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第一节 圆锥曲线的统一定义、抛,物线,内 容,要 求,A,B,C,顶点在坐标原点的抛物线的,标准方程与几何性质,三年,1,考 高考指数,:,1.,圆锥曲线的统一定义及其分类,统,一,定,义,分 类,一个定点,F,一条定直线,l,(F,不在,l,上,),离心率,焦点,准线,椭圆,抛物线,双曲线,平面内到,_,和到,_,的,距离的比等于常数,e,的点,的轨迹,.,其中,e,是圆锥曲线,的,_,，定点,F,是圆,锥曲线的,_,，定直线,l,是圆锥曲线的,_.,0e1,【,即时应用,】,(1),思考,:,在统一定义中定点和定直线有什么限制条件,?,提示,:,在统一定义中，定点不能在定直线上，且定点与定直线是圆锥曲线的相应的焦点和准线，尤其是在应用统一定义解题时，务必做到左准线对应左焦点，右准线对应右焦点,.,(2),思考：动点,P,到,F,的距离与它到定直线,l,的距离之比为,则动点,P,的轨迹是什么？,提示：,结合圆锥曲线的统一定义可知，动点,P,的轨迹是椭圆,.,2.,圆锥曲线的,标准方程及准,线方程,标 准 方 程,准 线 方 程,椭圆,双曲线,抛物线,y,2,=2px(p0),y,2,=-2px(p0),x,2,=2py(p0),x,2,=-2py(p0),【,即时应用,】,(1),椭圆,25x,2,+16y,2,=400,的焦点坐标为,_,准线方程为,_.,(2),双曲线 的两准线间的距离等于,_.,(3),抛物线,y=4x,2,的焦点坐标为,_.,【,解析,】,(1)25x,2,+16y,2,=400,可化为,c,2,=25-16=9.,焦点坐标为,(0,3).,准线方程为,y=,(2)a,2,=4,b,2,=3,c,2,=7,两准线间的距离,(3),抛物线,y=4x,2,的标准方程为,x,2,=y,，所以,2p=,，再由抛物,线的焦点在,y,轴的非负半轴上，所以抛物线的焦点坐标为,(0,).,答案,:,(1)(0,3)y=,【,方法点睛,】,圆锥曲线统一定义的应用,当遇到与焦点距离有关的问题时，首先应考虑用定义解题，若圆锥曲线上的点到焦点的距离直接处理较困难，且问题中有一个与离心率相关的系数时，应用统一定义转化为点到相应准线的距离，否则应用各自的定义求解,.,【,例,1】,如图,F,为双曲线,C:(a,0,b,0),的右焦点,P,为双曲线,C,右支上一点,且,位于,x,轴上方,M,为左准线上一点,O,为坐标原,点,已知四边形,OFPM,为菱形,.,(1),求双曲线,C,的离心率,e;,(2),若经过焦点,F,且平行于,OP,的直线交双曲线于,A,B,两点,且,|AB|=12,求此时的双曲线方程,.,【,解题指南,】,(1),由双曲线的第二定义得到关于离心率,e,的方程,解出即可,.,(2),设出双曲线方程和直线方程,联立,然后利用弦长公式求解,.,【,规范解答,】,(1),由于四边形,OFPM,是菱形,故,|OF|=|PF|=c,作出双曲线的右准线交,PM,于点,H,则,|PM|=|PH|+,所以离心率,e,整理得,e,2,-e-2=0,解得,e=2,或,e=-1(,舍去,),故所求双曲线的离心率为,2.,(2),由,e=2,得,c=2a,又,c,2,=a,2,+b,2,故,b,2,=3a,2,双曲线方程为,设,P,的横坐标为,x,0,由于四边形,OFPM,是菱形,即,|PF|=|PM|=c=2a,，,得,将其代入双曲线方程得,解得,y=a,即,P().,故直线,AB,的方程为,y=(x-2a).,将直线,AB,的方程代入到双曲线方程中得,4x,2,+20ax-29a,2,=0.,由,|AB|=12,得,解得,a=1,，则,b,2,=3.,故所求双曲线的方程为,【,反思,感悟,】,1.,本题,(1),在求解过程中用了双曲线的第二定义,.,2.,用待定系数法求双曲线的方程是最常用的方法,.,3.,灵活掌握双曲线方程的设法可以大大减少运算量,.,【,变式训练,】,(2011,重庆高考,),如图，椭圆,的中心为原点,O,，离心率 一条准线,的方程为,(1),求椭圆的标准方程；,(2),设动点,P,满足：其中,M,，,N,是椭圆上的点，直,线,OM,与,ON,的斜率之积为,-,问：是否存在定点,F,，使得,PF,与点,P,到直线,l,:x,=,的距,离之比为定值；若存在，求,F,的坐标，若不存在，说明理由,.,【,解析,】,(1),由题意得,故椭圆的标准方程为,(2),设动点,P(x,y,),、,M(x,1,y,1,),、,N(x,2,y,2,),，动点,P,满足：,(,x,y,)=(x,1,+2x,2,y,1,+2y,2,),x=x,1,+2x,2,y=y,1,+2y,2,M,、,N,是椭圆上的点，,=4+4,4+4(x,1,x,2,+2y,1,y,2,)=20+4(x,1,x,2,+2y,1,y,2,).,直线,OM,与,ON,的斜率之积为 ,x,2,+2y,2,=20,，故点,P,是椭圆 上的点，焦点,F(,，,0),，,准线,l,:x,=2 ,离心率为 根据圆锥曲线的统一定义，,|PF|,与,点,P,到直线,l,:x,=2,的距离之比为定值,故存在点,F(,，,0),，满足,|PF|,与点,P,到直线,l,:x,=2,的距离之,比为定值,.,【,变式备选,】,求中心在原点,过点,P(1,),，一条准线方程为,x-4=0,的椭圆的标准方程,.,【,解析,】,设椭圆的右焦点,F(c,0),，,d,为点,P(1,，,),到椭圆右准,线的距离，由椭圆的定义可知,即,代入得,解得 代入得,从而椭圆的方程为,抛物线的定义及其应用,【,方法点睛,】,利用抛物线的定义可解决的常见问题,(1),轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；,(2),距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用,.,【,提醒,】,注意一定要验证定点是否在定直线上,.,【,例,2】(2012,淮安模拟,),设点,P(x,y)(y0),为平面直角坐标,系,xOy,中的一个动点,(,其中,O,为坐标原点,),，点,P,到定点,M(0,),的,距离比点,P,到,x,轴的距离大,.,(1),求点,P,的轨迹方程,;,(2),若直线,l,:y,=x+1,与点,P,的轨迹相交于,A,、,B,两点，求线段,AB,的,长,;,(3),设点,P,的轨迹是曲线,C,点,Q(1,，,y,0,),是曲线,C,上一点，求过点,Q,的曲线,C,的切线方程,.,【,解题指南,】,(1),用直接法或定义法求得点,P,的轨迹方程,.,(2),联立,y=x+1,与点,P,的轨迹方程，整理后把根与系数的关系代入弦长公式求出结果,.,(3),可利用导数求得切线的斜率，点斜式求得切线的方程,.,【,规范解答,】,(1),由题意知,点,P,到定点,M(0,，,),的距离与点,P,到,y=-,的距离相等,.,p=1.,由抛物线的定义可得点,P,的轨迹方程为,x,2,=2y.,(2),联立,y=x+1,与,x,2,=2y,化简得,x,2,-2x-2=0.,设,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则,x,1,+x,2,=2,x,1,x,2,=-2,(3),曲线,C,即函数 的图象,y=,x,y|,x,=1,=1,又,Q(1,),故所求切线方程为,y-=1,(x-1),，,即,x-y,-=0.,【,反思,感悟,】,1.,本题,(1),是利用抛物线的定义来求解,.,在求轨迹或轨迹方程时一定要注意圆锥曲线的定义，这样能起到事半功倍的效果,.,2.,求线段长度，可用弦长公式来求,.,3.,求曲线切线方程可利用导数的方法求解,.,【,变式训练,】,坐标平面上一点,P,到点,A(,，,0),，,B(a,2),及到直,线,x=-,的距离都相等,.,如果这样的点,P,恰好只有一个,求实数,a,的值,.,【,解析,】,平面上到点,A(,0),及到直线,x=-,的距离相等的点,的轨迹是抛物线,y,2,=2x.,本题实质上就是该抛物线上有且只有一个点到点,A(,0),B(a,2),的距离相等,有两种情况,:,一是线段,AB,的垂直平分线与抛物线相切,一是线段,AB,的垂直平分线与抛物线的对称轴平行,.,可得实数,a,的值为 或,-.,直线与抛物线的位置关系,【,方法点睛,】,1.,直线与抛物线的位置关系的判定,设直线方程,Ax+By+C,=0,与抛物线方程,y,2,=2px(p0),联立，消去,x,得到关于,y,的方程,my,2,+ny+,l,=0.,方程特征,交点个数,位置关系,直线与抛物线,直线与抛物线的对称,轴平行或重合，两者,相交,1,m=0,m,0,0,2,相交,m0,=0,1,相切,m0,0,0,相离,2.,直线与抛物线相交的几个结论,已知抛物线,y,2,=2px(p0),，过其焦点的直线交抛物线于,A,、,B,两,点，设,A(x,1,，,y,1,),、,B(x,2,，,y,2,),，则有以下结论：,(1),AB|=x,1,+x,2,+p,或,|AB|=(,为,AB,所在直线的倾斜角,),；,(2)(3)y,1,y,2,-p,2,；,(4),过抛物线焦点且与对称轴垂直,的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为,2p.,【,提醒,】,直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相,切，因为当直线与对称轴平行,(,或重合,),时，直线与抛物线也只,有一个交点,.,【,例,3】(2011,湖南高考,),已知平面内一动点,P,到点,F(1,0),的距,离与点,P,到,y,轴的距离的差等于,1.,(1),求动点,P,的轨迹,C,的方程；,(2),过点,F,作两条斜率存在且互相垂直的直线,l,1,l,2,，设,l,1,与轨迹,C,相交于点,A,，,B,，,l,2,与轨迹,C,相交于点,D,，,E,，求 的最小值,.,【,解题指南,】,(1),利用已知的距离关系求动点,P,的轨迹方程,.,(2),设出,l,1,的方程，联立,l,1,和轨迹,C,的方程，利用根与系数的关系求解,.,【,规范解答,】,(1),设动点,P,的坐标为,(,x,y,),，,由题意有 化简得,y,2,=2x+2|x|,当,x0,时，,y,2,=4x;,当,x0,时,y=0.,所以动点,P,的轨迹,C,的方程为,y,2,=4x(x0),和,y=0(x0),的焦点为,F,，过,F,的直线交,y,轴正半轴于点,P,，交抛物线于,A,，,B,两点，其中,A,在第二象限,.,(1),求证：以线段,FA,为直径的圆与,y,轴相切；,(2),若 求,2,-,1,的值,.,【,解析,】,(1),由已知,F(-,，,0),，设,A(x,1,y,1,),则圆心坐标为,圆心到,y,轴的距离为,圆的半径为,以线段,FA,为直径的圆与,y,轴相切,.,(2),设,P(0,，,y,0,),B(x,2,y,2,),由 得,1,0,2,0.,(x,1,+,y,1,)=,1,(-x,1,y,0,-y,1,),(-x,2,-y,2,)=,2,(x,1,+,y,1,).,x,1,+=-,1,x,1,-x,2,=,2,(x,1,+),-y,2,=,2,y,1,将变形为,将 代入，整理得,代入整理得,即,2,-,1,=1.,
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