球的内切和外接问题课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.,如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这,1,一、直接法,变式题：,一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为,24,，则该球的体积为,.,1、求正方体的外接球的有关问题,例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为,.,一、直接法变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该,2,2、求长方体的外接球的有关问题,例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为,.,解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 ，故球的表面积为,.,变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为,4,，体积为,16,，则这个球的表面积为（）,A.B.C.D.,C,2、求长方体的外接球的有关问题例2、一个长方体的各顶点均在同,3,二、球与多面体的接、切,定义,1,：若一个多面体的,各顶点,都在一个球的球面上,，则称这个多面体是这个球的,内接多面体,，这个球是这个 。,定义,2,：若一个多面体的,各面,都与一个球的球面相切,，则称这个多面体是这个球的,外切多面体,，这个球是这个 。,一、,球体的体积与表面积,多面体的,外接球,多面体的,内切球,棱切：,一个几何体各个面分别与另一个几,何体各条棱相切。,图,3,图,4,图,5,二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球,4,中截面,设棱长为,1,球的外切正方体的棱长等于球直径。,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,例,1,甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为,()A.1:2:3 B.C.D.,球与棱柱的组合体问题,中截面设棱长为1球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1,5,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,中截面,正方,形,的对角线等于球的直径。,.,球内切于正方体的棱,设棱长为,1,ABCDD1C1B1A1O中截面正方形的对角线等于球的直径。,6,A,B,C,D,D,1,C,1,A,1,O,B,1,对角面,球的内接正方体的对角线等于球直径。,球外接于正方体,设棱长为,1,ABCDD1C1A1OB1对角面球的内接正方体的对角线等于球,7,A,C,B,P,O,二、构造法,1,、构造正方体,例,4,、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是,变式题,（浙江高考题）已知球,O,的面上四点,A,、,B,、,C,、,D,，,则球,O,的体积等于,图,4,ACBPO二、构造法1、构造正方体例4、若三棱锥的三条侧棱,8,A,B,C,D,O,A,B,C,D,O,求正多面体外接球的半径,求正方体外接球的半径,例,5,、求棱长为,a,的正四面体,P ABC,的外接球的表面积。,变式题：,1,、一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）,A.B.C.D.,A,ABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半,9,2、在等腰梯形ABCD中，E为AB的中点，将 分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）,图,3,C,2、在等腰梯形ABCD中，,10,2、构造长方体,已知点A、B、C、D在同一个球面上，,，则B、C两点间的球面距离是,.,图,5,2、构造长方体已知点A、B、C、D在同一个球面上，,11,三、确定球心位置法,在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为(),三、确定球心位置法 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，A,12,四、公式法,一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为,解：设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有,正六棱柱的底面圆的半径 ，球心到底面的距离,.外接球的半径,小结 本题是运用公式 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.,思考题：,半径为,R,的球的外切圆柱,(,球与圆柱的侧面、两底面都相切,),的表面积为,_,，体积为,_,四、公式法 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已,13,五、构造直角三角形,例13、,求棱长为1的正四面体外接球的体积,五、构造直角三角形例13、求棱长为1的正四面体外接球的体积,14,六、寻求轴截面圆半径法,正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为,.,解 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为,O,，如图,3,所示,.,由球的截面的性质，,可得,又 ，球心,O,必在 所在的直线上,.,的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径,.,在 中，由,是外接圆的半径，也是外接球的半径,.,故,六、寻求轴截面圆半径法 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧,15,几何体的内切球,正四面体的棱长为,a,，则其内切球和外接球的半径是多少？,图,1,解：如图,1,所示，设点,o,是内切球的球心，正四面体棱长为,a,由图形的对称性知，点,o,也是外接球的球心设内切球半径为,r,，外接球半径为,R,正四面体的表面积,正四面体的体积,在 中，即 ，得 得,几何体的内切球正四面体的棱长为a，则其内切球和外接球的半径,16,【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 (h 为正四面体的高)，且外接球的半径 ，从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。,(1),正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心,(2),求多面体内切球半径，往往可用,“等体积法”,(3),正四面体内切球半径是高的 ，外接球半径是高的,.,(4),并非所有多面体都有内切球,(,或外接球,),【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球,17,球的旋转定义,：,1.半圆,以它的,直径,所在的直线,为轴,旋转所成的曲面叫做,球面,。,2.半圆面,以它的,直径,所在的直线,为轴,旋转所成的,几何体叫做,球体,。,(,球是旋转体,),3.,注意,：,球面和球体的,区别,：,球面仅仅是指球的表面，,而球体不仅包括球的表面，,而且还包括球面所围成的几何空间。,球心,球的半径,球的直径,球的旋转定义：1.半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面,18,球的性质,性质,1,：,用一个平面去截球，截面是,圆面,；用一个平面去,截球面，,截线是圆,。,大圆,-,截面过球心，半径等于球半径；,小圆,-,截面不过球心,A,球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去,19,2,、球心和截面圆心的连线,垂直,于截面,O,A,B,C,D,d,r,R,3,、球心到截面的距离与球的半径,R,及截面的半径的关系：,性质,1,：,用一个平面去截球，截面是,圆面,；用一个平面去,截球面，,截线是圆,。,大圆,-,截面过球心，半径等于球半径；,小圆,-,截面不过球心,2、球心和截面圆心的连线垂直于截面OABCDdrR3、球心到,20,精品课件,！,精品课件！,21,精品课件,！,精品课件！,22,球的内切、外接问题,5、体积分割是求内切球半径的通用做法。,1,、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。,2,、正多面体的内切球和外接球的球心重合。,3,、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。,4,、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。,球的内切、外接问题5、体积分割是求内切球半径的通用做法。1、,23,