数据分布特征的描述

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章数据分布特征的描述,第一节分布集中趋势的测度,第二节分布离散趋势的测度,第三节分布偏态和峰度的测度,第四节统计图和统计表,第三章 数据分布特征的描述,对统计数据进行排序、分组、整理，是对数据的分布特征进行描述的一个基本方面，为进一步掌握数据分布特征及其变化规律，以进行深入的分析，还需找出反映数据分布特征的各个代表值。,统计学中,刻划,数据分布特征,的最主要的代表有,二,：数据分布的,集中趋势,与数据分布的,离散程度,。,排序,分组,整理,表述,统计数据,寻找,反映数据分布特征的代表值：,集中趋势,；,离散趋势,该项活动中，每月都有数据统计及分析以用来进行该项活动的调整与实施。,如：有一组关于病人进入“救助”活动的时间长度的数据,：,67个样本：时间长度从1天到185天。,为了改善,频临死亡的病人,及其家庭的,生活质量,救,助,活,动,“服务队”：,医生,家庭健康保健员,社会工作者,受训志愿者,给予,病人及,家庭一些,指导,帮助,减轻由于,疾病、,分离等而,引起的,精神紧张,例,：,美国一家具有福利院性质的医院（Barnes Hospital）。,均值(mean)：,35.7天;,中位数(median)：,17天；,众数(Mode)：,1天,Interpretation,:,（1）the average time a patient stays in the Program is 35.7 days,or slightly over a month;,（2）half of the patients are in the Program 17 days or less and half are in the Program 17 days or more;,（3）many patients have a short day in the Program.,除了对该组数据进行频数方面的描述和分析外，下面的统计方法在描述数据分布特征及分析方面也很重要：,第一节 分布集中趋势的测度,集中趋势,是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向,，测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。,一、均值（Mean）,均值,就是一组数据的平均值,(average value)，,用来测度中心位置,(central location)。,1、简单算术平均,对样本：,其中n为样本数,对总体：,其中N为总体单位数,加权算术平均,往往适用于对分组后的数据求均值，这时,X,i,为各组变量代表值（往往取,组中值,），,F,i,为各组变量值出现的频数。,例1：,一组大学班级人数规模的数据（5个班）如下：46、54、42、46、32,在,未分组,的情况下，其均值为：44。,如果,分成如下组别,：,I：,32，,II：,42，,III：,46、46，,IV：,54,则其均值为：,2、加权算术平均,其中,F,i,为权数,例2,：,（美国）一个关于大学生毕业后工作起薪的问卷调查：,Table 1,Monthly Starting Salaries for a Sample of 12 College Graduates,Graduates Monthly Graduates Monthly Graduates Monthly,Salary($)Salary($)Salary($),1 2350 5 2255 9 2440,2 2450 6 2210 10 2852,3 2550 7 2390 11 2428,4 2380 8 2630 12 2380,未分组时的算术平均值为：2440,注意：,均值容易受到统计数据中个别极端数据的影响，从而使均值代表某组统计数据的“平均水平”时失去意义，这时往往用“剔除极端值”的方法加以修正。,如,例2中，如果将月薪2825的最高值用10000代替，则均值为3038,算术均值,具有如下,性质,：,（1）各变量值与其均值的离差和为零：,（2）各变量值与其均值的离差平方和最小：,(1),几何平均数,是,N,个变量值乘积的,N,次方根：,2、几何平均数,上述班级人数规模例中，几何平均数为：43.37,可看出：,几何平均数 算术平均数。,(2)加权几何平均数：,其中,F,i,为,X,i,的权数。,几何平均主要用于计算比率或速度的平均,。,例3,：,某水泥生产企业1995年产水泥100万吨，1996、1997、1998年的水泥产量分别上一年增长9%、16%与20%，则19961998年的年均增长率为：,几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均,：,假设同一,X,i,的个数有,M,i,个，且,3、调和平均数,调和平均数,，是各数据倒数的（简单）算术平均数的倒数：,则上式可写成如下,加权的形式,：,例4,，,某农贸市场某日鸡蛋价格及销售额资料如下表所示，试求其鸡蛋的平均售价。,鸡蛋种类 价格（元/KG）销售额（元）,A 7.6 15200,B 8.0 8000,C 8.2 4100,鸡蛋的平均价格等于销售总额除以销售量：,二、中位数(Median),中位数,是,一组数据按大小排序后，处于,中间位置,上的变量值,。,1、对于,未分组数据,：,（1）如果,数据个数为奇数,，则中位数恰为处于中间位置的数：,（2）如果,数据个数为偶数,，则为中间位置两个数的平均数,大学毕业生起薪例中：,按升序排出的12个统计数为：,2210 2255 2350 2380 2380,2390,2420,2440 2450 2550 2630 2825,班级规模例中,：,按升序排出的5个统计数为：,32、42、,46,、46、54,则,中位数为,：46,则,中位数为,：,由于均值容易受到统计数据中个别极端数据的影响，从而使均值代表某组统计数据的“平均水平”时失去意义，这时用中位数代替均值则更有意义。,如，,在大学生毕业工作起薪的例中,，如果原统计数中最高薪金由2825换为10000，则得到平均薪金为3038的结论，显然与其他11位均在2000多的薪水水平不符，但这时若用中位数2405，显然更具代表意义。,注意,：,首先,需确定中位数所在的组，然后可根据下列公式计算中位数：,下限公式：,2、对于,分组后的数据,：,式中：,m,为中位数所在的组，,d,为该组组距，,L、U,分别为该组的下限值与上限值，,f,m,为该组的频数，,S,m-1,为该组以下各组的频数总和，,S,m+1,为该组以上各组的频数总和，,显然,上限公式：,例4,，,某班级英语考试成绩分组情况见下表：,成绩分组 人数 累计人数 成绩分组 人数 累计人数,（分）（分）,50以下 2 2 7080 18 35,5060 5 7 8090 9 44,6070 10 17 90以上 6 50,从成绩由低往高排，,中位数所在组应在第4组,，即7080的组，,由于,L,=70，,U,=80，,d,=10，而,S,m-1,=2+5+10=17，,S,m+1,=9+6=15，,f,m,=18，故,班级人数规模的例中,，按例中分组情况，则中位数为：,或,或,众数,是一组数据中出现次数最多的变量值,。,在,班级规模,的例中，众数为46；,在,大学毕业生工作起薪,的例中，众数为2380。,在分组数据中,，众数可按下式计算：,下限公式：,三、众数(Mode),式中：,f,m,为某数值出现次数（频数）最多的组（第m组）的频数，,f,m-1,与,f,m+1,分别为第m-1组与m+1组的频数，,L、U,分别为第m组的下限与上限值，,d,为该组组距。,上限公式：,在班级规模的例中,，若按例中给出的分组情况，则该组数据的众数为：,在学生英语成绩例中,，次数最多的组也在,7080,组中，则有,f,m,=18,，,f,m-1,=10,，,f,m+1,=9,，,或,或,例如,在前面购买五类不同品牌,计算机的统计中，曾得到如右表所示,的频数分布表。,注意：,1、如果某组统计数据中没有哪个数值出现较多的频率（次数），则可认为该组数,无众数,；如果有多个数据出现的次数（频率）较多，则认为,有多个众数,。,在有多个众数的情况下，则对众数的关注度下降，因为多众数对描述数据位置无多大帮助。,2、对描述品质数据的分布特征的“位置”测度只能用众数。,Company Frequency,Apple 13,Compaq 12,Gateway2000 5,IBM 9,Packard Bell 11,显然，众数，即个人购买最多的机算机品牌是Apple。,在这类数据中，“均值”与“中位数”是没有任何意义的。“众数”提供了频数最高的个人电脑购买品牌。,1、,如果数据具有单一众数，且分布是对称的，则众数M,o,、,中位数M,e,与均值 相等，即 ；,四、中位数、众数与算术平均数的关系,3、,在偏斜度适度的情况下，不论是左偏还是右偏，中位数与算术平均数之差约等于众数与算术平均数之差的1/3，即有如下经验公式：,当分布右偏时（说明存在极端大的值）,2、,对于非对称分布，,当分布左偏时（说明存在极端小的值）,众数、中位数和均值都是对数据集中趋势的测度，,1、,均值,由全部数据计算，包含了全部数据的信息，具有良好的数学性质，当数据接近对称分布时，具有较好的代表性；但对于偏态分布，其代表性较差。,2、,中位数,是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响，对于偏态分布的数据，其代表性要比均值好。,3、,众数,是一组数据分布的峰值，是一种位置的代表，当数据的分布具有明显的集中趋势时，尤其对于偏态分布，众数的代表性比均值好。,4、,对接近正态的分布数据，常用,均值,描述数据的集中趋势；对偏态分布，常用,众数,或,中位数,描述数据的集中趋势。,5、,均值,只适用于定距或定比尺度的数据；定序尺度数据可用,中位数,或,众数,进行描述，而对定类尺度数据，只能用,众数,进行描述。,众数、中位数和均值的应用场合,第二节 分布离散程度的测度,对数据分布特征的另一个测度指标是,数据分布离散程度,。,它反映各数据远离其中心值的程度，因此，,也称,离中趋势,。,集中趋势,反映的是各变量值向其中心值聚集的程度，,离中趋势,反映各变量值之间的差异状况。,注意：,集中趋势,的测度值概括地反映了数据的一般水平，它对该组数据的代表程度，取决于该组数据的,离散水平,。,数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差。,例,：,如果你是一家制造业公司的供应部门经理，与两家原材料供应商联系供货，,两家供应商均表示能在大约10个工作日内供齐所需原材料,。几个月的运转之后，你发现尽管两家供货商供货的平均时间都是大约10天，但,他们供货所需天数的分布情况却是不同的,（图）。,问:,两家供货商按时供货的可信度相同吗？考虑它们直方图的差异，你更愿意选择哪家供货商供货呢？,极差,是最简单的测度离中趋势（分散程度）的指标，也称,全距,，,是,一组数据最大值与最小值之差,：,Range=Largest Value-Smallest Value,对于组距分组数据,，极差可近似地表示为：,R=最高组上限-最低组下限,注意：,1、,极差易受极端值的影响；,2、由于极差只利用了数据两端的信息，没有反映中间数据的分散状况，因而不能准确描述数据的分散程度。,一、极差(Range),方差,是各变量值与其均值离差,(deviation about the mean),平方的平均数,。,（一）总体方差(Population Variance),总体方差,用,2,表示,二、方差(Variance）,其中：,F,i,为第,i,组数据的频数,X,i,为第,i,个数（未分组）或第,i,组组中值（分组）,（二）样本方差(Sample Variance),样本方差用,S,2,表示,其中：,f,i,为第,i,组数据的频数,x,i,为第,i,个数（未分组）或第,i,组组中值（分组）,例：在上述5个班组平均人员的例中，,若视5个班为样本,，则,若视5个班为总体,