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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2015/12/21,#,数字信号处理,Digital signal processing,第六章 无限冲激响应,(IIR),滤波器的设计方法,z,变换、,IIR,滤波器、拉普拉斯变换,2015.12.23,1,数字信号处理Digital signal processi,离散矩形函数,混迭,sinc,函数的幅值,线性相位,/,恒定群延时,离散矩形函数对,无限长度,sinc,函数作截断,幅频响应产生,Gibbs,效应,线性相位,/,恒定群延时,回顾（,FIR,滤波器）,2,离散矩形函数混迭sinc函数的幅值线性相位/恒定群延时离散矩,回顾（,FIR,滤波器）,FIR,滤波器设计的,最终目标,：找到满足设计要求的,FIR,滤波器的冲激响应,h,n,；,基本设计方法：逆,IDFT,；,主要的设计方法：,1,）引入过渡带；,2,）最优化法；,3,）窗函数法；,FIR,滤波器设计的常规思路：减小,Gibbs,现象（频域过冲和纹波）；,FIR,滤波器的实际应用：利用找到的,h,n,对离散数据进行滤波，即根据,x,n,计算差分方程的输出,y,n,3,回顾（FIR滤波器）FIR滤波器设计的最终目标：找到满足设计,FIR,滤波器的结构,延迟单元横排,延迟单元竖排,4,FIR滤波器的结构延迟单元横排延迟单元竖排4,z,变换的提出,对于一个引入反馈的离散时间系统，其,h,n,是怎样的？能否用系数,a,(,n,),、,b,(,n,),显示地表示出来？,(,n,),h,(,n,),5,z变换的提出对于一个引入反馈的离散时间系统，其hn是怎样,z,变换的提出,该系统的差分方程为：,对该系统引入时域延迟算子,D,，有,y,(,n,-1)=D,y,(,n,),，,y,(,n,-2)=D,2,y,(,n,),等，则该系统可表示为：,x,(,n,),y,(,n,),6,z变换的提出该系统的差分方程为：x(n)y(n)6,z,变换的提出,考虑最简单的情况,差分方程为：,卷积形式：,求,h,n,。,将延迟因子代入,两式得：,由,得：,联立,得：,解,得：,7,z变换的提出考虑最简单的情况差分方程为：卷积形式：求hn,z,变换的提出,考虑最简单的情况,差分方程为：,卷积形式：,求,h,n,。,解,得：,所求为,将,h,(,n,),代入,得：,延迟算子,D,最,终没有出现在,所求的,h,(,n,),中,延迟算子,D,具有级数展开的性质,8,z变换的提出考虑最简单的情况差分方程为：卷积形式：求hn,z,变换的提出,由该式可解出前面若干个,h,(,n,),的值及,h,(,n,),的一系列递推关系，,可见,h,(,n,),是无限长的,。,对于一般情况：,不方便用,级数展开,9,z变换的提出由该式可解出前面若干个h(n)的值及h(n)的一,z,变换的提出,考虑最简反馈系统的级联,求,h,n,。,将延迟因子代入,两式得：,将,代入,得：,延迟算子函数相乘,延迟算子,D,具有将卷积变乘积的性质,10,z变换的提出考虑最简反馈系统的级联求hn。将延迟因子,z,变换的提出,高阶带反馈的系统分解为低阶子系统的级联,分子、分母是关于,D,的广义多项式，同时作因式分解可得低阶子系统,差分方程为：,代入,延迟因子,：,11,z变换的提出高阶带反馈的系统分解为低阶子系统的级联分子、分母,z,变换的提出,D,是什么？,为了方便地求出带反馈的离散时间系统的,h,(,n,),而引入的时域延迟算子；,延迟算子具有递归特性，即,D(,x,(,n-,1)=D(D(,x,(,n,)=D,2,x,(,n,),，因此算子符合结合律；,分母中的延迟算子表示某种程度上的提前，如,1/D,表示提前一个单位时间，如,D(,x,(,n,-1)/D=D,2,x,(,n,)/D=D,x,(,n,)=,x,(,n,-1),；,D,具有与变量类似的计算性质，导致它有了许多有利于分析离散时间系统的特性：级数展开可分析冲激响应、级联系统的卷积关系转化为乘积关系可将高阶系统降阶,但是，困境在于，级数展开需要满足收敛条件，收敛条件对于,D,有意义吗？对,D,的广义多项式进行因式分解后得到的零点是什么？有作用吗？,12,z变换的提出D是什么？12,z,变换的提出,序列的,z,变换是分析线性时不变系统的一个强有力的工具。它由下列方程式定义：,在式中使幂级数收敛的,z,值的集合称为,X,(,z,),的收敛域（,ROC,），收敛的充分条件是：,通常，,ROC,是复,z,平面上的一个环，即,R,1,|,z,|,R,2,；,对于有限长度时间信号，,ROC,是一个可能除了原点和无穷远处的整个,z,平面；,无限时长因果信号，,ROC,是,R,1,|,z,|,，即圆周的外面；,无限时长非因果左边信号，,ROC,是,0|,z,|,R,2,，即圆周的内部。,正变换,反变换,13,z变换的提出序列的z变换是分析线性时不变系统的一个强有力的工,z,变换与延迟因子,D,的相同点,延迟因子,D,具有的所有良好特性,z,变换都具备；,z,变换也具有延迟因子,z,-1,，,z,-1,也存在时域延迟对应性及递归特性；,z,-1,的函数具有级数展开特性；,z,变换能够将卷积变乘积，进而高阶系统可以转变为低阶系统的级联。,14,z变换与延迟因子D的相同点延迟因子D具有的所有良好特性z变换,z,变换与延迟因子,D,的不同点,z,变换延迟因子,z,-1,作用于定义在复,z,平面中的函数，即,X,(,z,),、,Y,(,z,),等，而延迟因子,D,作用于时域函数,x,(,n,),、,y,(,n,),等；,z,变换中的延迟因子,z,-1,是复变量,z,的单项式；,z,变换所得的传递函数是一个复变有理分式，对其分子、分母进行因式分解所得零点有意义，,并且可用来分析系统的稳定性,。,15,z变换与延迟因子D的不同点z变换延迟因子z-1作用于定义在复,z,变换的零、极点,z,域传递函数,对分子、分母进行因式分解分别得到传递函数的零点和极点；,16,z变换的零、极点z域传递函数对分子、分母进行因式分解分别得到,z,变换的零、极点,不同,z,域极点位置对应的冲激响应,单位圆外的极点意味着系统不稳定,17,z变换的零、极点不同z域极点位置对应的冲激响应单位圆外的极点,单位圆、极点、,ROC,极点在单位圆内，系统是稳定的；,对于无限长因果系统，,ROC,内沿在最外面的极点以外，若该极点在单位圆内，则该系统稳定；,对于无限长非因果系统，,ROC,外沿在最里面极点以内，若该极点在单位圆外，则系统一定不稳定；,对于有限长因果系统，极点在,0,，系统稳定；,对于有限长非因果系统，极点在无穷远处（可能包含,0,），系统稳定。,ROC,不包含任何极点；,若,ROC,包含单位圆，该离散时间函数有,DTFT,。,18,单位圆、极点、ROC极点在单位圆内，系统是稳定的；18,IIR,滤波器存在稳定性问题,IIR,滤波器是无限长因果系统，,ROC,内沿在最外面的极点以外，若该极点在单位圆内，则该系统稳定；,因此，若要所设计的,IIR,滤波器稳定，应当将全部极点设计在单位圆以内；,类似木桶所呈的水与最短的木板决定，,IIR,滤波器的稳定性由最靠外的极点决定。,19,IIR滤波器存在稳定性问题IIR滤波器是无限长因果系统，R,IIR,滤波器零、极点怎么求？,第一步：得到,IIR,滤波器,z,域传递函数的有理分式；,第二步：对,z,-1,有理分式的分子、分别进行因式分解，分别得到,IIR,滤波器的零点和极点。在,Matlab,中，可用,roots,命令将零、极点分别求出，再用,zplane,将它们同时显示在,z,复平面上。,20,IIR滤波器零、极点怎么求？第一步：得到IIR滤波器z域传递,IIR,滤波器的典型结构,IIR,滤波器是一种引入反馈的离散时间系统,(,n,),h,(,n,),21,IIR滤波器的典型结构IIR滤波器是一种引入反馈的离散时间系,IIR,滤波器具有无限长冲激响应,M,阶,IIR,滤波器是无限长因果系统，其,z,域传递函数的系数,a,(,k,),不为,0,；,该,M,阶,IIR,滤波器的差分方程为：,IIR,滤波器为,有反馈,的离散时间系统。,22,IIR滤波器具有无限长冲激响应M阶IIR滤波器是无限长因果系,IIR,滤波器冲激响应怎么求？,已知滤波器的微分方程，如何求其冲激响应？,第一步：根据微分方程写出系统的,z,域传递函数；,第二步：将关于,z,-1,的有理分式作,Taylor,级数展开得,h(,n,),，级数展开方法与延迟算子,D,类似。,差分方程,z,域传递函数,根据,z,变换的定义有,注意：非因果系统不是作,Taylor,级数,展开，而是,Laurent,级数,展开；,具体请参考,复变函数与积分变换,教材。,23,IIR滤波器冲激响应怎么求？已知滤波器的微分方程，如何求其冲,IIR,滤波器频率响应怎么求？,FIR,滤波器的频率响应可由,h,(,n,),作补零后的,DFT,以求其频率响应；,IIR,滤波器的频率响应怎么求呢？,通过级数展开得到无限长的,h,(,n,),？,无限长的,h,(,n,),再进行截断？,No,！利用这个性质：若,ROC,包含单位圆，该离散时间函数有,DTFT,！,24,IIR滤波器频率响应怎么求？FIR滤波器的频率响应可由h(n,IIR,滤波器频率响应怎么求？,z,复平面单位圆上,z,变换就是,DTFT,，若已知,IIR,滤波器的,z,域传递函数,H(z),，令,z,=e,j,，便得到滤波器冲激响应的,DTFT,，由此可绘出频率域抽样的,DTFT,幅度与相位曲线。,DTFT,幅度,相位,25,IIR滤波器频率响应怎么求？z复平面单位圆上z变换就是DTF,拉普拉斯变换与,z,变换的关系,拉普拉斯变换,CFT,DTFT,z,变换,s,复平面上虚数轴的,拉普拉斯变换就是,CFT,z,复平面单位圆上,z,变换就是,DTFT,采样,26,拉普拉斯变换与z变换的关系拉普拉斯变换CFTDTFTz变换s,拉普拉斯变换,对于一个连续函数,f(t),，当,t,0,时有,f,(,t,)=0,，则有拉普拉斯变换对：,对比,z,变换,正变换,反变换,其中，,s,为一复变量,正变换,反变换,27,拉普拉斯变换对于一个连续函数f(t)，当t0时有f(t)=,拉普拉斯变换的图像,拉普拉斯变换将系统冲激响应,h,(,t,),投影到复频率,s,域形成,H,(,s,),，,H,(,s,),是复变量,s,的函数，由于,Re,H,(,s,),处处连续、处处不可导，下面显示,|,H,(,s,)|,的图像：,极点处,|,H,(,s,)|,=0,时，拉普拉斯,变换退化为傅里叶变换,28,拉普拉斯变换的图像拉普拉斯变换将系统冲激响应h(t)投影到复,拉普拉斯变换与微分方程,拉普拉斯变换原本是用来解线性微分方程的简便方法，它将微分方程的求解转换为代数方程的求解。例如，有如下二阶微分方程：,可转换为代数方程：,我们在这里不解代数方程，而是考虑其多项式的比值：,拉普拉斯变换具有非常明显的物理意义，传递函数的系数,直接由微分方程的系数决定。,29,拉普拉斯变换与微分方程拉普拉斯变换原本是用来解线性微分方程的,拉普拉斯变换的零、极点,对传递函数,H,(,s,),有理分式,的分子、分母作因式分解分别得零点和极点；,极点在右半平面时系统不稳定,30,拉普拉斯变换的零、极点对传递函数H(s)有理分式的分子、分母,s,复平面,z,复平面的映射,s,复平面中的虚数轴映射到,z,复平面的单位圆；,s,复平面中的左半平面映射到,z,复平面的单位圆内部；,s,复平面中的线性性角频率映射到,z,复平面的周期角频率，注意，频率混迭就是这样产生的。,31,s复平面z复平面的映射s复平面中的虚数轴映射到z复平面的单,思考：,采样将如何影响频谱的变化？,拉普拉斯变换与,z,变换之间只是简单的保形映射的关系吗？,拉普拉斯变换,CFT,DTFT,z,变换,
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