工程计算7矩阵特征值与特征向量课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,7,求矩阵特征值与特征向量,7.1,幂 法与反幂法,7.2 Jacobi,方法,7.3,QR,方法,7 求矩阵特征值与特征向量7.1 幂 法与反幂法,2024/11/18,2,7.1,幂法,与反幂法,在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。,矩阵的最小特征值在工程中有重要意义。,n,阶方阵,A,的,n,个特征值就是其特征方程,的非零解。,的,n,个根，,A,属于特征值,的特征向量,x,是线性方程组,2023/10/827.1 幂法与反幂法在实际问题中，矩阵,2024/11/18,3,7.1,幂法,与反幂法,例,1,设矩阵,幂法的基本思想是：先任取非零初始向量,x,0,，然后作迭代序列,x,k,+1,=,Ax,k,k=,1,，,2,，,两个特征值为,取初始向量,x,0,=(1,，,0),T,，,计算向量序列,x,k,+1,=,Ax,k,k=,1,，,2,，,2023/10/837.1 幂法与反幂法例1 设矩阵,2024/11/18,4,7.1,幂法,与反幂法,k,x,1,(,k,),x,2,(,k,),0,1,2,3,1,1,5,13,0,2,4,14,k,x,1,(,k,),x,2,(,k,),4,5,6,7,41,121,365,1093,40,122,364,1094,2023/10/847.1 幂法与反幂法kx1(k)x2(,2024/11/18,5,7.1,幂法,与反幂法,设矩阵,A,的几个特征值按模的大小排列如下,其相应特征向量为,任取初始向量,2023/10/857.1 幂法与反幂法设矩阵A的几个特征,2024/11/18,6,7.1,幂法,与反幂法,分三种情况讨论,1.,1,为实根，且,|,1,|,|,2,|,当,a,1,0,，,k,充分大时，有,2.,1,=,2,为实根，且,|,2,|,|,3,|,，,当,a,1,，,a,2,0,，,k,充分大时，有,2023/10/867.1 幂法与反幂法分三种情况讨论 1,2024/11/18,7,7.1,幂法,与反幂法,2023/10/877.1 幂法与反幂法,2024/11/18,8,7.1,幂法,与反幂法,3,k,充分大时，有,2023/10/887.1 幂法与反幂法3k充分大时，有,2024/11/18,9,7.1,幂法,与反幂法,令,用最小二乘法解,求出,p,、,q,，然后再解一元二次方程,得到的两个根便是,1,2,的近似值。,再由,2023/10/897.1 幂法与反幂法令用最小二乘法解,2024/11/18,10,7.1,幂法,与反幂法,综上所述，可得,2023/10/8107.1 幂法与反幂法综上所述，可得,2024/11/18,11,7.1,幂法,与反幂法,可根据迭代向量各分量的变化情况来判定属于哪种情况,若迭代向各分量单调变化，且有关系式,x,k,+1,=,cx,k,属于第,1,种情况,若迭代向量分量变化不单调，但有关系式,x,k,+2,=,cx,k,则属于第,2,种情况,若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式,则属于第,3,种情况,2023/10/8117.1 幂法与反幂法可根据迭代向量各,2024/11/18,12,7.1,幂法,与反幂法,时，按模最大特征值为正，故计算,时,s,取,时，,s,取,2023/10/8127.1 幂法与反幂法,2024/11/18,13,7.1,幂法,与反幂法,两端同乘以,A,，得,2023/10/8137.1 幂法与反幂法两端同乘以A，得,2024/11/18,14,7.1,幂法,与反幂法,因为,前两式两端分别取范数后，代入上式得,当,时，,当,k,充分大时，,m,k,就是按模最大的特征值,|,1,|,的近似值,2023/10/8147.1 幂法与反幂法因为 前两式两端,2024/11/18,15,7.1,幂法,与反幂法,另一方面，有,2023/10/8157.1 幂法与反幂法另一方面，有,2024/11/18,16,7.1,幂法,与反幂法,说明归一化向量序列,y,k,收敛于按模最大的特征值所对应的特征向量。因此，当,k,充分大时，,y,k,就是特征向量,u,1,的近似值,2023/10/8167.1 幂法与反幂法 说明归一化向量,2024/11/18,17,7.1,幂法,与反幂法,能否按此方法求出次大特征值和特征向量,限制：设,|,1,|,|,2,|,|,3,|,在求出,1,，,u,1,条件下,2023/10/8177.1 幂法与反幂法,2024/11/18,18,7.2,Jacobi,方法,其中，,D,是对角矩阵，其主对角线元素,j,(,j,=1,，,2,，,，,n,),是矩阵,A,的特征值，而正交矩阵,U,的第,j,列就是,A,的属于,j,的特征向量,(,j,=1,，,2,，,，,n,),。,Jacobi,方法是用于计算实对称矩阵的全部特征值及对应特征向量的一种变换方法。,Jacobi,方法的基本思想是，通过一组平面旋转变换（正交相似变换）将对称矩阵,A,化为对角矩阵，进而求出其全部特征值。,由代数学知识，对于一个实对称矩阵,A,=(,a,ij,),n,n,，一定存在正交矩阵,U,U,T,AU,=,D,求实对称矩阵,A,的特征值问题等于寻找正交矩阵,U,，使,U,T,AU,=,D,为对角阵,2023/10/8187.2 Jacobi方法,2024/11/18,19,7.2,Jacobi,方法,有实对称矩阵,A,=(,a,ij,),n,n,，它的一对非主对角线元素,a,pq,=,a,qp,(,p,q,),不为零。取,n,n,的正交矩阵,2023/10/8197.2 Jacobi方法,2024/11/18,20,7.2,Jacobi,方法,U,pq,是,n,维空间中的二维坐标旋转变换矩阵。设,x,R,n,，则,U,pq,x,相当于将坐标轴,ox,p,和,ox,q,在,x,p,、,x,q,所在平面旋转了一个角度,，其他坐标轴保持不变，故称,U,pq,为平面旋转矩阵。,用,U,pq,对,A,作正交相似变换，得到,A,1,=,U,T,pq,AU,pq,=(,a,(1),ij,),n,n,a,(1),pp,=,a,pp,cos2,+,a,qq,sin2,+2,a,pq,cos,sin,a,(1),qq,=,a,pp,sin2,+,a,qq,cos2,+2,a,pq,cos,sin,a,(1),pi,=,a,(1),ip,=,a,pi,cos,+,a,qi,sin,a,(1),qi,=,a,(1),iq,=,a,pi,sin,+,a,qi,cos,a,(1),ij,=,a,(1),ji,=,a,ij,a,(1),pq,=,a,(1),qp,=0.5(,a,qq,a,pp,)sin2,+2,a,pq,cos2,(,i,，,j,p,，,q,),2023/10/8207.2 Jacobi方法,2024/11/18,21,7.2,Jacobi,方法,可见，与矩阵,A,相比，矩阵,A,1,的第,p,行、第,p,列和第,q,行、第,q,列的元素发生了变化，其余元素不变。,当取,满足关系式,可以得到,a,(1),pq,=,a,(1),qp,=0,，也就是说，用平面旋转变换矩阵,U,pq,对,A,进行正交相似变换，可以将,A,的两个非主对角线元素,a,pq,和,a,qp,化为零,2023/10/8217.2 Jacobi方法,2024/11/18,22,7.2,Jacobi,方法,求实对称矩阵,A,的特征值和特征向量是一个迭代过程，其迭代步骤如下,(1),在,A,的非主对角线元素中，找出按模最大的元素,a,pq,(2),计算,并由此求出,sin,、,cos,以及相应的平面旋转矩阵,U,pq,(3),计算矩阵,A,1,的元素,a,(1),ij,(4),若,则停止计算，所求特征值为,i,a,(1),ii,，,i,=1,，,2,，,，,n,否则，令,A,=,A,1,，重复执行上述各步骤,.,2023/10/8227.2 Jacobi方法,2024/11/18,23,7.2,Jacobi,方法,当条件,满足时，,A,1,几乎是一个对角矩阵。因此，可取,A,1,的主对角线元素作为,A,的特征值的近似值，即,i,a,(1),ii,，,i,=1,，,2,，,，,n,记第,k,次迭代所得的平面旋转矩阵为,U,pkqk,，设经过,N,次迭代，上述条件得到满足，那么，经过,N,次迭代所得的矩阵,A,N,为,记,则,U,是正交矩阵，并且有,A,N,=,U,T,AU,U,的第,j,列就是,A,的属于特征值,i,a,(1),ii,的近似特征向量，并且所有的特征向量都是单位正交的。,2023/10/8237.2 Jacobi方法 当条件,2024/11/18,24,7.2,Jacobi,方法,在旋转变换中可以逐步形成,U,，而不必保存每一次的变换矩阵,U,pkqk,。记,R,0,=,I,令,R,k,=,R,k,1,U,pkqk,，,k,=1,，,2,，,，,N,则,U,=,R,N,.,计算矩阵,R,k,的元素,r,(,k,),ij,的公式为,2023/10/8247.2 Jacobi方法 在旋转变,2024/11/18,25,7.2,Jacobi,方法,用,Jacobi,方法计算,n,n,矩阵,A,的特征值和特征向量,计算量主要是乘法的次数，约为,8,n,次,.,关于,Jacobi,方法的收敛性，有以下的定理,.,定理,8.1,设,A,=(,a,ij,),n,n,是实对称矩阵，由,Jacobi,方法的第,k,次迭代得到的矩阵记为,A,k,=(,a,(,k,),ij,),n,n,，又记,则有,2023/10/8257.2 Jacobi方法 用 Ja,2024/11/18,26,7.2,Jacobi,方法,证 令,注意到,可得,2023/10/8267.2 Jacobi方法,2024/11/18,27,7.2,Jacobi,方法,实对称矩阵经过正交相似变换后，其元素的平方和不变，即,故有,又因,k,+1,+,k,+1,=,k,+,k,故得,2023/10/8277.2 Jacobi方法 实对称矩,2024/11/18,28,7.2,Jacobi,方法,从而有,其中，,0,是矩阵,A,的非主对角线元素平方之和。由于,所以有,2023/10/8287.2 Jacobi方法,2024/11/18,29,7.2,Jacobi,方法,为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间,对经典的,Jacobi,方法可作进一步改进,.,1.,循环,Jacobi,方法：按,(1,2),，,(1,3),，,，,(1,n,),，,(2,3),，,(2,4),，,，,(2,n,),，,，,(,n,-1,n,),的顺序,对每个,(,i,j,),的非零元素,a,ij,作,Jacobi,变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至,S,(,A,)|,2,|,n,|0,，则由基本,QR,方法产生的矩阵序列,A,k,收敛于一个上三角矩阵,(,其主对角线以上的元素可以不收敛,),。若,A,是对称矩阵，则序列,A,k,收敛于一个对角矩阵,.,定理,8.3,对于任何,n,n,实矩阵,A,，由基本,QR,方法产生的矩阵序列,A,k,收敛于分块上三角矩阵（其主对角线子块以上的元素可以不收敛），并且每个主对角线子块有等模的特征值,.,2023/10/8377.3 QR方法 定理 8.2,2024/11/18,38,7.3,QR,方法,要实现一步,QR,方法的迭代，就需要做一次,QR,分解，再做一次矩阵相乘，当,A,是一般矩阵时，计算量是很大的。,为了减少计算量，在实际计算时，总是先将原矩阵,A,经过相似变换，化为上,Hessenberg,矩阵,A,1,=(,a,(1),ij,),n,n,，,其中，当,i,j,+1,时，,a,(1),ij,=0,。然