结构力学第二章结构的几何组成分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,结构的几何组成分析,李亚智,航空学院,航空结构工程系,2.1,概述,结构要能承受各种可能的载荷，其几何组成要稳固。即受力结构各元件之间不发生相对刚体移动，以维持原来的几何形状。,在任意载荷作用下，若不考虑元件变形，结构保持其原有几何形状不变的特性称为,几何不变性,。,在载荷作用下的系统可分为三类。,2.1.1,几何可变系统,特点：,不能承载，只能称作“机构”。,2,1,3,4,P,2,3,2.1.2,几何不变系统,特点：能承载，元件变形引起几何形状的微小变化，可以称为结构。,2.1.3,瞬时几何可变系统,特点：先发生明显的几何变形，而后几何不变。,P,2,1,3,4,2,3,2,3,P,2,1,3,4,5,1,2,3,P,内力巨大，不能作为结构。,N,21,N,23,P,2,由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。,系统几何组成分析的目的：,（,1,）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构使用；,（,2,）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理的结构；,（,3,）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算方法。,2.2,几何不变性的判断,2.2.1,运动学方法,将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的,自由度,；,将结构中的另一些元件看成,约束,。,如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。,所谓运动学方法，就是指这种引用“,约束,”和“,自由度,”的概念来判断系统几何不变性的方法。,1,、自由度与约束,（,1,）自由度的定义,决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用,n,表示。,平面一个点有,2,个独立坐标，故,n,=2,空间一个点有,3,个独立坐标，故,n,=3,空间一根杆有,5,个自由度，,一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有,3,个自由度，,n,=3,一个空间刚体有,6,个自由度，,n,=6,(),，,n,=5,（,2,）约束的定义,约束定义为减少自由度的装置，用,c,来表示。,（,a,）杆的约束,平面内一点被一根两端带铰的杆子（,链杆,）铰接在原点。,A,的轨迹,只需要一个角度,就可以决定,A,点的位置，或者说,x,A,和,y,A,中只有一个独立，,A,点原有两个自由度变成了一个。,平面内一根两端有铰链的杆子是一个约束，,c,=1,。,空间一点,A,原有,3,个自由度，被一根两端带铰的杆子铰接在原点后，只需要两个独立变量,和,就可确定其位置。,空间内一根两端有铰链的杆子也是一个约束，,c,=1,。,（,b,）支座的约束,平面中的可动铰支座能消去,1,个自由度，但不能消除转动，,因此对应,1,个约束，,c,=1,平面中的固定铰支座能消去,2,个自由度（,2,个线位移），但不能消除转动，因此对应,2,个约束，,c,=2,空间中的固定铰支座能消去,3,个自由度,因此对应,3,个约束，,c,=3,平面固支，,c,=3,空间固支，,c,=6,（,c,）铰链,平面两个刚片的自由度,:,平面单铰相当于,2,个约束,单铰,用单铰连接后只剩下,4,个自由度,:,连接两个平面刚片的单铰,复铰,m,个刚片,原,m,个刚片的总自由度：,连接,m,个刚片的复铰,用复铰连接后自由度为,2,个线位移加,m,个角度：,故约束数,连接,m,个刚片的复铰相当于 个约束。,m,个铰的总自由度数：,系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。,1,2,3,4,5,6,m-1,m,连接,m,个铰的平面刚片,和刚片连接后只剩下,3,个自由度,连接,m,个铰的平面刚片具有 个约束。,小结：,当把元件看成自由体时，铰和支座就看成约束；,当把铰看成自由体时，元件和支座可看成约束。,要保证系统的几何不变性，就要求系统内自由体的约束数足以控制其自由度数,。,例,2-1,分析图示桁架的几何不变性,方法一：,结点（铰）视为自由体，,杆件视为约束,分析：,这,3,个自由度对应于系统整体刚体位移，不影响几何不变性，故判断时可不考虑，即满足几何不变的最小约束数,c,min,=,n,-3,。,P,P,P,P,1,2,3,4,5,5,个结点,7,根杆,，多出,3,个自由度。,如果将,1,、,5,两个结点固定铰支，则,所以，对系统被固定的情况，,P,P,1,2,3,4,5,5,个结点,7,根杆，,2,个固定铰支座,约束比自由度多,1,。,方法二：,杆件视为自由体,结点视为约束,1,个,4,杆复铰,，多出的,3,个自由度为刚体位移。,显然第二种方法比第一种方法麻烦一些，故可尽量采用第一种方法，即将结点视为自由体，杆件视为约束。,P,P,P,P,1,2,3,4,5,7,根杆,2,个单铰,2,个,3,杆复铰,评论：,满足系统几何不变的最小约束数为,c,min,，,f,称为多余约束数。,系统几何不变的,充分条件,是元件布置合理。,总结：,为保证系统几何不变的,必要条件,。,f,=0,时（无多余约束），称为静定结构；,在平面系统几何构造分析中，最基本的几何不变系统是三杆（三刚片）铰接系统，没有多余约束。这就是三角形规律。,1,2,3,1,2,3,f,0,时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，,f,就是静不定的次数。,如果元件安排合理，则,布置不合理,f,=0,f,=1,布置合理，,1,次超静定,f,=0,布置合理，静定,2,、,几何不变体的组成规律,实铰,与,虚铰,的概念：,平面一个单铰相当于两个约束，而一根连杆相当于一个约束，因而两根杆子的作用相当于一个单铰。,实铰定义为两杆的交点铰；,平面上一个刚片原有,3,个自由度，当用两根不平行的链杆,1,和,2,把它和基础相连，则此刚片只有一个自由度。,实铰,刚片,1,2,单铰是实铰；,虚铰,刚片,1,2,当两杆不相交时构成,虚铰,；,虚铰是两杆延长线的交点，是刚片的瞬时转动中心；,虚铰的位置在刚片运动过程中不断改变，所以虚铰也被称为“,瞬铰,”。,刚片,1,2,相交于,虚铰的特例：,两杆平行，延长线交于无穷远。瞬时转动中心无穷远，刚片开始瞬间的运动为平动。,几何不变系统的组成规则（三刚片规则）,:,三个刚片之间用不在同一直线上的铰（实铰或虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。,三刚片规则的,推论,：,（,1,）,一个刚片与一个点用两根不在同一直线上的连杆相连，,则组成无多余约束的几何不变体；,（,2,）,两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的连杆相连，,或,两个刚片用三根不全平行也不交于一点的连杆相连，,则组成无多余约束的几何不变体系。,A,B,C,3,、瞬变系统的判断,判断方法：,三个刚片用共线的三个实（虚）铰相连，则系统瞬变。,几何可变,几何瞬变,几何瞬变,几何瞬变,例,2-2,分析图示桁架系统的几何不变性并计算多余约束数,两个无多余约束的“刚片”,和,，用三根不全平行也不交于一点的杆相连，构成无多余约束的几何不变系统。,解：,例,2-3,分析图示桁架系统的几何不变性并计算多余约束。,解,:,3,个无多余约束的“刚片”，通过,2,个实铰,4,、,6,和一个虚铰（杆,7-8,和杆,9-l0,相交于无穷远处）两两相连，。,3,铰共线，为瞬变系统。,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,例,2-4,分析图示体系的几何组成,解：,三个虚铰不共线，所以为无多余约束的几何不变体系。,A,B,C,D,E,F,O,1,O,2,O,3,将,AD,、,BE,和,CF,三杆视为三个刚片。,三刚片两两之间通过三个虚铰,O,1,、,O,2,和,O,3,相连。,例,2-5,对图示体系作几何组成分析,A,B,C,D,E,折杆,AD,和,BE,可看成链杆，则该体系可看成两个刚片通过三根杆,AD,、,CF,和,BE,相连，但三根杆延长线可交于一点,O,，系统瞬变。,A,B,C,D,E,O,F,解：,，满足几何不变的必要条件。,例,2-6,对图示体系作几何组成分析,解：,A,B,C,D,E,F,若进行运动学分析,可将结点视为自由体，杆和支承视为约束。,10,个结点，,6,个链杆（折杆,DF,和,EF,分别相当于直杆）,2,个带,3,铰刚片，,4,个固定铰支座。,自由度：,约束,:,可以将系统看成,3,个刚片，通过一个实铰,B,和两个虚铰（,H,和,G,）两两相连。,A,B,C,D,E,F,H,G,三个铰不共线，构成无多余约束的几何不变系统。,4,、空间桁架的几何构造分析,（,1,）空间桁架系统，每增加一个结点，须用,3,根不在同一平面中的杆连接；,无多余约束的基本空间桁架结构,（,2,）一个刚体和另一个刚体相连需要,6,根杆（消除,6,个自由度），则,a,）如果有,3,根杆交于一点而不在同一平面，当,6,根杆不交于同一直线时，组成无多余约束的几何不变体；,b,）如果有,3,根杆位于同一平面而不交于一点，当,6,根杆不交于同一直线时，组成无多余约束的几何不变体；,例,2-4,书上例,2-4,。图示空间系统，用,6,根杆子固定一个机翼，试判断其几何不变性。,将机翼视为刚体，具有,6,个自由度，用,6,根杆子来固定，满足最小约束数。,o,z,y,x,4,5,1,2,3,6,解：,o,z,y,x,A,A,4,5,1,2,3,6,1,、,2,、,3,杆共面，,2,、,4,、,6,杆共面；,两个面的交线为,A-A,；,杆,5,与,A-A,平行，相当于和,A-A,交于无穷远。,机翼可以绕,A-A,转动，系统几何可变。,所有杆交于一条线,A-A;,o,z,y,x,A,A,4,5,1,2,3,6,4,如果将杆,4,改成,4,，则,6,根杆仍然相交于,A-A,；,仍可以瞬时绕,A-A,转动；,系统几何瞬变。,随后,4,杆起作用；,o,z,y,x,A,1,A,1,A,A,5,1,2,3,6,4,4,如果将杆,4,改成,4,，则,1,、,4,、,6,杆共面，,1,、,2,、,3,杆共面，两个面的交线为,A,1,-A,1,；,杆,5,与,A,1,-A,1,线既不平行，也不相交；,绕,A,1,-A,1,轴的转动受到杆,5,制约，系统几何不变。,a,）,1,、,2,、,6,杆交于一点而不在同一平面，,6,根杆不交于同一直线，组成无多余约束几何不变体；,o,z,y,x,A,1,A,1,5,1,2,3,6,4,用前述方法判断：,a,）如果有,3,根杆交于一点而不在同一平面，当,6,根杆不交于同一直线时，组成无多余约束的几何不变体；,b,）如果有,3,根杆位于同一平面而不交于一点，当,6,根杆不交于同一直线时，组成无多余约束的几何不变体；,b,）,1,、,2,、,3,（或,1,、,4,、,6,杆）位于同一平面而不交于一点，,6,根杆不交于同一直线，组成无多余约束几何不变体。,例,2-8,判断几何不变性。,4,5,1,2,3,6,4,5,1,2,3,6,（,a,）,4,5,1,2,3,6,（,b,）,（,c,）,4,5,1,2,3,6,（,a,）,解（,a,）：,1,、,2,、,3,杆位于同一平面但不交于一点，,6,根杆不交于同一直线，无多余约束，几何不变。,4,5,1,2,3,6,（,b,）,1,、,3,、,5,、,6,杆四杆平行，相当于交于无穷远；,6,根杆都与,AA,线相交，刚体能绕,AA,转动；,几何瞬变？,Why,？,A,A,解（,b,）：,几何可变？,4,5,1,2,3,6,解（,c,）：,有四根杆（,2,、,4,、,5,、,6,）位于同一平面；,所有杆都与,BB,线相交，刚体能绕,BB,转动；,几何瞬变,?,Why,？,B,B,几何可变,?,（,1,）以一杆为基础依次用固接结点连接各杆，组成无铰简单刚架，是静定的；,5,、刚架的几何构造分析,规律：,（,2,）平面刚架每闭合一次增加,3,次静不定，空间刚架每闭合一次增加,6,次静不定；,（,3,）在闭合刚架中每增加一个单铰降低一次静不定，每增加一个连接,m,根杆子的复铰，降低,m,-1,次静不