信息与通信离散傅里叶变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/12/13,西安建筑科技大学信于与控制学院,#,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,1,3.1,离散傅里叶变换的定义,3.2,离散傅里叶变换的性质,3.3,频率域采样,3.4 DFT,的应用举例,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,2,3.1,离散傅里叶变换定义,3.1.1,傅里叶变换的几种可能形式,傅里叶变换就是建立以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系。所以，当自变量“时间”或“频率”取连续或离散值时，就形成各种不同形式的傅里叶变换对。,1,、连续时间、连续频率,傅里叶变换,就是连续时间非周期信号,x,(,t,),的傅里叶变换关系,所得到的是连续的非周期的频谱函数。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,3,在“信号与系统”课的内容中，已知这一变换对为,这一变换对的示意图,(,这里只说明关系，并不表示实际的变换对,),见图,3-1,。可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期性造成频域是连续的谱密度函数。,3-1,3-2,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,4,图,3-1,连续的非周期信号及其非周期、连续的频谱密度,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,5,2,、连续时间、离散频率,傅里叶级数,设,x,(,t,),代表一个周期为,T,0,的周期性连续时间函数，可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为,X,(,j,k,0,),，是离散频率的非周期函数，和,X,(,j,k,0,),组成变换对，表示为,其中,0,=2,F,=2,/,T,0,为离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔，,k,为谐波序号。,3-3,3-4,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,6,图,3-2,连续的周期信号及其非周期离散谱线,这一变换对的示意图如图,3-2,所示。可以看出，时域连续函数造成频域是非周期的频谱函数，而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数相对应。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,7,3,、离散时间、连续频率,序列的傅里叶变换,这正是第二章中讨论过的序列（离散时间信号）的傅里叶变换，即,3-5,3-6,上面讨论的三种傅里叶变换对都不适合在计算机上运算，因为它们至少在一个域,(,时域或频域,),中函数是连续的。因而从数字计算角度出发，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况，这就是我们这里要研究的离散傅里叶变换。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,8,离散傅立叶变换,有限长序列的离散频域表示,离散傅里叶变换的定义,设,x,(,n,),是一个长度为,N,的有限长序列， 则定义,x,(,n,),的,N,点离散傅里叶变换为,3-31,3-32,(3-31),和,(3-32),分别是有限长序列的离散傅里叶正变换和反变换。,x,(,n,),与,X,(,k,),是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。已知其中的一个序列，就能唯一确定另一序列。,离散傅里叶变换记作,DFT,，,IDFT,为逆变换。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,9,3.2,离散傅里叶变换的性质,3.2.1,线性性质,如果和是两个有限长序列，长度分别为,N,1,和,N,2,。若,式中,a,，,b,为任意常数，取,N,=max,N,1,N,2,，则的,N,点,DFT,为,3-35,其中,X,1,(,k,),和,X,2,(,k,),分别为,x,1,(,n,),和,x,2,(,n,),的,N,点,DFT,。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,10,3.2.2,循环移位性质,1,、序列的循环移位,设为,x,(,n,),有限长序列，长度为,N,，则的循环移位定义为,3-36,式,(3-36),表明，将,x,(,n,),以,N,为周期进行周期延拓得到,再将 左移,m,位得到 ，最后取 的主值序列，则得到有限长序列的循环移位序列,y,(,n,),。,x,(,n,),及其循环移位过程如图,3-7,所示。显然,y,(,n,),仍是长度为,N,有限长序列。观察图,3-7,可见，循环移位的实质是将,x,(,n,),左移,m,位，而左侧移出主值区的序列值又依次从右侧进入主值区。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,11,图,3-7,循环移位过程示意图,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,12,2,、时域循环移位定理,设,x,(,n,),是长度为,N,的有限序列，,y,(,n,),为,x,(,n,),的循环移位，即,则,3-37,其中,证明：,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,13,令,n,+,m,=,n,，则有,由于上式中求和项 以,N,为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区则得,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,14,3,、频域循环移位定理,如果,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),，,0,k,N,-1,Y,(,k,)=,X,(,k,+,l,),N,R,N,(,k,),则,3-38,式,(3-38),的证明方法与时域循环定理类似，直接对,Y,(,k,)=,X,(,k,+,l,),N,R,N,(,k,),进行,IDFT,即得证。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,15,3.2.3,循环卷积定理,有限长序列,x,1,(,n,),和,x,2,(,n,),，长度分别为,N,1,和,N,2,，,N,=max,N,1,，,N,2,。,x,1,(,n,),和,x,2,(,n,),的,N,点,DFT,分别为,X,1,(,k,)=DFT,x,1,(,n,),，,X,2,(,k,)=DFT,x,2,(,n,),如果,X,(,k,)=,X,1,(,k,) ,X,2,(,k,),则,3-39,或,一般称,(3-39),式所表示的运算为和的循环卷积。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,16,证明：,直接对,(3-39),式两边进行,DFT,令,n,-,m,=,n,，则有,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,17,因为上式中 以,N,为周期，所以对其在任一周期上的求和结果不变。因此,式,(3-39),的循环卷积过程如图,3-8,所示。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,18,图,3-8,循环卷积过程示意图,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,19,由于循环卷积过程中，要求对,x,2(,m,),的循环反转，循环移位，特别是两个,N,长的序列的循环卷积长度仍为,N,。显然与一般的线性卷积不同，故称之为循环卷积，记为,由于,所以,即循环卷积亦满足交换率。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,20,作为习题请读者证明频域卷积定理,如果,x,(,n,)=,x,1,(,n,),x,2,(,n,),则,3-40,或,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,21,3.2.4,复共轭序列的,DFT,设,x,*(,n,),是,x,(,n,),的复共轭序列，长度为,N,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),则,DFT,x,*(,n,) =,X,*(,N-k,),，,0,k,N,-1,且,X,(,N,)=,X,(0),证明：根据,DFT,的唯一性，只要证明,(3-41),式右边等于左边即可。,3-41,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,22,证,又由,X,(,k,),的隐含周期性有,X,(,N,)=,X,(0),用同样的方法可以证明,DFT,x,*(,N-n,) =,X,*(,k,),3-42,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,23,3.2.5,DFT,的共轭对称性,(1),如果,x,(,n,)=,x,r,(,n,) +,jx,i,(,n,),由,DFT,的线性性质即可得,3-49,3-50,其中,X,(,k,),的共轭对称分量,X,(,k,),的共轭反对称分量,(2),如果,x,(,n,)=,x,ep,(,n,) +,x,op,(,n,),3-51,3-52,其中,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,24,综上所述：如果序列,x,(,n,),的,DFT,为,X,(,k,),，则,x,(,n,),的实部和虚部（包括,j,）的,DFT,分别为,X,(,k,),的共轭对称分量和共轭反对称分量；而,x,(,n,),的共轭对称分量和共轭反对称分量的,DFT,分别为,X,(,k,),的实部和虚部乘以,j,。,设,x,(,n,),是长度为,N,的实序列，且,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),，则,(1),X,(,k,),共轭对称，即,X,(,k,)=,X,*(,N,-,k,),，,0,k,N,-1,(2),如果,x,(,n,)=,x,(,N,-,n,),，则,X,(,k,),实偶对称，即,X,(,k,)=,X,(,N,-,k,),(3),如果,x,(,n,)= -,x,(,N,-,n,),，则,X,(,k,),纯虚奇对称，即,X,(,k,)= -,X,(,N,-,k,),3-53,3-54,3-55,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,25,3.3,频率域采样,设任意序列,x,(,n,),存在,Z,变换,且,X,(,z,),的收敛域包含单位圆,(,即,x,(,n,),存在傅里叶变换,),。在单位圆上对,X,(,z,),等间隔采样,N,点得到,3-56,显然，式,(3-56),表示在区间,0,，,2,上对,x,(,n,),的傅里叶变换,X,(,e,j,),的,N,点等间隔采样。如果将,X,(,k,),看成长度为,N,的有限长序列,x,N,(,n,),的,DFT,，即,x,N,(,n,)=IDFT,X,(,k,),，,0,k,N,-1,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,26,下面推导序列,x,N,(,n,),与原序列,x,(,n,),之间的关系，并导出频域采样定理。由,DFT,和,DFS,的关系可知，,X,(,k,),是,x,N,(,n,),以,N,为周期的周期延拓序列 的离散傅立叶系数 的主值序列，即,将式,(3-56),代入上式得,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,27,式中,所以,3-57,3-58,式,(3-58),说明,X,(,z,),在单位圆上的,N,点等间隔采样,X,(,k,),的,IDFT,为原序列,x,(,n,),以,N,为周期的周期延拓序列的主值序列。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,28,频域采样定理,如果序列,x,(,n,),的长度为,M,，则只有当频域采样点数,N,M,时，才有,x,N,(,n,)=IDFT,X,(,k,)=,x,(,n,),即可由频域采样,X,(,k,),恢复原序列，否则产生时域混叠现象。这就是所谓的频域采样定理。,下面推导用频域采样,X,(,k,),表示,X,(,z,),的内插公式和内插函数。设序列,x,(,n,),的长度为,M,，在频域,0,到之间等间隔采样,N,点，,N,M,，则有,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,29,式中,将上式代入,X,(,z,),的表达式中得,上式中 ，因此,3-59,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,30,令,则,3-60,3-61,式,(3-61),称为用,X,(,k,),表示,X,(,z,),的内插公式，,k,(,z,),称为内插函数。当,z,=,e,j,时，,(3-60),式和,(3-61),式就成为,x,(,n,),的傅里叶变换变换,X,(,e,j,),的内插函数和内插公式，即,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,31,进一步化简可得,在数字滤波器的结构与设计中，我们将会看到，频域采样理论及有关公式可提供一种有用的滤波器结构和滤波器设计途径。,3-62,3-63,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,32,3.4 DFT,的应用举例,DFT,的快速算法,FFT,的出现，使,DFT,在数字通信、语音信号处理、图象处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。,然而，各种应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据，或者以,DFT,作为连续傅里叶变换的近似为基础。,本节主要介绍用,DFT,计算卷积和相关系数的基础原理以及用,DFT,对连续信号和序列进行谱分析等最基本的应用。只要掌握了这两种基本应用的原理，就为用,DFT,解决数字滤波和系统分析等问题打下了基础。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,33,3.4.1,用,DFT,计算线性卷积,如果,且,则由时域循环卷积定理有,0,k,L,-1,由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以按照图,3-10,所示的计算框图，在频域计算。由于,DFT,有快速算法,FFT,，当,N,很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用,DFT(FFT),计算循环卷积。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,34,图,3-10,用,DFT,计算循环卷积,在实际应用中，为了分析时域离散线性非时变系统或者对序列进行滤波处理等，需要计算两个序列的线性卷积。和计算循环卷积一样，为了提高运算速度，也希望用,DFT(FFT),计算线性卷积。而,DFT,只能用来计算循环卷积，为此导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积和线性卷积相等的条件。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,35,假设,h,(,n,),和,x,(,n,),都是有限长序列，长度分别是,N,和,M,。它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：,其中，,L,max,N,，,M,， ，所以,3-64,3-65,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,36,对照式,(3-64),可以看出，上式中,即,3-66,式,(3-66),说明，,y,c,(,n,),等于,y,l,(,n,),以,L,为周期的周期延拓序列的主值序列。我们知道，,y,l,(,n,),长度为,N,+,M,-1,，因此只有当循环卷积长度,L,N,+,M,-1,时，,y,l,(,n,),以,L,为周期进行周期延拓才混叠现象。此时取主值序列显然满足,y,c,(,n,)=,y,l,(,n,),。由此证明循环卷积等于线性卷积的条件是,L,N,+,M,-1,。图,3-11,中画出了,h,(,n,),、,x,(,n,),、,h,(,n,),*,x,(,n,),和,L,分别取,6,、,8,、,10,时,h,(,n,),x,(,n,),的波形。由于,h,(,n,),长度,N,=4,，,x,(,n,),长度,M,=4,，,N,+,M,-1=8,，所以只有,L,8,时，,h,(,n,),x,(,n,),的波形才与,h,(,n,)*,x,(,n,),相同。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,37,图,3-11,线性卷积与循环卷积,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,38,如果取,L,=,N,+,M,-1,，则可用,DFT(FFT),计算线性卷积，计算框图如图,3-12,所示。其中,DFT,和,IDFT,通常用快速算法,(FFT),来实现，故常称其为快速卷积。,图,3-12,用,DFT,计算线性卷积框图,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,39,实际上，经常遇到两个序列的长度相差很大的情况，例如,M,N,时，直接套用上述方法是不行的。解决这个问题的方法是将长序列分段处理计算。这种分段处理法有重叠相加法和重叠保留法两种。下面只介绍重叠相加法。,设序列,h,(,n,),长度为，,x,(,n,),为无限长序列。将均匀分段，每段长度取，则,式中,x,k,(,n,)=,x,(,n,),R,M,(,n,-,kM,),2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,40,于是，,h,(,n,),与,x,(,n,),的线性卷积可表示为,式中,3-67,式,(3-67),说明，计算,h,(,n,),与,x,(,n,),的线性卷积时，可先进行分段线性卷积,y,k,(,n,)=,h,(,n,),*,x,k,(,n,),，然后再把分段卷积结果叠加起来即可。如图,3-13,所示。每一分段卷积,y,k,(,n,),的长度为,N,+,M,-1,，因此,y,k,(,n,),与,y,k+1,(,n,),有,N,-1,个点重叠，必须把重叠部分的,y,k,(,n,),与,y,k+1,(,n,),相加，才能得到完整的卷积序列,y,(,n,),。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,41,图,3-13,重叠相加法卷积示意图,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,42,3.4.2,用,DFT,对信号进行谱分析,所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而,DFT,是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成分分析离散信号和系统的有力工具。,1.,用,DFT,对连续信号进行谱分析,工程实际中， 经常遇到的连续信号,x,a,(,t,),， 其频谱函数,X,a,(,j,),也是连续函数。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,43,设连续信号,x,a,(,t,),持续时间和,T,p,， 最高频率为,f,c,， 如图,3-14,所示。,x,a,(,t,),的傅里叶变换为,以间隔,T,1/2,f,c,(,即,f,s,=1/T2,f,c,),采样,x,a,(,t,),得,=,x,a,(,nT,),。设共采样,N,点，并对,X,a,(,jf,),作零阶近似,(,t,=,nT,，,dt,=,T,),得,显然，,X,a,(,jf,),仍是,f,的连续周期函数， 和 如图,3-14(,b,),所示。对在区间等间隔采样,N,点，采样间隔为,F,，如图,3-14(,c,),所示。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,44,参数,f,c,、,T,p,、,N,和,F,满足如下关系式：,由于,NT,=,T,p,，所以,3-68,3-69,将,f,=,kF,和,(3-68),式代入 中可得,X,a,(,jf,),的采样,令,X,a,(,k,)=,，,x,(,n,)=,x,a,(,nT,),，则,3-70,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,45,用同样方法，由,可以推出,3-71,(3-70),式说明，连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样并进行,DFT,再乘以,T,的近似方法得到。时域采样信号可由,(3-71),式得出。对持续时间有限的带限信号，在满足时域采样定理时，上述分析方法不丢失信息。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,46,但直接由分析结果,X,a,(,k,),看不到,X,a,(,jf,),的全部频谱特性，而只能看到,N,个离散采样点的谱特性，这就是所谓的栅栏效应。如果的持续时间无限长，上述分析中要进行截断处理，所以会产生频率混叠和泄露现象，从而使谱分析产生误差。下面将讨论上述问题产生的原因及改进措施。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,47,图,3-14,用,DFT,计算连续信号频谱原理,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,48,理想低能滤波器的单位冲击响应,h,a,(,t,),及其频响函数,H,a,(,if,),如图,3-15(a),、,(b),所示。 图中,现在用,DFT,来分析,h,a,(,t,),的频率响应特性。由于,h,a,(,t,),的持续时间为无穷长，故要截取一段,T,p,，假设,T,p,=8s,，采样间隔,T,=0.25s(,即采样频率,f,s,=4Hz),，采样点数,N,=,T,p,/,T,=32,。 此时频域采样间隔,F,=1/,NT,=0.125 Hz,。 则,H,(,k,)=,T,DFTh(n), 0,k,31,其中,h,(,n,)=,h,a,(,nT,),R,32,(,n,),3-71,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,49,图,3-15,用,DFT,计算理想低通滤波器频响曲线,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,50,H,(,k,),的曲线如图,3-15(,c,),所示。由图可见，低频部分近似理想低通频响特性，而高频误差较大，且整个频响都有波动。,这些差别就是由于对,h,a,(,t,),截断所产生的。为减少这种截断误差，可适当加长,T,p,，增加采样点数,N,或用窗函数处理后在进行,DFT,。有关窗函数的内容将在,FIR,数字滤波器设计中详细叙述。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,51,连续信号进行谱分析,对信号进行谱分析主要关心两个问题，就是谱分析范围和频率分辨率。谱分析范围受采样速率,f,s,的限制。为了不产生频率混叠失真，通常要求信号的最高频率,f,s,2,f,c,按照式,(3-69),，谱分辨率,F,=,f,s,/,N,，如果保持采样点数,N,不变，要提高谱的分辨率，必须降低采样速率，采样速率的降低会引起谱分析范围减少；如维持,f,s,不变，为提高谱的分辨率可以增加采样点数,N,，因为,NT,=,T,p,，,T,=1/,f,s,-1,，只有增加对信号的观察时间，才能增加,N,，,T,p,和,N,可按照下式选择：,3-72,3-73,3-74,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,53,例,3-1,对实信号进行谱分析，要求谱分辨率,F,10 Hz,，信号最高频率,f,c,=2.5kHz,，试确定最小记录时间,T,Pmin,，最大的采样间隔,T,max,，最少的采样点数,N,min,。如果,f,c,不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少,?,解,：,因此,T,Pmin,=0.1 s,， 因为要求,f,s,2,f,c,， 所以,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,54,2.,用,DFT,对序列进行谱分析,已知道单位圆上的,Z,变换就是序列傅里叶变换， 即,为使频率分辨率提高一倍，,F=5 Hz,， 要求,X,(,e,j,),是,的连续周期函数。如果对序列,x,(,n,),进行,N,点,DFT,，得到,X,(,k,),，,X,(,k,),是在区间,0,，,2,上对,X,(,e,j,),的,N,点等间隔采样。因此序列的傅里叶变换可利用,DFT(FFT),来计算。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,55,对周期为,N,的周期序列 ，其频谱函数为,其中,由,DFT,的隐含周期性知道，截取 的主值序列,x,(,n,)=,R,N,(,n,),，并进行,N,点,DFT,得到,所以可用,X,(,k,),表示 的频谱结构。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,56,如果截取长度,M,等于 的整数个周期， 即,M,=,mN,，,m,为正整数， 则,令,n,=,n,+,rN,，,r,=0,，,1,，,. . .,，,m,-1,，,n,=0,，,1,，,. . .,，,N,-1,，则,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,57,由此可见，,X,M,(,k,),也能表示 的频谱结构，只是在,k,=,rm,时，,X,M,(,rm,)=,，表示 的,r,次谐波谱线，其幅度扩大,m,倍，而其它,k,值时，,X,M,(,k,)=0,。当然，,X,(,r,),与,X,M,(,rm,),对应点频率是相等的。,所以，只要截取 的整数个周期进行,DFT,，就可得到它的频谱结构，达到谱分析的目的。,因为,所以,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,58,如果 的周期预先不知道，可先截取,M,点进行,DFT,，即,再将截取长度扩大一倍，截取,比较,X,M,(,k,),和,X,2,M,(,k,),，如果二者的主谱差别满足分析误差要求，则已以,X,M,(,k,),或,X,2,M,(,k,),近似表示 的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求。设最后截取长度为,rM,，则,X,rM,(,k,0,),表示 点的谱线强度。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,59,实际应用中，并非整个单位圆上的频谱都很有意义。,例如，对于窄带信号，往往只希望对信号所在的一段频段进行谱分析，这时便希望采样能密集地在着段频带内进行，而带外部分可完全不管。,有时希望采样点不局限于单位圆上。例如，语音信号处理中，常常需要知道系统极点所对应的频率，如果极点位置偏离单位圆较远，则其单位圆上的频谱就很平滑，如图,3-16(,a,),所示，这时很难从中识别出极点对应的频率。如果使采样点轨迹接近这些极点的弧线或圆周进行，则采样结果将会在极点对应的频率上出现明显的尖峰，如图,3-16(,b,),所示，这样就能准确地测定出极点频率。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,60,图,3-16,单位圆与非单位圆采样,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,61,对均匀分布在以原点为圆心的任何圆上的,N,点频谱采样，可用,DFT,（,FFT,）计算，而沿螺旋弧线采样，则要用线性调频,Z,变换（,Chirp-Z,变换，简称,CZT,）计算。,例如， 要求计算序列在半径为,r,的圆上的频谱，那么,N,个等间隔采样点为,k,=0, 1, 2, ,N,-1,，,z,k,点的频谱分量为,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,62,令 ，则,上式表明，要计算,x,(,n,),在半径为,r,的圆上的等间隔频谱分量，可以先对,x,(,n,),乘以,r,-,n,，再计算,N,点,DFT(FFT),即可得到。若要求,x,(,n,),分布在该圆的有限角度内,N,点等间隔频谱分量，可以通过尾部补零的方法，仍按式,(3-75),用,DFT,分析整个圆上的等间隔频谱，最后只取所需角度内的频谱分量即可。,显然这种方法的计算量大，下面要介绍的,Chirp-Z,变换可使这种谱分析的运算量大大减少。,3-75,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,63,3. ChirpZ,变换,设序列,x,(,n,),长度为,N,，要分析,z,平面上,M,点频谱采样值，分析点为,z,k,，,k,=0, 1, 2,M,-1,。,则,z,k,=,AW,-k, 0,k,M,-1,式中,A,和,W,为复数， 用极坐标形式表示为,式中,A,0,和,W,0,为实数。 当,k,=0,时有,3-76,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,64,将,z,k,代入,Z,变换公式得到,利用下面的关系式：,得到,:,令,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,65,图,3-17 Chrip-Z,变换分析频率点分布图,3-77,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,66,图,3-18 Chirp z,变换计算框图,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,67,图,3-19 Chirp-Z,变换中,h,L,(,n,),序列的形成,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,68,由,(3-66),式知，,y,(,n,),h,(,n,),是,V,(,n,),的周期延拓序列的主值序列， 延拓周期为,L,， 即,综上所述， 可归纳出具体计算步骤如下：,(1),形成,h,L,(,n,),序列,(2),(3),2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,69,(4),(5),计算,(6),(7),2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,70,与标准,DFT(FFT),算法相比较，,Chirp-Z,变换有以下特点：,(1),输入序列长度,N,和输出序列长度不需要相等， 且二者均可以素数。,(2),分析频率点,z,k,的起始点,z,0,及相邻两点的夹角,0,是任意的,(,即频率分辨率是任意的,),，因此可从任意频率上开始，对输入数据进行窄带高分辨率的谱分析。,(3),谱分析路径可以是螺旋形的。,(4),当,A,=1,，,M,=,N,， 时，,z,k,均匀分布在单位圆上，此时,Chirp-Z,变换就是序列的,DFT,。,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,71,4.,用,DFT,进行谱分析的误差问题,DFT(,实际中用,FFT,计算,),可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。,(1),混叠现象。,(2),栅栏效应。,(3),截断效应。 根据傅里叶变换的频域卷积定理有,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,72,幅度谱,|,R,N,(,)|,曲线如图,3-20,所示,(|,R,N,(,)|,以,2,为周期，只画低频部分,),。图中,|,|2/N,的部分称为主瓣，其余部分称为旁瓣。,例如，,x,(,n,)=cos(,0,n,),0,=/4,其频谱为,其中,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,73,图,3-20,矩形窗函数的幅度谱,2024/11/18,西安建筑科技大学信于与控制学院,74,图,3-21,加矩形窗前后的频谱,