第7章-频率变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1 频率概述,前述的处理方法：,利用图像的视觉性质，直观、好理解。,频率的处理方法：,利用图像的分布变化特性，不直观、难理解。,1 频率概述,声音与图像的频率,频率低,频率高,图像上代表粗略部分。,图像上代表细微部分。,1 频率概述,声音的频率处理：,用音调控制器。,把高音调低：,声音发闷；,把低音调低：,声音发尖。,图像的频率处理：,傅立叶变换（,FT,）。,去掉高频成分：,消除细微部分，图像变模糊；,去掉低频成分：,消除粗略部分，留下图像边缘。,1 频率概述,Jean Baptiste Joseph Fourier(17681830),频率变换的基础：,2 频率变换概述,任意波形能够表现为单纯的正弦波的和。,2 频率变换概述,正弦波可由幅度（大小）,A,和相位,来确定。,频率变换的基础,右图,(b),、,(c),、,(d),、,(e),的四个波形可表示为：,2 频率变换概述,频率,f,幅度,A,图形；,频率,f,相位,图形。,频率变换的基础,实现了空间域到频率域的变换。,空间域到频率域的变换，属于正交变换的一种。,2 频率变换概述,傅立叶变换（,FT,）：,复数形式可以同时表示幅度,A,和相位,。,复数是由实部和虚部两部分的组合表示的数。,用如下公式表示：,用复数函数,F(u,),表示：,2 频率变换概述,傅立叶变换复数表示：,其中，角频率,=2u,。这就是所有频率处理都要用到的非常重要的基础公式。,2 频率变换概述,傅立叶变换公式：,2 频率变换概述,计算机的领域与数学领域的不同：,计算机,信号格式：,数值范围：,不连的数字信号,连续的模拟信号,一定有限,可以无限,离散傅里叶变换（,DFT:Discrete Fourier Transform,）。,在计算机领域受到限制的傅里叶变换被称为：,DFT,可通过把傅立叶变换公式变为离散值来导出。,3 离散傅里叶变换,一维傅立叶变换,（,DFT,）,假定输入信号为,x(0),、,x(1),、,x(2),、,、,x(N-1),共,N,个离散值，那么变换到频率域的结果（复数）也是,N,个离散值,X(0),、,X(1),、,X(2),、,、,X(N-1),：,离散傅立叶变换公式：,3 离散傅里叶变换,一维傅立叶变换（,DFT,）,其中，,k,=0,1,2,N-1；n=0,1,2,N-1；,IDFT为一维离散傅里叶逆变换或一维离散傅里叶反变换（inverse,discrete Fourier Transform）。,与一般傅里叶变换相比：,积分运算被求和运算所代替,。,W被称为旋转算子。,复数领域有欧拉公式：,3 离散傅里叶变换,一维傅立叶变换（,DFT,）,旋转算子可以用欧拉公式来置换如下：,把上式代入离散傅立叶变换公式，就只有三角函数和求和运算，从而能够用计算机进行计算。但是其计算量相当大。因此快速傅立叶变换（FFT）被提出。,二维图像的傅立叶变换特点：,3 离散傅里叶变换,二维傅里叶变换,（1）具有水平和垂直两个方向上的频率,；,（,2,）常把频率平面的中心作为直流分量；,（,3,）二维频谱图的特性：,幅度特性以幅度轴对称；,相位特性以中心点对称。,二维FFT计算过程：,3 离散傅里叶变换,二维傅里叶变换,可通过水平方向的一维,FFT,和垂直方向的一维,FFT,来实现，即按照下图所示的处理框图来实现二维,FFT,。,3 离散傅里叶变换,例：,图像的二维傅立叶变换示例。,I1=imread(lena.bmp);%,读入一幅图像,subplot(2,2,1),imshow(I1),title(,图像,1);%,显示图像,1,F1=fft2(I1);%,对图像,1,进行傅立叶变换,F2=fftshift(F1);%,频谱中心化,F3=log(abs(F2);%,对频谱的幅度取对数,subplot(2,2,2),imshow(F3,),title(,图像,1,的频谱,);%,显示图像,1,的频谱,I2=imread(girl.bmp);%,读入另一幅图像,subplot(2,2,3,replace),imshow(I2),title(,图像,2);%,显示图像,2,F4=fft2(I2);%,对原始图像,2,进行傅立叶变换,F5=fftshift(F4);%,频谱中心化,F6=log(abs(F5);%,对频谱的幅度取对数,subplot(2,2,4),imshow(F6,),title(,图像,2,的频谱,);,3 离散傅里叶变换,例：,绘制一个圆形的二值图像，并对其进行傅立叶函数的示例。,f=zeros(40,40);%创建一个4040的0矩阵,for i=1:40,for j=1:40,d=sqrt(i-20)2+(j-20)2);%求取中心在(20,20)处的圆的半径值,if(d=10)%创建一个半径在10以内像素点值为1的圆,f(i,j)=1;,end,end,end,figure,subplot(1,2,1),imshow(f);title(图像);,F=fft2(f);%对f进行快速傅立叶变换,F1=fftshift(F);%对直流分量（零频率系数）中心化,F2=log(abs(F1);%对幅值取对数,subplot(1,2,2),imshow(F2,-1 5);title(频谱);%小于-1显示为黑，大于5显示为白，其余显示为中间灰色,colorbar(vert);%加标尺,3 离散傅里叶变换,colormap(jet,);,%,设置,jet,颜色。,The colors begin with dark blue,range through shades of blue,cyan,green,yellow and red,and end with dark red.,可用,hot,cool,pink,flag,copper,bone,gray,等替代,jet,。,线性变换：,设,x,是,N1,的向量，,T,是一个,NN,的矩阵，则线性变换定义为：,4 其他频率变换,线性变换、酉变换、正交变换,变换的结果y是输入元素的一阶和构成的，实际上结果向量的每个元素y,i,是输入向量x和T的第i行的点积。,当,T,是非奇异的，逆变换存在，即,酉变换、正交变换,4 其他频率变换,线性变换、酉变换、正交变换,酉变换：,当,T,是酉矩阵（,unitary matrix,）时。,酉矩阵,T,-1,（逆）,=T,*T,（共轭转置）或,TT,*T,=T,*T,T=I,。,正交变换：,如果酉矩阵的所有元素都是实数时。,正交矩阵,T,-1,（逆）,=T,T,（转置）或,TT,T,=,T,T,T,=I,。,线性变换的一般形式：,4 其他频率变换,线性变换、酉变换、正交变换,(,x,y;u,v,),是变换的核函数，可以看作是一个,N,2,N,2,的块矩阵，每行有,N,个块，共有,N,行，每个块是一个,NN,的矩阵。块由,u,v,索引，块内由,x,y,索引。,可分离的、对称的酉变换（图像通常采用）,4 其他频率变换,线性变换、酉变换、正交变换,酉变换的核矩阵的行向量构成了,N,维向量空间的一组基，它们是彼此正交的，即,4 其他频率变换,正弦型变换,以正弦型函数为基函数的变换包括傅立叶变换、余弦变换、,Hartley,变换等。,余弦变换（,DCT,）是傅立叶变换的特例，即,f(x,y,),为偶函数时傅立叶变换的计算只有余弦项。,余弦变换（,DCT,）,4 其他频率变换,正弦型变换,二维,DCT,定义为：,余弦变换（,DCT,）,4 其他频率变换,正弦型变换,二维逆变换,IDCT,定义为：,余弦变换（,DCT,）,4 其他频率变换,正弦型变换,DCT,的核矩阵为：,与,DFT,不同的是，,DCT,是实值的，在图像编码领域有广泛的应用。可以用快速傅立叶变换算法实现快速离散余弦变换。,MATLAB,中进行二维离散余弦变换的函数为,dct2,。,余弦变换（,DCT,）,4 其他频率变换,例：,图像的二维余弦变换示例。,I1=imread(lena.bmp);%读入一幅图像,subplot(2,2,1),imshow(I1),title(图像1);%显示图像1,C1=dct2(I1);%对图像1进行离散余弦变换,C2=log(abs(C1);%对频谱的幅度取对数,subplot(2,2,2),imshow(C2,),title(图像1的频谱);,I2=imread(girl.bmp);%读入另一幅图像,subplot(2,2,3),imshow(I2),title(图像2);%显示图像2,C4=dct2(I2);%对图像2进行离散余弦变换,C5=log(abs(C4);%对频谱的幅度取对数,subplot(2,2,4),imshow(C5,),title(图像2的频谱);,Hartley,变换,4 其他频率变换,二维离散,Hartley,变换（,DHT,，,Discrete Hartley Transform,）为,基函数为,正弦型变换,Hartley,变换,4 其他频率变换,二维离散,Hartley,逆变换,二维,DHT,的核矩阵为,正弦型变换,DHT,实际上是,DFT,的另一种计算方法，由于它避免了复数计算，从而可以大大地减少计算量。,沃尔什-哈达玛变换,4 其他频率变换,为了减少计算量，还有一类图像变换采用方波型基函数，即沃尔什,-,哈达玛变换（,WHT,Walsh-,Hardamard,Transform,）。,沃尔什,-,哈达玛变换变换是对称的、可分离的,酉变换,，它的核矩阵中只有,+1,和,-1,两种元素。它的维数,N=2,n,，其中,n,是整数。离散沃尔什,-,哈达玛变换变换为,方波型变换,逆,变换为,沃尔什-哈达玛变换,4 其他频率变换,核矩阵,HN,按如下方式构造：,方波型变换,最小阶（N2）的核矩阵为,：,利用这个迭代性质求解,N,阶（,N=2,n,）的哈达玛变换矩阵，便给出快速沃尔什,-,哈达玛变换算法,WHT,。,滤波处理的目的：,5 滤波处理,使某些频率通过，使某些频率阻断。,让我们通过设定右图所示的参数,a,和,b,的值，使,a,以上、,b,以下的频率（斜线表示的频率）通过，其它的频率阻断来进行滤波处理。,5 滤波处理,例：,小于,40,的频率通过，其余的频率阻断的,MATLAB,程序示例。,I=imread(lena.bmp);%读入一幅BMP灰度图像,figure,subplot(2,2,1),imshow(I);title(原始图像);%把图形窗口划分为22显示区域，在左上角的区域显示图像I,F=fft2(I);%傅立叶变换,F1=fftshift(F);%频谱中心化,F2=log(abs(F1);%为了显示F1的幅值对其取对数,subplot(2,2,2),imshow(F2,);title(频谱);%在右上角的区域显示频谱F2,5 滤波处理,M,N=size(F1);%获取频谱F1的高度和宽度,m=round(M/2);n=round(N/2);%四舍五入取整,for i=1:M,for j=1:N,d=sqrt(i-m)2+(j-n)2);%求取到频谱中心的距离,if(d=40),F3(i,j)=F1(i,j);%注意不要用取对数的幅值！,else,F3(i,j)=0;%大于40频率阻断,end,end,end,5 滤波处理,F4=log(abs(F3);%,对,F3的幅值取对数,subplot(2,2,3),imshow(F4,);title(低通滤波后频谱);%在左下角的区域显示频谱F4,F3=ifftshift(F3);%频谱反中心化,I1=ifft2(F3);%傅立叶反变换,I2=uint8(real(I1);%取幅值并转换成8位无符号整数,subplot(2,2,4),imsho