梁和结构的位移22学时

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第十一章 梁和结构的位移,林国昌,哈工大,第十一章 梁的应力,2,111,概述,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,113,叠加法,114,单位荷载法,115,图乘法,116,线弹性体的互等定理,117,结构的刚度校核,111,概述,林国昌,4,111,概述,本章研究微小、弹性变形情况下,静定梁和静定结构的位移计算。,计算位移的目的:,2.,为超静定构件和结构的内力分析提供预备知识。,1.建立刚度条件,确保构件和结构的变形符合使用要求,;,举例分析：,x,w,B,A,取梁的左端点为坐标原点，,梁变形前的轴线为,x,轴，,横截面铅垂对称轴为,w,轴，,x,w,平面为纵向对称平面。,F,C,C,5,111,概述,x,w,B,A,F,C,C,1.,度量梁变形后,横截面位移,的两个基本量,（,1,）,挠度,（,w,）,：,横截面形心,C,在垂直于,x,轴方向的线位移，称为该截面的挠度。,w,C,挠度,（,2,）,转角,（,）：,横截面对其原来位置的角位移,，,称为该截面的转角。,转角,C,2.,挠度和转角符号的规定,挠度：向下为正，向上为负。,转角：,自,x,转至切线方向，,顺时针转为正，逆时针转为负。,C,6,111,概述,x,w,B,A,F,C,C,3.,挠曲线,:,梁变形后的轴线称为挠曲线,。,w,C,挠度,转角,C,4.,挠度和转角的关系,C,挠曲线,挠曲线方程为,式中：,x,为梁变形前轴线上任一点的横坐标，,w,为该点的挠度。,小变形情况下,:,即挠曲线上任意点的斜率,为该点处横截面的转角。,研究,梁,的弯曲变形时,只要求出挠曲线方程,任意横截面的挠度和转角便都已确定。,7,111,概述,思考：如何求结构的位移？,求弯曲变形的方法不适用！,求结构的位移采用单位荷载法！,及图乘法！,8,111,概述,5.,梁的位移分析的工程意义,(1),齿轮传动,轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动；,加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。,变形带来的弊端：,1,2,1,2,9,111,概述,5.,梁的位移分析的工程意义,(2),继电器中的簧片,当变形足够大时，可以有效接通电路；,当变形不够大时，不能有效接通电路；,触点,簧片,工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。,电磁力,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,林国昌,11,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,11-2-1,梁的挠曲线近似微分方程,纯弯曲时梁挠曲线上一点的曲率表达式：,推广到横力弯曲时（剪力存在时）：,数学中的曲率公式,整理得,:,(9-1),12,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,11-2-1,梁的挠曲线近似微分方程,与,1,相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为,:,去掉绝对值符号则,:,13,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,M,M,M,M,M,0,O,x,w,讨论,与,M,(,x,),正、负关系：,O,x,w,M,0,结论：,与,M,(,x,),总是相反关系！,梁的挠曲线近似微分方程为：,14,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,梁的挠曲线近似微分方程为：,求解上述微分方程,即可得出挠曲线方程,从而求得挠度和转角。,15,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,11-2-2,挠曲线近似微分方程的积分,若为等截面直梁,其抗弯刚度,EI,为一常量。,上式积分一次得转角方程,:,再积分一次，得挠度方程,:,重积分法求得挠度方程,式中,:,C,、,D,是积分常数，,由梁挠曲线上的已知变形条件确定。,梁挠曲线的边界条件和连续条件,16,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,1.,挠曲线的边界条件,A,B,A,B,在简支梁中，左右两铰支座处的,挠度,w,A,和,w,B,都应等于零。,w,A,=0,w,B,=0,在悬臂梁中，固定端处的,挠度,w,和转角,A,都应等于零。,w,A,=0,A,=0,17,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,2.,挠曲线的连续条件,A,B,在挠曲线的任一点上，,有唯一的挠度和转角。,(,错,),A,B,(,错,),A,B,F,C,w,C,左,=,w,C,右,C,左,=,C,右,挠曲线的连续条件,18,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,补充例题,1:,边界条件,:,w,A,=0,A,=0,连续条件,:,w,B,左,=,w,B,右,B,左,=,B,右,补充例题,2:,B,处的连续条件？,B,w,B,左,=,w,B,右,B,左,B,右,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,19,例题,11-2,一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为,EI,求梁的最大挠度及,B,截面的转角。,q,A,B,x,q,A,B,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,20,例题,11-2,一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为,EI,求梁的最大挠度及,B,截面的转角。,解,:,1.,确定梁的约束力,2.,建立梁的弯矩方程,x,3.,建立梁的挠曲线近似微分方程,q,A,B,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,21,例题,11-2,一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为,EI,求梁的最大挠度及,B,截面的转角。,x,4.,对微分方程一次积分，得转角方程,:,5.,再对转角方程一次积分，得挠度方程,:,解,:,22,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,例题,11-2,一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度,为,EI,求梁的最大挠度及,B,截面的转角。,解,:,6.,利用边界条件确定积分常数,当,x,=0,时，,w,A,=0,当,x,=,l,时，,w,B,=0,分别代入转角与挠度方程，得积分常数：,7.,给出转角方程和挠度方程：,q,A,B,23,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,q,A,B,例题,11-2,一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度,为,EI,求梁的最大挠度及,B,截面的转角。,解,:,x,7.,给出转角方程和挠度方程：,8.,求最大,挠度和,截面,B,转角：,在跨中,x,=,l,/2,时，有最大,挠度：,x,=,l,时，截面,B,转角,：,B,x,24,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,F,A,B,例题,11-3,图示简支梁,受集中荷载,F,作用，梁的弯曲刚度为,EI,试求,C,截面的挠度和,A,截面的转角。,解,:,x,1,x,C,w,1.,确定梁的约束力,2.,分段建立梁的弯矩方程：,AC,段：,CB,段：,x,2,3.,建立梁的挠曲线近似微分方程,:,AC,段：,CB,段：,25,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,F,A,B,例题,11-3,图示简支梁,受集中荷载,F,作用，梁的弯曲刚度为,EI,试求,C,截面的挠度和,A,截面的转角。,解,:,x,1,x,C,w,x,2,4.,分别积分，得转角与挠度方程,:,AC,段：,CB,段：,26,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,F,A,B,例题,11-3,图示简支梁,受集中荷载,F,作用，梁的弯曲刚度为,EI,试求,C,截面的挠度和,A,截面的转角。,解,:,x,1,x,C,w,x,2,5.,利用边界条件和连续条件确定积分常数,:,(1),边界条件,在,x,=0,处，,在,x,=,l,处，,(2),D,点的连续条件,在,x,1,=,x,2,=,a,处，,(3),代入方程，,解得积分常数：,27,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,F,A,B,例题,11-3,图示简支梁,受集中荷载,F,作用，梁的弯曲刚度为,EI,试求,C,截面的挠度和,A,截面的转角。,解,:,x,1,x,C,w,x,2,6.,给出转角方程和挠度方程：,AC,段：,CB,段：,28,112,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,F,A,B,例题,11-3,图示简支梁,受集中荷载,F,作用，梁的弯曲刚度为,EI,试求,C,截面的挠度和,A,截面的转角。,解,:,x,1,x,C,w,x,2,7.,求指定截面,转角和挠度值：,C,截面挠度,：,A,截面转角：,x,1,=,a,，,或,x,2,=,a,x,1,=0,思考,：最大挠度发生在哪里,?,答,:,C,处。,113,叠加原理,林国昌,