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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.求由 所决定的隐函数对,的导数,解 方程两端分别对 求导，得,故,1,3.求由 所决定的隐函数,4.当 为何值时，函数 有极值。,解,令,得唯一驻点,故 为函数 的惟一,的极值点（极小值点）。,2,4.当 为何值时，函数 有极,3,3,4,4,无穷限的反常积分,无界函数的反常积分,小结 思考题 作业,第四节 反常积分,(广义积分),improper integral,第五章 定积分,5,无穷限的反常积分无界函数的反常积分小结 思考题 作业第四,常义积分,积分区间有限,被积函数有界,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,反 常 积 分,反常积分,推广,6,常义积分积分区间有限被积函数有界积分区间无限被积函数无界常义,一、无穷限的反常积分,引例.,曲线,和直线,及,x,轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,一、无穷限的反常积分引例.曲线和直线及 x 轴所围成的开口,定义1,即,当极限存在时,称反常积分,当极限不存在时,称反常积分,如果极限,存在,反 常 积 分,则称这个极限值,反常积分,(1),收敛;,发散.,8,定义1 即当极限存在时,称反常积分当极限不存在时,称反常,即,当极限存在时,称反常积分,当极限不存在时,称反常积分,存在,如果极限,反 常 积 分,则称这个极限值,反常积分,(2),收敛;,发散.,9,即当极限存在时,称反常积分当极限不存在时,称反常积分存在,如果反常积分,和,都收敛,则称上述两反常积分之和为函数,称反常积分,反 常 积 分,上的,反常积分,即,收敛;,记作,发散.,否则称反常积分,(3),10,如果反常积分和都收敛,则称上述两反常积分之和为函数称反常积分,注,为了方便起见,规定:,对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式,这时反常积分的收敛与发散取决于 和 是否存在.,反 常 积 分,11,注为了方便起见,规定:对反常积分可用如下的简记法使用N-,例,计算反常积分,解,反 常 积 分,反常积分的积分,值,的,几何意义,12,例 计算反常积分解反 常 积 分反常积分的积分值的几何意,例,计算反常积分,解,反 常 积 分,13,例 计算反常积分解反 常 积 分13,例,解,考虑,由于被积函数为奇函数,积分区间又为对称区间,由定义可知,因而,反 常 积 分,?,只有上述两个极限都存在时,才能使反常,但是上述两个极限都不存在.,故知,积分收敛.,14,例 解考虑由于被积函数为奇函数,积分区间又为对称区间,由,为对称区间.,其错误的原因在于认定,不成立的.,注,对于反常积分来说,对称区间上的性质,反 常 积 分,各不相关.,15,为对称区间.其错误的原因在于认定不成立的.注对于反常积分来说,例4.,计算反常积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,例4.计算反常积分解:机动 目录 上页 下页,证,反 常 积 分,例,证明反常积分,收敛,发散.,17,证反 常 积 分例 证明反常积分收敛,发散.17,证,因此,收敛,其值为,发散.,反 常 积 分,例,证明反常积分,*,18,证因此收敛,其值为发散.反 常 积 分例 证明反常积分,并求其值.,令,反 常 积 分,例,证明,解,19,并求其值.令反 常 积 分例 证明解19,反 常 积 分,20,反 常 积 分20,反 常 积 分,练习,1.计算,2019年考研数学(一)填空3分,解,2.位于曲线,下方,x,轴上方的,无界图形的面积是,解,2019年考研数学(二)填空3分,21,反 常 积 分练习1.计算 2019年考研数学(一)填空3分,定义2,即,当极限不存在,时,称,反常积分,则称此极限为,仍然记为,如极限,存在,也称,反常积分,函数,反 常 积 分,二、无界函数的反常积分,(瑕积分),反常积分,收敛;,发散.,瑕点,(1),22,定义2即当极限不存在时,称反常积分则称此极限为仍然记为如极限,否则,则定义,如极限,存在,反 常 积 分,(2),瑕点,称,反常积分,发散.,23,否则,则定义如极限存在,反 常 积 分(2)瑕点,称反常积分,若等号右边两个反常积分,如果,则定义,否则,就称反常积分,发散.,都收敛,反 常 积 分,(3),瑕点,反常积分,注,如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分.,通常,用瑕点将区间分开,24,若等号右边两个反常积分如果则定义否则,就称反常积分发散.都收,例,计算反常积分,解,反 常 积 分,为,瑕点,这个反常积分值的,直线,x,=,0与,x,=,a,位于曲线,x,轴,之上,之间的图形面积.,几何意义,之下,25,例 计算反常积分解反 常 积 分为瑕点,这个反常积分值的,注,为了方便起见,反 常 积 分,由NL公式,则反常积分,规定:,26,注为了方便起见,反 常 积 分由NL公式,则反常积分规,例,计算反常积分,解,故原反常积分发散.,反 常 积 分,27,例 计算反常积分解故原反常积分发散.反 常 积 分27,证,反常积分收敛,其值为,反常积分发散.,反 常 积 分,例,证明反常积分,*,28,证反常积分收敛,其值为反常积分发散.反 常 积 分例,例,求,解,反 常 积 分,发散.,也发散.,注,错误的做法:,29,例 求解反 常 积 分发散.也发散.注错误的做法:29,例,解,注,此反常积分经变量代换化成了定积分.,反 常 积 分,30,例 解注此反常积分经变量代换化成了定积分.反 常 积 分,例,下面是,练习,发散,无穷区间,上,无界函数,的,反常积分,发散,发散.,发散.,反 常 积 分,31,例 下面是练习发散无穷区间上无界函数的反常积分发散,发散,例,解,试用分段函数表示,反 常 积 分,32,例 解试用分段函数表示反 常 积 分32,试用分段函数表示,反 常 积 分,33,试用分段函数表示反 常 积 分33,无界函数的,反常,积分(瑕积分),无穷限的反常积分,注意,反 常 积 分,三、小结,1.,不要与常义积分混淆;,2.,不能忽略内部的瑕点.,34,无界函数的反常积分(瑕积分)无穷限的反常积分注意 反 常 积,反 常 积 分,思考题1,(选择题),解答,恒等于常数.,35,反 常 积 分思考题1(选择题)解答恒等于常数.35,思考题2,积分 的瑕点是哪几点？,解答,积分,不是瑕点,的瑕点是,可能,的瑕点是,又,反 常 积 分,36,思考题2积分 的瑕点是哪几点？,作业,习题5-4(260页),1.(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9),反 常 积 分,37,作业习题5-4(260页)1.(1)(2)(3)(4),xiexie!,谢谢！,xiexie!谢谢！,
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