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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,几何体外接球的与内切球,解题策略,几何体外接球的与内切球,二、球与多面体的接、切,定义,1,：若一个多面体的,各顶点,都在一个球的球面上,，则称这个多面体是这个球的,内接多面体,，这个球是这个 。,定义,2,：若一个多面体的,各面,都与一个球的球面相切,，则称这个多面体是这个球的,外切多面体,，这个球是这个 。,一、,球体的体积与表面积,多面体的,外接球,多面体的,内切球,二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球,剖析定义,1,一、由球心的定义确定球心,在空间，如果一个,定点,与一个简单多面体的,所有顶点,的距离都,相等,，那么这个定点就是该简单多面体的外接球球心。,剖析定义1一、由球心的定义确定球心 在空间，如果,几何体的外接球问题你通常会想到：,几何体的外接球问题：,题目中涉及,几何体外接球体,，或者,球内接几何体,，再或者说,球面上有几个点围成几何体,，这类题型称之为几何体的外接球问题。,知识点 几何体的外接球,画出球体、标明球心画出球的内接几何体 寻找突破口建立方程。,这类题80%以上都不用画图，只需要2步搞定：,识别模型代入公式,，就可以轻松求出外接球半径R。,正方体,长方体,正四面体,常见几何体的外接球半径：,几何体的外接球问题你通常会想到：几何体的外接球问题：题目中涉,模型一圆柱外接球模型,一个底面半径为r，高为h的圆柱，求它的外接球半径,.,如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如右图所示：,我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说,直棱柱的外接球求半径符合这个模型,。,在这里棱柱的高就是公式中的h，,而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r,变形一：,模型一圆柱外接球模型 一个底面半径为r，高为h的圆柱，求,变形二：,变形二：,变形三：,思考：,没错！这就是把上面那个四棱锥放倒了！,变形三：思考：没错！这就是把上面那个四棱锥放倒了！,旧题新解：,（）,旧解：,新解：,还原后的图形为：,旧题新解：（）旧解：新解：还原后的图形为：,规律总结：,圆柱-r,h自带,直棱柱-r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高,一根侧棱底面的锥体-r:底面外接圆半径；,h:垂直于底面的那条侧棱,一个侧面矩形底面的四棱锥-r:垂直底面的侧面的外接圆半径；,h:垂直于那个侧面的底边长,小结：,求r的几种方法：,等边三角形：,直角三角形：,已知一组对边和对角的非特殊三角形：,利用正弦定理！,规律总结：圆柱-r,h自带小结：求r的几种,小试牛刀,快速秒杀,(),(),小试牛刀快速秒杀()(),模型二补全立方体模型,类型一,.,正四面体：转化成正方体的外接球,方法：如图所示正四面体,ABCD,的外接球，,可转化为正方体的外接球,.,类型二,.,有三个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球,模型二补全立方体模型 类型一.正四面体：转化成正方体的外,类型三,.,有四个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球,类型三.有四个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的,类型四,.,对棱相等的三棱锥：转化成长方体的外接球,类型四.对棱相等的三棱锥：转化成长方体的外接球,课时小结：,课时小结：,课后练习,直通高考,_,(),2,.(2015全国卷,理,9),已知,A,，,B,是球,O,的球面上两点,，,AOB,90,，,C,为该球面上的动点若三棱锥,O,ABC,体积的最大值为,36,，,则球,O,的表面积为,(,),A,36,B,64 C,144,D,256,(),_,课后练习直通高考 _()2.(2,球与正四面体内切接问题,3,【例3】求棱长为a的正四面体内切球的体积,球与正四面体内切接问题3【例3】求棱长为a的正四面体内切球的,球与正四面体内切接问题,3,球与正四面体内切接问题3,正四面体内切、外接结论,3,球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体（棱长为a）的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r3：1.外接球半径：,内切球半径：,结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径 (为正四面体的高)，且外接球的半径 ,2,、正多面体的内切球和外接球的球心重合。,3,、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。,正四面体内切、外接结论3 球内接长方体的对角线,1,例,4,、正三棱锥的高为,1,，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,过侧棱,AB,与球心,O,作截面,(,如图,),在正三棱锥中，,BE,是正,BCD,的高，,O,1,是正,BCD,的中心，且,AE,为斜高,解法,1,：,O,1,A,B,E,O,C,D,作,OF AE,于,F,F,设内切球半径为,r,，则,OA=1,r,Rt AFO Rt AO,1,E,1例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱,例,4,、正三棱锥的高为,1,，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,解法,2,：,设球的半径为,r,，则,V,A-BCD,=,V,O-ABC,+V,O-ABD,+V,O-ACD,+V,O-BCD,注意：割补法，,O,1,A,B,E,O,C,D,例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,球的内接正方体的对角线等于球直径。,ABCDD1C1B1A1O球的内接正方体的对角线等于球直径。,一、定义法 针对讲解,1,一、定义法 针对讲解1,求正方体、长方体的外接球的有关问题,2,求正方体、长方体的外接球的有关问题2,2,出现正四面体外接球时利用构造法,(,补形法,),，联系正方体。,求正方体、长方体的外接球的有关问题,例 2.（全国卷）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）,A.B.C.D.,2出现正四面体外接球时利用构造法(补形法)，联系正方体。求,破译规律,-,特别提醒,2,破译规律-特别提醒2,直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。,4,解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径 ，从而解决问题。,直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。4解,正棱锥的外接球的球心是在其高上,5,正棱锥的外接球的球心是在其高上5,正棱锥的外接球的球心是在其高上,5,正棱锥的外接球的球心是在其高上5,测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心,6,测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心6,若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。,7,若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外,举一反三,-,突破提升,4,1,、（,2015,海淀二模）已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为,_.,举一反三-突破提升41、（2015 海淀二模）已知斜三棱柱的,举一反三,-,突破提升,4,3.(2015,南昌二模）某几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球,O,的球面上，球,O,的表面积是 （）,C,举一反三-突破提升43.(2015 南昌二模）某几何体的三视,举一反三,-,突破提升,4,举一反三-突破提升4,举一反三,-,突破提升,4,举一反三-突破提升4,
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