方向导数与梯度 大学 数学 高等数学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,方向导数与梯度,实例,：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向即梯度方向爬行,一、方向导数的定义,讨论函数 在一点,P沿某一方向的变化率问题,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,记为,方向导数的几何意义,过直线,作平行于,z,轴的平面,与曲面,z,=,f,(,x,y,)所交的曲线记为,C,表示,C,的割线向量,即,即,割线转化为切线,上式极限存在就意味着当点,趋于点,曲线,C,在点,P,0,有唯一的切线,它关于 方向的斜率,就是方向导数,L,C,M,0,T,P,0,P,M,l,证明,由于函数可微，那么增量可表示为,两边同除以,得到,故有方向导数,解,解,由方向导数的计算公式知,故,推广可得三元函数方向导数的定义,解,令,故,方向余弦为,故,二、梯度的概念,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在,xoy,面上投影如图,梯度为等高线上的法向量,等高线,等高线的画法,例如,梯度与等高线的关系：,此时,f,(,x,y,)沿该法线方向的方向导数为,故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。,梯度的概念可以推广到三元函数,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,解,由梯度计算公式得,故,例5 求函数,沿曲线,在点,处,的内法线方向的方向导数,解一,用方向导数计算公式,即要求出从,x,轴正向沿逆时针,转到内法线方向的转角,在,两边对,x,求导,解得,切线斜率,故法线斜率为,内法线方向的方向余弦为,而由,得,解二,用梯度,梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向,导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值,即梯度是函数在这点增长最快的方向,从等高线的角度来看，,f,(,x,y,)在点,P,的梯度,方向与过点,P,的等高线,f,(,x,y,)=C 在这点,的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线,指向数值较高的等高线,等高线为,f,(,x,y,)=C,即,椭圆,大于椭圆,因此,在点,处的内法线恰好是梯度方向,故,三、小结,1、方向导数的概念,注意方向导数与一般所说偏导数的区别,2、梯度的概念,注意梯度是一个向量,3、方向导数与梯度的关系,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,