经济学特征值与特征向量

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,定理,5.1.6,设,A,=(,a,ij,),m,n,则,A,的特征多项式,det(,A,-,I,),是一,的,n,次多项式,f,()=,a,n,n,+,a,n-,1,n-1,+,a,1,+,a,0,并且，,a,n,=(,-,1),n,a,0,=det(,A,),a,n-,1,=(,-,1),n-,1,(,a,11,+,a,22,+,a,nn,),按第一列展开得：,第二项后面的行列式只包括,n,-,2,个,因此只有第一项涉及到,的,n,和,n,-,1,次项，则只,考虑第一项,则后面的行列式是一个,A,的右下角的子式的特征多项式，按上面的办法依此类推,因此可知,特征多项式中涉及到,的,n,和,n,-,1,次项的乘积项必来自,det(,A,-,I,),的对角线的乘积项,(,a,11,-,)(,a,22,-,)(,a,nn,-,),因此有特征多项式,f,(,),的,n,的系数为,a,n,=(,-,1),n,n,-,1,的系数为,a,n,-,1,=(,-,1),n,-1,(,a,11,+,a,22,+,a,nn,)=tr(,A,),其中,tr(,A,)=(,a,11,+,a,22,+,a,nn,),为矩阵,A,的对角线元素之和，称作,A,的,迹,定理,5.1.5,设,A,=(,a,ij,),n,n,1,2,n,是,A,的特征多项式,f,(,)=det(,A,-,I,),的,n,个根，那么,1,+,2,+,n,=tr(,A,);,1,2,n,=det(,A,),证：因,f,()=det(,A,-,I,)=,a,n,n,+,a,n-,1,n-1,+,a,1,+,a,0,=(,-,1),n,(,-,1,)(,-,2,)(,-,n,),将右端展开并和左边的系数对照，可知,a,n-,1,=(,-,1),n,+1,(,1,+,2,+,n,),f,(0)=det(,A,)=,a,0,=,1,2,n,举例验证,1(,书上例,1),对角线元素相加,a,11,+,a,22,=0.94+0.97=1.91,二特征值相加,1,+,2,=1+0.91=1.91,det(A)=0.97,-,0.06=0.91,二特征值相乘,1,2,=10.91=0.91,举例验证,2(,书上例,2),对角线之和,a,11,+,a,22,+,a,33,=1+1+1=3,特征值之和,1,+,2,+,3,=5,-,1,-,1=3,行列式,det(A)=5=,1,2,3,=5(,-,1)(,-,1),举例验证,3(,书上例,3),对角线之和,a,11,+,a,22,+,a,33,=3,-,1,-,2=0,特征值之和,1,+,2,+,3,=,-,2,+,1,+,1=0,行列式,det(A)=,-,2=,1,2,3,=,-,2 1 1,矩阵的对角化问题,定义,5.2.1,设,A,B,是两个,n,阶方阵,如果存在一个可逆阵,T,使得,B,=,T,-1,AT,则称,A,与,B,相似,记为,A,B,如果,A,B,则也有,B,A,(,因为,A,=(,T,-,1,),-,1,BT,-,1,),这叫反称性,此外,如果,AB,且,BC,则有,AC,这叫传递性,.,相似在解线性方程组中的意义,在物理学解二元或者三元线性方程组,AX,=,Y,时,(,其中,X,与,Y,都是列向量,A,为方阵,),如果选取的坐标系不同,则线性方程组也不同,而新的坐标向量到原坐标向量之间的坐标转换公式是向量左乘上一过渡矩阵,C,即,X,=,CX,Y,=,CY,代入线性方程组得,ACX,=,CY,即,C,-,1,ACX,=,Y,即,A,X,=,Y,其中,A,=,C,-,1,AC,与原系数矩阵,A,相似,因此不同基底下的线性方程组的系数矩阵相互间是相似的,.,定理,5.2.1,相似的矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,.,证,:,设,A,B,即有可逆矩阵,T,使得,B,=,T,-,1,AT,从而,det(,B,-,I,)=det(,T,-,1,AT,-,T,-,1,T,),=det(,T,-,1,)det(,A,-,I,)det(,T,),=det(,A,-,I,),定义,5.2.2,设,A,为一,n,阶方阵,.,如存在一对角矩阵,B,使得,A,B,则称,A,可对角化,对角化的意义,对于有,n,个方程的,n,个变元的线性方程组,AX,=,Y,如其系数矩阵,A,能够对角化,即存在可逆阵,T,使,A,=,T,-,1,AT,为对角阵,则可以选择不同基表述这个方程,为,A,X,=,Y,这样转换后的方程具有简洁的形式为,这样的方程非常容易解,定理,5.2.2,n,阶方阵,A,可对角化,当且仅当,A,有,n,个线性无关的特征向量,证,:,必要性,设,n,阶矩阵,A,可对角化,即存在可逆矩阵,T,使得,从而有,AT,=,TB,将,T,按列分块,T,=(,1,2,n,),AT,=,BT,B,为对角阵,T,可逆,T,=(,1,2,n,),得,A,i,=,i,i,即,i,是,A,的属于,i,的特征向量,(,i,=1,2,n,).,又因,T,可逆,故,T,的秩为,n,从而,(,1,2,n,),线性无关,充分性,设,1,2,n,是矩阵,A,的,n,个线性无关的分属于特征值,1,2,n,的特征向量,即有,A,i,=,i,i,i,=1,2,n,.,因,1,2,n,线性无关,则以,1,2,n,为列向量的矩阵,P,=(,1,2,n,),的秩为,n,从而,P,可逆,因各个特征向量为列向量拼成的矩阵,P,可逆,因此,A,可对角化,从定理的证明可以知道,:,如,A,可对角化,则对应的对角矩阵对角线上的元素正好是,A,的全部特征值,(,相同的按重复的次数计算,).,而对角化所需的可逆矩阵的第,j,个列向量是,A,的属于位于对应的对角矩阵对角线上第,j,个特征值的特征向量,.,因此,将,A,对角化的步骤为,:,将各个线性无关的特征向量按列向量从左到右排成一个矩阵时,这个矩阵可将,A,对角化成一个对角矩阵其特征值从左上角到右下角排列,.,对角化的例,1,对角化的例,2,对角化的例,3,此例中重复的特征值,2,=,3,=1,只对应一个线性无关的特征向量,(3,-,6,20),T,因此,A,总共只有两个线性无关的特征向量，,因此,A,不能对角化,引理,:,方阵,A,的不同的特征值对应的特征向量间线性无关,证,:,用归纳法,一个特征值对应的特征向量因不为零向量,则线性无关,引理成立,.,假设,A,的,m,-,1,个互不相同的特征值,1,2,m,-1,对应的特征向量,1,2,m,-1,线性无关,考察,1,2,m,对应的特征向量,1,2,m,考察齐次方程,x,1,1,+,x,2,2,+,x,m,-1,m,-1,+,x,m,m,=O(1),用,A,左乘,(1),式两端得,x,1,1,1,+,x,2,2,2,+,x,m,-1,m,-1,m,-1,+,x,m,m,m,=O(2),(1),乘,-,m,加到,(2),得,(,接下页,),接上页,x,1,(,1,-,m,),1,+,x,m,-,1,(,m,-,1,-,m,),m,-1,=O,而,1,2,m,-1,线性无关,1,2,m,又各不相同,上式成立只能是,x,1,=,x,2,=,x,m,-1,=0,代入前面,(1),式有,x,m,m,=O,则因,m,为特征向量而非零向量只能有,x,m,=0,推论,5.2.4,如果,n,阶矩阵,A,有,n,个不同的特征值,则,A,可对角化,因此,A,的特征方程只要没有重根,就可被对角化,这在实际应用中是常见的现象,而只有当,A,的特征方程有重根时,才有可能不可对角化,但这种情况在实际应用中是罕见的,.,例,2,如方阵,A,为上,(,或下,),三角矩阵,且对角线上元素两两不等,则,A,可对角化,.,证,:,证下三角矩阵,(,上三角矩阵同理,),设,det(,A,-,I,)=(,a,11,-,)(,a,22,-,)(,a,nn,-,),因此对角线上的元素就是,A,的特征值,因为它们互不相同,因此,A,可对角化,.,例,3,证明,:,如,A,B,则,A,m,B,m,证,:,因,A,B,存在可逆阵,T,使得,T,-,1,AT,=,B,从而,B,2,=(,T,-,1,AT,)(,T,-,1,AT,)=,T,-,1,A,(,TT,-,1,),AT,=,T,-,1,A,2,T,即得,A,2,B,2,由此类推得,:,故有,A,m,B,m,还可知相似操作的矩阵,T,不变,且有,A,m,=,TBT,-,1,因此,如,A,可对角化为,B,可方便地算出,A,m,例,3a,最后得,例,3b,最后得,:,作业,第,124,页 第,4,5,6,7,