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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,北师大课标九上,1.3(1),单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,10.4,线段的垂直平分线,10.4线段的垂直平分线,1,、经历“探索,发现,-,猜想,-,证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力,.,2,、证明线段垂直平分线的性质定理探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力,.,学习目标：,2、证明线段垂直平分线的性质定理探索并证明线段垂直平分线的判,已知,:,线段,AB,，,(,如图,).,求作,:,线段,AB,的垂直平分线,.,做一做：,用尺规作线段的垂直平分线,.,1,.,分别以点,A,和,B,为圆心,，,以大于,AB,的长为半径作弧,，,两弧交于点,C,和,D,.,A,B,C,D,2,.,作直线,CD,.,则直线,CD,就是线段,AB,的垂直平分线,.,.,.,作法：,自主学习,已知:线段AB，(如图).做一做：用尺规作线段的垂直平分线,(,1,),同学们怎么知道“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”这条性质呢？,我们曾经利用折纸的方法得到这条性质,(,2,),同学们能否通过逻辑推理证明这条性质呢？,自主学习,(1)同学们怎么知道“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点,证明：,MN,AB,PCA,=,PCB,=90,在,PCA,和,PCB,中，,Rt,PCA,Rt,PCB,(,SAS,),PA,=,PB,(,全等三角形的对应边相等,),A,C,B,P,M,N,定理,：,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,已知,:,如图,，,直线,MN,AB,，,垂足是,C,，且,AC,=,BC,，,P,是,MN,上任意一点,.,求证,:,PA,=,PB,.,自主学习,AC,=,BC,PCA,=,PCB,=90,C,=,PC,证明：MNABACBPMN定理：线段垂直平分线上的点到这,几何语言描述,老师提示,:,这个结论是经常用来证明两条,线段相等的根据之一,.,A,B,M,N,C,P,如图,，,AC,=,BC,，,MN,AB,，,P,是,MN,上任,意一点,(,已知,),PA,=,PB,(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等),自主学习,几何语言描述老师提示:这个结论是经常用来证明两条,想一想：,你能写出“,定理,线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等,”的逆命题吗,？,逆命题,如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上,.,即到一条线段两个端点距离相等的点,，,在这条线段的垂直平分线上,.,它是真命题吗,？,如果是,，,请你证明它,.,思考分析,合作交流,想一想：你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点,已知,:,如图,，,线段,BC,，,AB,=,AC,.,求证,:,点,A,在,BC,的垂直平分线上,.,B,C,A,合作交流,已知:如图，线段BC，AB=AC.BCA合作交流,AD,BC,ADB,和,ADC,都是,Rt,AB,=,AC,，,AD,=,AD,Rt,ADB,Rt,ADC,(,HL,),BD,=,CD,(,全等三角形的对应边相等,),点,A,在,BC,的垂直平分线上,C,B,D,A,方法一：,过点,A,作,AD,BC,，,垂足为,D,合作交流,ADBCCBDA 方法一：过点A作ADBC，垂足为D,D,为,BC,的中点,BD,=,CD,AB,=,AC,，,AD,=,AD,ADB,ADC,(,SSS,),ADB,=,ADC,ADB,+,ADC,=180,ADB,=,ADC,=90,AD,BC,即,点,A,在,BC,的垂直平分线上,方法二：,把线段,BC,的中点记为,D,，,连接,AD,合作交流,B,D,A,C,思考,你还有其它证,明方法吗？,D为BC的中点方法二：把线段BC的中点记为D，连接AD合作,逆定理,到一条线段两个端点距离相等,的点,，,在这条线段的垂直平分线上,.,几何语言描述：,如图,，,AB,=,AC,(,已知,),，,点,A,在,BC,的垂直平分线上,(,到一条线段两个端点距离相等的点,，,在这条线段的垂直平分线上,).,提示,:,这个结论经常用来证明,点在直线上,(,或,直线,经过某一点,),的根据之一,.,合作交流,B,D,A,C,逆定理 到一条线段两个端点距离相等几何语言描述：提示:这个结,例,1,：已知：如图,，在,ABC,中，,AB,=,AC,，,O,是,ABC,内一点，且,OB,=,OC,.,求证：直线,AO,垂直平分线段,BC,证明：,AB,=,AC,点,A,在,BC,的垂直平分线上,(,到一条线段两个端点距离相等的点,，,在这条线段的垂直平分线上,),同理，点,O,在,BC,的垂直平分线上,直线,AO,垂直平分线段,BC,(,两点确定一条直线,),例题展示,例1：已知：如图，在 ABC 中，AB=AC，,1,、已知：线段,AB,及一点,P,，,PA,=,PB,，,则点,P,在,_,上,.,线段的垂直平分线,120,2,、已知：如图，,BAC,=120,，,AB,=,AC,，,AC,的,垂直平分线交,BC,于,D,则,ADC,=,.,课堂检测,1、已知：线段AB及一点P，PA=PB，线段的垂直平分线1,3,、如图，在,ABC,中，,C,=90,，,DE,是,AB,的垂直平分线,.,(,1,),则,BD,=,；,(,2,),若,B,=40,，则,BAC,=,，,DAB,=,，,DAC,=,，,CDA,=,；,(,3,),若,AC,=4,，,BC,=5,，则,DA,+,DC,=,_,，,ACD,的周长为,.,AD,9,5,10,80,40,50,课堂检测,3、如图，在ABC中，C=90，DE是AB的垂直平,4,、有特大城市,A,及两个小城市,B,、,C,，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到,B,、,C,两城市的距离相等，且使,A,市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置,.,课堂检测,4、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处,A,B,C,D,回顾,思考,1,.,线段的垂直平分线的性质定理和判断定理,.,2,.,线段的垂直平分线的作法,.,ABCD回顾 思考1.线段的垂直平分线的性质定,利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后你发现了什么？,用心做一做,发现：,三角形三边的垂直平分线交于一点这一点到三角形三个顶点的距离相等,利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后你发现了什么？用心,剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线,.,结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点,.,实际操作，你又能发现什么？,怎样证明这个结论呢？,点拨：,要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可,.,剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.结论：三角形,命题,:,三角形三条边的垂直平分线相交于一点,.,已知：如图，在,ABC,中，,AB,，,BC,的垂直平分线相交于点,P,，,求证：点,P,也在,AC,的垂直平分线上,证明：,连接,AP,，,BP,，,CP,.,点,P,在线段,AB,的垂直平分线上，,PA,=,PB,(,线段垂直平分线上的点到线,段两个端点的距离相等,),同理，,PB,=,PC,.,PA,=,PC,.,点,P,在线段,AB,的垂直平分线上,(,到线段两个端点距离相等的点,.,在这条线段的垂直平分线上,),AB,，,BC,，,AC,的垂直平分线相交于一点,.,A,B,C,P,命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.ABC,定理,:,三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等,.,如图，在,ABC,中，,c,，,a,，,b,分别是,AB,，,BC,，,AC,的垂直平分线,(,已知,),，,c,，,a,，,b,相交于一点,P,，且,PA,=,PB,=,PC,(,三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等,).,A,B,C,P,a,b,c,图形语言,文字语言,数字符号语言,定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶,开拓创新 试一试,1,分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置,.,锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；,钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外,.,开拓创新 试一试1分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角,开拓创新 试一试,2,已知：,ABC,中，,AB,=,AC,，,AD,是,BC,边上的中线，,AB,的垂直平分线交,AD,于,O,求证：,OA,=,OB,=,OC,D,C,B,A,O,证明：,AB,=,AC,，,AD,是,BC,的中线，,AD,垂直平分,BC,(,等腰三角形底边上的中线垂直于底边,),又,AB,的垂直平分线与交于点,O,OB,=,OC,=,OA,(,三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等,),开拓创新 试一试2已知：ABC中，AB=AC，AD是BC,动手做一做，小组议一议,(,1,),已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？,已知：三角形的一条边,a,和这边上的高,h,求作：,ABC,，使,BC,=,a,，,BC,边上的高为,h,1,A,D,C,B,A,a,h,(,),D,C,B,A,a,h,1,A,D,C,B,A,a,h,1,A,注意：这样的三角形有无数多个观察还可以发现这些三角形不都全等,.,动手做一做，小组议一议(1)已知三角形的一条边及这条边上的,(,2,),已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？,这样的等腰三角形也有无数多个,.,根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形,如图所示，这些三角形不都全等,动手做一做，小组议一议,(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果,(,3,),已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？,这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧所以满足这一条件的三角形是唯一确定的,.,你能尝试着用尺规作出这个三角形吗？,动手做一做，小组议一议,(3)已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角,已知：线段,a,、,h,求作：,ABC,，使,AB,=,AC,，,BC,=,a,，高,AD,=,h,作法：,1,作,BC,=,a,；,2,作线段,BC,的垂直平分线,MN,交,BC,于,D,点；,3,以,D,为圆心，,h,长为半径作弧交,MN,于,A,点；,4,连接,AB,、,AC,ABC,就是所求作的三角形,N,M,D,C,B,a,h,A,已知：线段a、h求作：ABC，使AB=AC，BC=a，高,当堂检测,1,、在三角形内部，有一点,P,到三角形三个顶点的距离相等，则点,P,一定是,(,),A,、三角形三条角平分线的交点；,B,、三角形三条垂直平分线的交点；,C,、三角形三条中线的交点；,D,、三角形三条高的交点,.,2,、已知,ABC,的三边的垂直平分线交点在,ABC,的边上，则,ABC,的形状为,(,),A,、锐角三角形；,B,、直角三角形,；,C,、钝角三角形；,D,、不能确定,3,、等腰,Rt,ABC,中，,AB,=,AC,，,BC,=,a,，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点,O,，则点,O,到三角形三个顶点的距离是,.,当堂检测1、在三角形内部，有一点P到三角形
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