCEF(AAS),BF=CF,DF=EF,BF+EF=CF+DF,【解析】ABE=ACD,DBF=ECF,即,BE=CD,在,ABE,和,ACD,中,ABEACD(AAS),AB=AC,ABC,是等腰三角形,.,即BE=CD,在ABE和ACD中,考点二 等边三角形的性质与判定,【示范题,2,】,(2020,宁波中考,)BDE,和,FGH,是两个全等的等边三角形,将它,们按如图的方式放置在等边三角形,ABC,内,.,若求五边形,DECHF,的周长,则只需知,道,(,),A.ABC,的周长,B.AFH,的周长,C.,四边形,FBGH,的周长,D.,四边形,ADEC,的周长,A,考点二 等边三角形的性质与判定A,【答题关键指导】,等边三角形的性质,1.,三条边相等,.,2.,三个角相等,并且都等于,60.,3.,是轴对称图形,并且有三条对称轴,.,4.,具有“等边对等角”及“三线合一”的性质,.,【答题关键指导】等边三角形的性质,【跟踪训练】,1.(2020,嘉兴中考,),如图,正三角形,ABC,的边长为,3,将,ABC,绕它的外心,O,逆时针,旋转,60,得到,ABC,则它们重叠部分的面积是,(,),C,【跟踪训练】C,2.(2020,营口中考,),如图,ABC,为等边三角形,边长为,6,ADBC,垂足为点,D,点,E,和点,F,分别是线段,AD,和,AB,上的两个动点,连接,CE,EF,则,CE+EF,的最小值为,_.,2.(2020营口中考)如图,ABC为等边三角形,边长为,3.(2020,绍兴中考,),如图,已知边长为,2,的等边三角形,ABC,中,分别以点,A,C,为圆,心,m,为半径作弧,两弧交于点,D,连接,BD.,若,BD,的长为,2 ,则,m,的值为,_.,3.(2020绍兴中考)如图,已知边长为2的等边三角形AB,考点三 线段的垂直平分线,【示范题,3,】,(2020,青海中考,),如图,ABC,中,AB=AC=14 cm,AB,的垂直平分线,MN,交,AC,于点,D,且,DBC,的周长是,24 cm,则,BC=_cm.,10,考点三 线段的垂直平分线10,【答题关键指导】,线段垂直平分线的特征及应用的答题思路,1.,线段垂直平分线中的两组线段相等,:,(1),线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,.,(2),被垂直平分的线段,被分为两条相等的线段,.,2.,当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直,且垂足是中点时,要联想到线段垂直平分线的性质,.,【答题关键指导】线段垂直平分线的特征及应用的答题思路,【跟踪训练】,1.(2020,河南中考,),如图,在,ABC,中,AB=BC=,BAC=30,分别以点,A,C,为圆心,AC,的长为半径作弧,两弧交于点,D,连接,DA,DC,则四边形,ABCD,的面积,为,(,),A.6 B.9 C.6 D.3,D,【跟踪训练】D,2.(2020,潍坊中考,),如图,在,RtABC,中,C=90,B=20,PQ,垂直平分,AB,垂,足为,Q,交,BC,于点,P.,按以下步骤作图,:,以点,A,为圆心,以适当的长为半径作弧,分,别交边,AC,AB,于点,D,E;,分别以点,D,E,为圆心,以大于,DE,的长为半径作弧,两弧,相交于点,F;,作射线,AF.,若,AF,与,PQ,的夹角为,则,=_.,55,2.(2020潍坊中考)如图,在RtABC中,C=90,3.(2019,杭州中考,),如图,在,ABC,中,ACABBC.,(1),已知线段,AB,的垂直平分线与,BC,边交于点,P,连接,AP,求证,:APC=2B.,(2),以点,B,为圆心,线段,AB,的长为半径画弧,与,BC,边交于点,Q,连接,AQ.,若,AQC=3B,求,B,的度数,.,3.(2019杭州中考)如图,在ABC中,ACABB,【解析】,(1),线段,AB,的垂直平分线与,BC,边交于点,P,PA=PB,B=BAP.,APC=B+BAP,APC=2B.,【解析】(1)线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,PA,(2),根据题意可知,BA=BQ,BAQ=BQA,AQC=3B,AQC=B+BAQ,BAQ=BQA=2B.,BAQ+BQA+B=180,5B=180,B=36.,(2)根据题意可知BA=BQ,考点四 勾股定理及逆定理,【示范题,4,】,(2020,北部湾中考,),九章算术,是古代东方数学代表作,书中,记载,:,今有开门去阃,(,读,kun,门槛的意思,),一尺,不合二寸,问门广几何,?,题目大意,是,:,如图,1,2(,图,2,为图,1,的平面示意图,),推开双门,双门间隙 的距离为,2,寸,点,C,和,点,D,距离门槛,AB,都为,1,尺,(1,尺,=10,寸,),则,AB,的长是,(,),A.50.5,寸,B.52,寸,C.101,寸,D.104,寸,C,考点四 勾股定理及逆定理C,【答题关键指导】,运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤,1.,确定三角形的最长边,.,2.,计算最长边的平方以及其他两边的平方和,.,3.,判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等,若相等,则此三角形为直角三角形,否则不是直角三角形,.,【答题关键指导】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角,【跟踪训练】,1.(2020,玉林中考,),如图是,A,B,C,三岛的平面图,C,岛在,A,岛的北偏东,35,方向,B,岛在,A,岛的北偏东,80,方向,C,岛在,B,岛的北偏西,55,方向,则,A,B,C,三岛组成一,个,(,),A.,等腰直角三角形,B.,等腰三角形,C.,直角三角形,D.,等边三角形,C,【跟踪训练】C,2.(2020,宁波中考,),如图,在,RtABC,中,ACB=90,CD,为中线,延长,CB,至点,E,使,BE=BC,连接,DE,F,为,DE,中点,连接,BF.,若,AC=8,BC=6,则,BF,的长为,(,),A.2B.2.5,C.3D.4,B,2.(2020宁波中考)如图,在RtABC中,ACB=,3.(2019,北部湾中考,),如图,AB,与,CD,相交于点,O,AB=CD,AOC=60,ACD+ABD=210,则线段,AB,AC,BD,之间的数量关系式为,_.,AB,2,=AC,2,+BD,2,3.(2019北部湾中考)如图,AB与CD相交于点O,AB,4.(2020,黔西南州中考,),如图,在,RtABC,中,C=90,点,D,
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