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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/9/14,#,微分、积分和微分方程,实验四,定积分-连续求和,定积分-连续求和,三种方法计算数值积分,（1）定义法，取近似和的极限,。,高等数学中不是重点内容,但数值积分的各种算法却是基于定义建立的,（2）用不定积分计算定积分,。,不定积分是求导的逆运算，,而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积）,表面上看是两个完全不同的概念，,通过牛顿莱布尼兹公式联系在一起，,（3）解微分方程计算定积分,微积分学基本定理,特别，F(b)-F(a)就是所需的定积分.,在高等数学中总是期望求出不定积分的封闭解.,但数值积分是更有用的工具。,牛顿莱布尼兹公式不愧为微积分的“基本定理”。,基本定理的推广,（解微分方程计算定积分）,基本定理的推广,（解微分方程计算定积分）,解微分方程的,Eular折线法,解微分方程的,Eular折线法,将区间n=4等分（共有5个分点,)；计算分点和相应的函数值,（x(1),x(2),x(3)x(4)x(5),（f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),在第一个子区间x(1),x(2)上，画出折线段 y(2)=y(1)+f(1),*,(x-x(1)代替解曲线段y(x)，,这里y(1)=y0=0,折线段的起点为x(1),y(1)，终点为x(2),y(2).,运行exp4_1.m，观察第二、三、四子区间的情况。,符号微积分,用Matlab符号工具箱（Symbolic Toolbox）可以进行符号演算,符号微积分,(创建符号变量）,sym var,创建单个符号变量；,syms var1 var2 ,创建多个符号变量；,f=sym(符号表达式),创建符号表达式，赋予f,；,equ=sym(equation),创建符号方程,。,符号微积分,(,极限,）,limit(表达式,var,a)：求当var a，表达式的极限,例：求极限：,syms x a,I1=limit(sin(x)-sin(3*x)/sin(x),x,0),运行结果,符号微积分,(,求导,）,diff(f,var,n),求 f 对变量var 的n阶导数,缺省n时为求一阶导数,缺省变量var 时，默认变量为x,可用来求单变量函数导数,多变量函数的偏导数,还可以求抽象函数的导数,符号微积分,(,求导,）,例：求,syms x y,f=sym(exp(-2*x)*,cos(3*,x(1/2),diff(f,x),运行,符号微积分,(,求导,）,syms x y,g=sym(g(x,y),f=sym(f(x,y,g(x,y),diff(f,x),diff(f,x,2),运行,例：求,符号微积分,(,积分,）,int(f,var)：求函数f的不定积分；,int(f,var,积分下限，积分上限)：,求函数f的定积分或广义积分,例：求不定积分,syms x y z,I1=int(sin(x,*,y+z),z),符号微积分,(,积分,）,syms x y z,I2=int(1/(3+2,*,x+x2),x,0,1),I3=int(1/(3+2,*,x+x2),x,-inf,inf),符号微积分,(,化简、提取和代入),符号运算的结果比较繁琐，使用化简指令可对其进行化简。,但是不能指望机器可以完成一切，人的推理往往必须的。,常用的化简指令如下,展开指令：expand(表达式)；,因式分解：factor(表达式),降幂排列：collect（表达式，var）；,一般化简：simplify(A)；,符号微积分,(,化简、提取和代入),观察：将展开(a+x)6-(a-x)6，然后作因式分解。,t_expand=expand(t),t_factor=factor(t_expand),t_simplify=simplify(t),观察结果,数值微积分,（,梯形公式和辛普森公式,）,trapz(x,y)，按梯形公式计算近似积分；,其中步长x=x,0,x,1,x,n,和函数值y=f,0,f,1,f,n,为同维向量，,q=quad(fun,a,b,tol,trace,P1,P2,.)（低阶方法，辛普森自适应递归法求积）,q=quad8(fun,a,b,tol,trace,P1,P2,.)（高阶方法，自适应法Cotes求积）,在同样的精度下高阶方法quad8要求的节点较少。,x,y=ode23(fun,tspan,y0,option)（低阶龙格库塔函数）,x,y=ode45(fun,tspan,y0,option),（高阶龙格库塔函数）,应用、思考和练习,(追击问题),我缉私雷达发现，距离d处有一走私船正以匀速a沿直线行驶，缉私舰立即以最大速度（匀速v）追赶。,若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，,缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否能够追上走私船？,如果能追上，需要用多长时间？,应用、思考和练习,(追击问题),应用、思考和练习,(追击问题),r=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v),方程的符号解,syms y d r,xs1=,dsolve(D2x=-r,*,sqrt(1+Dx2)/y,x(20)=0,Dx(20)=0,y),xs=simplify(xs1),运行结果，画彗星图,应用、思考和练习,(追击问题),r=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v),方程的符号解,syms y d r,xs1=,dsolve(D2x=-r,*,sqrt(1+Dx2)/y,x(20)=0,Dx(20)=0,y),xs=simplify(xs1),运行结果，画彗星图,应用、思考和练习,(追击问题，,如果雷达失效,),当缉私舰雷达发现d处有一走私船后，雷达突然损坏,若假定走私船作匀速直线运动（但不知方向），且缉私舰艇速度v大于走私船速度a，,则缉私舰应采用什么样的航行路线，不管走私船从哪个方向逃跑，都能追捕上它？,实时动画制作,（见实验10）,观察：模拟弹簧振动,讨论最简单的情形，一弹簧系统作横向运动，其位移由u=2+cos(t)所决定，,仿真弹簧的振动,实时动画制作,(初始化、见实验10）,程序讲解,animinit(,onecart1 Animation,),axis(-2 6-10 10);hold on;u=2;,xy=0 0 0 0 u u u+1 u+1 u u;,-1.2 0 1.2 0 0 1.2 1.2-1.2-1.2 0;,x=xy(1,:);y=xy(2,:);,plot(-10 20,-1.4-1.4,k-,LineWidth,2);,hndl=plot(x,y,k-,EraseMode,XOR,LineWidth,2),实时动画制作,(初始化、见实验10）zxy10-2,set(gca,UserData,hndl);,for,t=1:0.025:1000;,u=2+exp(-0.00*t)*cos(t);,x=0 0 0 0 u u u+1 u+1 u u;,hndl=get(gca,UserData,);,set(hndl,XData,x,YData,y);,drawnow,end,电影动画制作（zxy7_3),moviein、getframe、movie指令,x=-8:0.5:8;XX,YY=meshgrid(x);,r=sqrt(XX.2+YY.2)+eps;,Z=sin(r)./r;,surf(Z);,%画出祯,theAxes=axis;,%保存坐标值，使得所有帧都在同一坐标系中,电影动画制作,fmat=moviein(20);,%创建动画矩阵，保存20祯,for j=1:20;,%循环创建动画数据,surf(sin(2*pi*j/20)*Z,Z),%画出每一,步的曲面,axis(theAxes),%使用相同的坐标系,fmat(:,j)=getframe;,%拷贝祯到矩阵fmat中,end,movie(fmat,10),%演示动画10次,应用、思考和练习(,枪支的设计,),枪支发火后，气体压强随子弹在膛内的运动而变化。枪管长度x的单位为m。压强p是距离x的函数，通过实测得到了的一批数据，,子弹射出枪管时的出口速度是设计者关心的问题，如果一只枪管长0.6096m，其膛孔面积4.5610,-5,m,2,，子弹重量0.956N，试决定这种型号枪支的出口速度；,更一般的，确定出口速度和枪管长度的关系曲线，绘制这一曲线，并作出适当的标记。这样的问题和你在高等数学中处理的积分有什么区别吗？,经常,不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有,力量,Study Constantly,And You Will Know Everything.The More You Know,The More Powerful You Will,Be,学习总结,结束语,当,你尽了自己的最大努力,时,，,失败,也是伟大,的，所以不要放弃，坚持就是正确的。,When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The,End,演讲,人：,XXXXXX,时,间：,XX,年,XX,月,XX,日,
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