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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,3 概率的计算,解：,设所求事件为,A,.,解：,设A表示指定的3人排在一起。,例,1,从,0,到,9,这十个数字中任取三个，问大小在,中间的号码恰为,5,的概率是多少？,例,2,9,个人排成一排，求指定的,3,人排在一起的概率。,例3,一批产品共有10个，其中有4个废品，求：,(1)这批产品的废品率,(2)任取3个恰有1个是废品的概率,(3)任取3个全非废品的概率,解：,分别用A、A,1,、A,0,表示上述三个事件,=0.4,=0.5,注：,若是有放回地抽取，答案会不同，如,=0.216,例4,两封信随机地投向标号为,、的四个,邮筒。求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率以及前,两个邮筒中各有一封信的概率。,解：,设A表示第二个邮筒中投入一封信。,B表示前两个邮筒各有一封信。,两封信共有4,2,种可能的投法。,A的不同投法有,种,B的不同投法有,解：,分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。,有放回时，每人面对的签数是相同的,乙抽取时，可能与甲的抽取情况有关，但可将,甲与乙的抽取同时考虑，只要乙抽到难签即可,例5,(抽签的公正性)设有3个难签，5个易签。,甲、乙、丙依次抽取，分别在有放回与不放,回的情况下计算各人抽到难签的概率。,例6,设有5个人，每个人以同等机会被分配在7个房,间中，求恰好有5个房间中各有一个人的概率。,解：,设A表示恰有5个房间中各有一个人。,每人进入各房间等可能,基本事件总数为7,5,个。,(1)七个数字全不同的事件A,1,(2)不含1与0的事件A,2,(3)两个偶数五个奇数的事件A,3,解：,基本事件总数为10,7,=0.06048,=0.20972,=0.164,例7,从0到9十个数字种任取一个，取后放回，再取。,先后共取七个数字。求下述事件的概率。,例8,两人约定于早上8点至9点在校门口见面。要求,先到者等20分钟后离去。假定两人到校门的时间相,互独立，而且在8至9点间是等可能的。问两人能见,面的概率是多少？,解：,以x与y分别表示两人在8点之后到达校门口的分,钟数。,则0,x,60,0y60,两人能见面，即|x-y|,20,即图中的阴影部分,能见面的概率为,60,20,0,20,60,4 概率的加法法则,解：,A、B分别表示一、二等品，A+B表示产品合格,故 P(A+B)=P(A)+P(B),可以推广为一般的加法法则：,若A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B),可以得到一些重要的推广。,例1,10件产品中有6个一等品，3个二等品，1个废品。,规定一、二等品为合格品。求合格率与一、二等品,之间的关系。,(1)如果n个事件A,1,A,2,A,n,两两互斥，则,P(A,1,+A,2,+A,n,)=P(A,1,)+P(A,2,)+P(A,n,),(2)若A,1,A,2,A,n,构成一个完备事件组，它们的概率和为,P(A,1,)+P(A,2,)+P(A,n,)=1,特别地，对立事件的概率之和为1。,P(A)+P(,)=1,常用形式为P(A)=1-P(),一般有 P(B-A)=P(B)-P(AB),这是因为 B=(B-A)+AB,见右图,B,A,(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),称为广义加法法则,A+B=A+(B-A),由于A与B-A互斥,故P(A+B)=P(A)+P(B-A),再由(3)得证。,可见，只需P(AB)=0加法法则就成立。,若是多个事件之和，公式会变复杂。,这是因为由图,A,B,P(A+B+C),=P(A+B)+P(C)-P(A+B)C),=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC+BC),=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),其中要注意(AC)(BC)=ABC,类似地，可以证明,P(A,1,+A,2,+A,3,+A,4,)=P(A,1,)+P(A,2,)+P(A,3,)+P(A,4,),-P(A,1,A,2,)-P(A,1,A,3,)-P(A,1,A,4,)-P(A,2,A,3,)-P(A,2,A,4,)-P(A,3,A,4,),+P(A,1,A,2,A,3,)+P(A,1,A,2,A,4,)+P(A,1,A,3,A,4,)+P(A,2,A,3,A,4,),-P(A,1,A,2,A,3,A,4,),解：,分别用A,2,与A,3,表示抽到两个与三个白球。,A,2,与A,3,互斥,由加法法则，所求概率为,P(A,2,+A,3,)=P(A,2,)+P(A,3,),例2,袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个,为黑球。从中一次取出3个，求至少有两个是白,球的概率。,例3,50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次,抽取3个，求其中有废品的概率。,解：,用A,i,表示取到i个废品。,A,1,A,2,A,3,互斥,故P(A,1,+A,2,+A,3,)=P(A,1,)+P(A,2,)+P(A,3,),解：,A,i,表示有正好有i张相同。i0，2，3,例4,现有黑桃自A至K的13牌。有放回地抽3次。,求(1)三张号码不同的概率。,(2)三张中有相同号码的概率。,(3)三张中至多有两张同号的概率。,(2)P(A,2,+A,3,)=P(A,2,)+P(A,3,),(3)P(A,0,+A,2,)=P(A,0,)+P(A,2,),1P(A,3,),例5,甲盒中有2个红球1个白球，乙盒中有2个白球,1个红球。从甲盒中取一球放入乙盒，再从乙盒,中取一球放入甲盒。求甲盒成分不变的概率。,解：,甲盒成分不变，包括两种情况,从甲盒中取出红球，从乙盒中也取出红球,记为A,从甲盒中取出白球，从乙盒中也取出白球,记为B,A与B互斥,基本事件总数为3,412,A的基本事件数2,24,B的基本事件数1,3=3,解：,A表示能被6整除。,B表示能被8整除。,例6,从1到200中任取一数。求,(1)能被6与8同时整除的概率。,(2)不能被6或8整除的概率。,例7,你的班级中是否有人有相同的生日？,这一事件的概率有多大？,解：,设人的生日在一年365天的每一天是等可能的,A表示n个人组成的班级中有人生日相同。,基本事件总数为365,n,A的基本事件数不易确定。,故 P(A)=1-P(,),5 条件概率与乘法规则,(1)取到废品的概率。,(2)已知取到的是不合格品，它是废品的概率。,解,：,(1)取到废品用A表示,(2)基本事件总数为5,一般设P(B)0。而P(A)称为无条件概率。,例1,有100件产品，其中有5件是不合格品，包括,3件次品与2件废品，任取一件，求,定义1 在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，,称为事件A在给定B下的条件概率，简称为A对B的条,件概率，记作P(A|B),例2,市场上供应的电风扇中，甲厂产品占70，乙厂占,30。甲厂产品的合格率是95，乙厂的合格率是80。,若用事件A,分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为,合格品，试写出有关事件的概率。,解：,由题设,P(A)=0.7,P(,)=0.3,P(B|A)=0.95,P(B|,)=0.8,例3,全年级100名学生中，有男生(事件A)80人，女生20人；,来自北京的(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；免,修英语(事件C)有40人，其中男生32人，女生8人。试写出,解：,由题设,0.8,=0.2,=0.4,0.15,=0.6,=0.12,=0.4,=0.15,=0.32,在例3中可以观察到,它是条件概率的计算公式。,要求P(A)0,P(B)0,关于n个事件A,1,A,2,A,n,的乘法规则是,P(A,1,A,2,A,n,),P(A,1,)P(A,2,|A,1,)P(A,3,|A,1,A,2,)P(A,n,|A,1,A,2,A,n1,),定理1(乘法规则),若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A),若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B),解：,甲厂生产的合格品，即,P(AB)=P(A)P(B|A),=0.7,0.95,=0.665,乙厂生产的合格品，即,P(,B)=P()P(B|),=0.3,0.8,=0.24,为什么后者不是1-P(AB)?,因为AB与B不是对立事件。,例4,在例1中求从市场上买一台电风扇是甲厂生产,的合格品的概率以及是乙厂生产的合格品的概率。,解：,设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签。,例5,10个考签中有4个难签，3人参加抽签(不放回)，,甲先，乙次，丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽,到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲乙丙都,抽到难签的概率。,解：,设A表示第一件合格，B表示第二件合格。,在不放回时,另一方法,P(AB)=P(A)P(B|A),=0.9025,=0.9025,例6,设100件产品中有5件不合格，任取两件，求,两件均合格的概率，要求分为不放回与放回两种,情况计算。,错解：,在另9个产品中(含3个废品)取到废品的概率,正解：,用A表示第一件是废品，B表示第二件是废品,已知有一个是废品，即表示至少有一个废品，就是A+B,若另一个也是废品，则两个都是废品即AB,因(A+B)AB=AB,例7,10件产品中有4件废品，任取两件。若已知,有一个是废品，求另一个也是废品。,又因P(A+B),1,例8,设A,B为两个事件，且P(A)=a0,P(B)=b0,
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