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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.2,复数代数形式的乘除运算,3.2.2,问题,引航,1,.,复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？,2,.,复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同,？如何应用共轭复数的性质解决问题？,问题1.复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是,1,复数代数形式的乘法法则,设,z,1,a,bi,，,z,2,c,di,(,a,，,b,，,c,，,d,R,),，则,z,1,z,2,(,a,bi,)(,c,di,),_.,(,ac,bd,),(,ad,bc,),i,1复数代数形式的乘法法则(acbd)(adbc)i,2,复数乘法的运算律,对任意复数,z,1,，,z,2,，,z,3,C,，有,交换律,z,1,z,2,_,结合律,(,z,1,z,2,),z,3,z,1,(,z,2,z,3,),分配律,z,1,(,z,2,z,3,),_,z,2,z,1,z,1,z,2,z,1,z,3,2复数乘法的运算律交换律z1z2_结合律(z,3.,共轭复数,已知,z,1,=,a,+,bi,，,z,2,=,c,+,di,，,a,，,b,，,c,，,d,R,，则,(1),z,1,，,z,2,互为共轭复数的充要条件是,_.,(2),z,1,，,z,2,互为共轭虚数的充要条件是,_.,复数代数形式的除法法则：,(,a,+,bi,)(,c,+,di,)=_(,c,+,di,0).,a,=,c,且,b,=-,d,a,=,c,且,b,=-,d,0,3.共轭复数a=c且b=-da=c且b=-d0,1.,判一判,(,正确的打“”，错误的打“,”),(1),两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件,.(),(2),若,z,1,，,z,2,C,，且,z,1,2,+,z,2,2,=0,，则,z,1,=,z,2,=0.(),(3),两个共轭虚数的差为纯虚数,.(),1.判一判(正确的打“”，错误的打“”),【,解析,】,(1),错误,.,举反例：如复数,2,和,2,i,，它们的模相等，,但不是共轭复数,(2),错误,.,例如,z,1,=1,，,z,2,=,i,，显然,z,1,2,+,z,2,2,=0,，但,z,1,z,2,0.,(3),正确,.,设两个共轭虚数分别为,z,1,=,a,+,bi,，,=,a,bi,(,a,，,b,R,，,b,0),，差,z,1,=2,bi,(,b,0),为纯虚数,.,答案：,(1)(2)(3),【解析】(1)错误.举反例：如复数2和2i，它们的模相等，,2.,做一做,(,请把正确的答案写在横线上,),(1),复数,(2),复数,z,(2,i,),i,在复平面内对应的点位于第,_,象限,.,(3),复数,2-,的共轭复数是,_.,2.做一做(请把正确的答案写在横线上),【,解析,】,(1),答案：,(2),z,(2,i,),i,2,i,i,2,1,2,i,，故复数,z,(2,i,),i,在,复平面内对应的点为,(1,，,2),，位于第一象限,答案：,一,(3),因为,2-,2+,i,，所以其共轭复数为,2,i,.,答案：,2,i,【解析】(1),【,要点探究,】,知识点,1,复数代数形式的乘除运算,1.,复数的乘法,(1),类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开,(,i,2,换成,1),【要点探究】,(2),运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用,(3),常用结论：,(,a,bi,),2,a,2,2,abi,b,2,(,a,，,b,R,),；,(,a,bi,)(,a,bi,),a,2,b,2,(,a,，,b,R,),；,(1,i,),2,2,i,.,(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公,2,对复数除法的两点说明,(1),实数化：,在进行复数除法运算时，通常先把,(,a,bi,)(,c,di,),写成,商的形式，即,(,a,bi,)(,c,di,),分子、分母同乘以分母的共轭复数,c,di,，化简后即得,结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的,分母“有理化”很类似,(2),代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开,2对复数除法的两点说明,【,知识拓展,】,复数乘法的推广,复数的乘法可以推广到若干个因式连乘，且满足乘法的交换律、结合律、分配律,.,【知识拓展】复数乘法的推广,【,微思考,】,(1),a,R,，,z,C,，,a,2,|,a,|,2,与,z,2,|,z,|,2,都成立吗？,提示,:,a,2,|,a,|,2,成立；,z,2,|,z,|,2,不一定成立,例如,z,i,，,z,2,1,，,|,z,|,2,1,，,z,2,|,z,|,2,.,(2),z,2,|,z,|,2,成立的条件是什么？,提示,:,当且仅当,z,R,时，,z,2,|,z,|,2,成立,【微思考】,【,即时练,】,若复数,z,1,i,，,i,为虚数单位，则,(1,z,),z,(),A,1,3,i,B,3,3,i,C,3,i,D,3,【,解析,】,选,A,.,因为,z,1,i,，所以,(1,z,),z,(2,i,)(1,i,),1,3,i,.,【即时练】,知识点,2,共轭复数,1.,共轭复数的注意点,(1),结构特点：实部相等，虚部互为相反数,.,(2),几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴,对称,.,2.,共轭复数的性质,(1),实数的共轭复数是它本身，即,z,R,(2),相关结论：,知识点2 共轭复数,【,微思考,】,(1),若,z,0,且,z,0,，则,z,是否为纯虚数？,提示,:,是纯虚数，因为,z,0,，又实数的共轭是它本身，则由,z,0,且,z,0,知,z,不是实数，设,z,1,=,a,+,bi,，,=,a,bi,(,a,，,b,R,),，,和,z,1,+=2,a,=0,，故,z,为纯虚数,.,利用这个性质，可证明一个,复数为纯虚数,(2),复数共轭的共轭是否为复数本身？,提示,:,根据复数的概念，复数共轭的共轭是复数本身,.,【微思考】,【,即时练,】,若 则复数 等于,(),A,2,i,B,2,i,C,2,i,D,2,i,【,解析,】,选,D,.,由,故,=2,i,.,【即时练】,【,题型示范,】,类型一,复数代数形式的乘法运算,【,典例,1】,(1),已知,x,，,y,R,，,i,为虚数单位，且,xi,-,y,=-1+,i,，则,(1+,i,),x,+,y,的,值为,(),A,.2,B,.-2,i,C,.-4,D,.2,i,(2),已知复数,(,i,为虚数单位,),，复数,z,2,的虚部,为,2,，且,z,1,z,2,是实数，求,z,2,.,【题型示范】,【,解题探究,】,1.,如何求解,x,+,y,？,2.,z,1,的代数形式如何？,z,1,z,2,的虚部是多少？,【,探究提示,】,1.,利用复数相等,.,2.,的虚部为,0.,【解题探究】1.如何求解x+y？,【,自主解答,】,(1),选,D,.,由,xi,-,y,=-1+,i,，得,x,=1,，,y,=1,，,所以,(1+,i,),x,+,y,=(1+,i,),2,=2,i,.,(2),设,z,2,a,2,i,，,a,R,，则,z,1,z,2,(2,i,)(,a,2,i,),(2,a,2),(4,a,),i,，,因为,z,1,z,2,R,，所以,a,4,，所以,z,2,4,2,i,.,【自主解答】(1)选D.由xi-y=-1+i，得x=1，y=,【,方法技巧,】,复数的乘法运算法则的应用,(1),复数的乘法运算可以把,i,看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把,i,2,化为,1,，进行最后结果的化简,(2),对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便,.,例如，平方差公式、完全平方公式等,【方法技巧】复数的乘法运算法则的应用,【,变式训练,】,(2014,豫南九校高二检测,),定义一种运算如下：,复数,(,i,是虚数单位,),对应,的复数是,(),【,解析,】,选,A,.,由题意，得,【,警示误区,】,注意分析新定义的运算规则中字母的顺序,.,【变式训练】(2014豫南九校高二检测)定义一种运算如下：,【,补偿训练,】,投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为,m,和,n,，,则复数,(,m,+,ni,)(,n,-,mi,),为实数的概率为,_.,【,解析,】,因为,(,m,+,ni,)(,n,-,mi,)=2,mn,+(,n,2,-,m,2,),i,为实数，所以,n,2,=,m,2,，,故,m,=,n,，则由列举法得出投掷结果共有,36,种可能，相同点数的,有,6,种，则概率为,答案：,【补偿训练】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，,类型二,复数代数形式的除法运算,【,典例,2】,(1),如图，在复平面内，复数,z,1,，,z,2,对应的向量分别是,则复数 对应的点位于,(),A,.,第一象限,B,.,第二象限,C,.,第三象限,D,.,第四象限,(2),计算：,类型二 复数代数形式的除法运算,【,解题探究,】,1.,复数,z,1,，,z,2,的代数形式为什么？,2.,观察式子的特征，应如何计算？,【,探究提示,】,1.,由复数的几何意义知，,z,1,=,2,i,，,z,2,=,i,.,2.,第一个式子分子复杂，第二个式子分母复杂，可先化简再运算,.,【解题探究】1.复数z1，z2的代数形式为什么？,【,自主解答,】,(1),选,B,.,由复数的几何意义知，,z,1,=,2,i,，,z,2,=,i,，所以 对应的点在第二象限,.,【自主解答】(1)选B.由复数的几何意义知，z1=2i，,【,方法技巧,】,复数除法运算法则的应用,复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以,i,.,【方法技巧】复数除法运算法则的应用,【,变式训练,】,(2014,湖北高考,),i,为虚数单位，,(),A,.1,B,.-1,C,.,i,D,.-,i,【,解析,】,选,B,.,【变式训练】(2014湖北高考)i为虚数单位，,【,补偿训练,】,已知复数,z,=1-,i,，则,=(),A,2,i,B,-2,i,C,2,D,-2,【,解析,】,选,B,.,将,z,=1-,i,代入 得，,【补偿训练】已知复数z=1-i，则 =(,类型三,共轭复数,【,典例,3】,(1)(2013,山东高考,),复数,z,满足,(,z,-3)(2-,i,)=5(,i,为虚数,单位,),，则,z,的共轭复数 为,(),A,.2+,i,B,.2-,i,C,.5+,i,D,.5-,i,(2),已知复数,z,的共轭复数为 且 求,z,.,类型三 共轭复
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