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9.16,分组分解法,9.16 分组分解法,整式乘法,(a+b)(m+n),=a(m+n)+b(m+n),=am+an+bm+bn,am+an+bm+bn,=a(m+n)+b(m+n),=(a+b)(m+n),定义：,这种把多项式分成几组来分解因式的方法,叫,分组分解法,。,注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。,因式分解,新知学习,整式乘法 (a+b)(m+n),【,注意,】,(,1,),把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效要有预见性,.,(,2,),分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单,.,(,3,),分组时要用到添括号法则，注意在添加带有,“,”,号的括号时，括号内每项的符号都要改变,.,(,4,),实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直接达到分解的目的,【注意】,方法,分类,分组方法,特点,分组分解法,四项,二项、二项,按字母分组按系数分组符合公式的两项分组,三项、一项,先完全平方公式后平方差公式,五项,三项、二项,各组之间有公因式,六项,三项、三项,二项、二项、二项,各组之间有公因式,三项、二项、一项,可化为二次三项式,方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项,典例讲析,例：因式分解：,解,:,原式,=,这个多项式的前两项用平方差公式分解后与后两项有公因式,(x+y),可继续分解,这也是分组分解法中常见的情形,.,典例讲析例：因式分解：解:原式=这个多项式的前两项,典例讲析,例：因式分解：,解,:,原式,=,如果把一个多项式分组后各组都能分解因式,且在各组分解后,各组之间又能继续分解因式,那么,这个多项式就可以用分组分解法分解因式,.,典例讲析例：因式分解：解:原式=如果把一个多项式分,例,把,a,2,-ab+ac-bc,分解因式,分析：,把这个多项式的前两项与后两项分成两组，分别提出公因式,a,与,c,后，另一个因式正好都是,a-b,，这样就可以提出公因式,a-b,。,解：,a,2,-ab+ac-bc,=(a,2,-ab)+(ac-bc),=a(a-b)+c(a-b),=(a-b)(a+c),分组,组内提公因式,提公因式,还有其他分组的方法吗？,解法二,：,a,2,-ab+ac-bc,=(a,2,+ac)-(ab+bc),=a(a+c)-b(a+c),=(a+c)(a-b),例 把 a2-ab+ac-bc 分解因式分析：把这个,例,把,2ax-10ay+5by-bx,分解因式,分析：把这个多项式的前两项与后两项分,成两组，然后从两组分别提出公因式,2a,与,-b,，,这时，另一个因式正好都是,x-5y,，这样全式就可以提出公因式,x-5y,。,例 把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析：,解,：,2ax-10ay+5by-bx,=(2ax-10ay)+(5by-bx,),=(2ax-10ay)+(-bx+5by,）,=2a(x-5y)-b(x-5y),=(x-5y)(2a-b),还有其他分组的方法吗？,解法二,：,2ax-10ay+5by-bx,=,(,2ax-bx,),+,(,5by-10ay,),=x,(,2a-b,),-5y,(,2a-b,),=,(,2a-b,)(,x-5y,),=,(,2ax-bx,),+,(,-10ay+5by,）,解：2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+,例,3,把,am+bm+an,cm+bn,cn,分解因式,.,分析：把这个多项式的含的项和含的项组合分成两组，或把这个多项式的含的项、含的项和含项分别组合分成三组，然后在组内提取公因式后再分解,.,例3 把am+bm+ancm+bncn分解因式.分析,解法一,：,am+bm+an-cm+bn-cn,=(am+bm-cm)+(an+bn-cn),=m(a+b-c)+n(a+b-c),=(a+b-c)(m+n),解法二,：,am+bm+an,cm+bn,cn,=(am+an)+(bm+bn),(cm+cn),=(m+n)(a+b,c),=a(m+n)+b(m+n),c(m+n),解法一：=(am+bm-cm)+(an+bn-cn)=m(a,在有公因式的前提下，按对应项系数成比例分组，或按对应项的次数成比例分组。,(1),分组；,(2),在各组内提公因式；,(3),在各组之间进行因式分解；,(4),直至完全分解。,分组规律：,分解步骤：,在有公因式的前提下，按对应项系数成比例分组，或按对应,把下列各式分解因式：,(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q),(3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n),解,：,原式,=20(x+y)+(x+y),=21(x+y),解,：,原式,=(p-q)+k(p-q),=(p-q)(1+k),解,：,原式,=5m(a+b)-(a+b),=(a+b)(5m-1),解,：,原式,=2(m-n)-4x(m-n),=2(m-n)(1-2x),把下列各式分解因式：(1)20(x+y)+x,(5),ax+,2,by+cx-,2,ay-bx-,2,cy,解,：,原式,=(2by-2ay-2cy)+(ax+cx-bx),=-2y(a-b+c)+x(a-b+c),=(a-b+c)(x-2y),还有其他分组的方法吗？,(5)ax+2by+cx-2ay-bx-2cy解：原,(6)x,2,-x,2,y+xy,2,-x+y-y,2,解,：,=(x,2,-y,2,)-(x,2,y-xy,2,)-(x-y),=(x-y)(x+y)-xy(x-y)-(x-y),=(x-y)(x+y-xy-1),=(x-y)(x-xy)+(y-1),=(x-y)x(1-y)-(1-y),=(x-y)(1-y)(x-1),应如何分组？要保证分组能再分解,.,(6)x2-x2y+xy2-x+y-y2解：=(x2-,由,b,2,+2ab=c,2,+2ac,得,b,2,+2ab+a,2,=c,2,+2ac,+a,2,即，（,a+b),2,=(a+c),2,因为,a,0,，,b,0,，,c,0,，,所以,a+b,0,，,a+c,0,所以,a+b=a+c,，得,b=c,所以,ABC,为等腰三角形,.,学科综合应用,已知,a,b,c,是,ABC,的三边长，（,1,）当,b,2,+2ab=c,2,+2ac,时，试判断,ABC,的形状；,（,2,）试判断多项式,a,2,-b,2,+c,2,-2ac,的值与,0,的大小关系，并说明理由,.,由,b,2,+2ab=c,2,+2ac,得,b,2,+2ab-c,2,-2ac=0,（,b,2,-c,2,)+(2ab-2ac)=0,(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,(b-c)(b+c+2a)=0,因为,a,0,，,b,0,，,c,0,所以,b+c+2a,0,所以,b-c=0,即,b=c,所以,ABC,为等腰三角形,.,解（,1,）,解法一：,解法二：,由b2+2ab=c2+2ac,学科综合应用,学科综合应用,已知,a,b,c,是,ABC,的三边长，（,1,）当,b,2,+2ab=c,2,+2ac,时，试判断,ABC,的形状；,（,2,）试判断多项式,a,2,-b,2,+c,2,-2ac,的值与,0,的大小关系，并说明理由,.,a,2,-b,2,+c,2,-2acc,，,b+ca,所以,(a+b)-c0,a-(b+c)0,所以,(a+b)-ca-(b+c)0,即，,a,2,-b,2,+c,2,-2ac0,co,a+4c0,，,a-b=0,即,a=b,，,所以,ABC,为等腰三角形,.,=0,已知a,b,c为ABC中A、B、C的对边,练习：已知,a,2,+b,2,-6a+2b+10=0,求,a,b,的值,.,若,则,解,:,a,2,+b,2,-6a+2b+10=0,a,2,-6a+9+b,2,+2b+1=0,(,a-3),2,+(b+1),2,=0,a=3,b=-1,练习：已知a2+b2-6a+2b+10=0,求a,b的值.若,1,练 习,把下列各式分解因式：,2,3,1练 习把下列各式分解因式：23,练 习,把下列各式分解因式：,4,5,6,练 习把下列各式分解因式：456,练 习,把下列各式分解因式：,8,7,9.x,2,-y,2,+ax+ay,(x+y)(x-y+a),练 习把下列各式分解因式：879.x2-y2,练 习,把下列各式分解因式：,10,.,(z,2,-x,2,-y,2,),2,-4x,2,y,2,练 习把下列各式分解因式：10.(z2-x2-y,13,14,练 习,把下列各式分解因式：,15,3,x,2,11,x,10,3,x,2,11,x,10,1314练 习把下列各式分解因式：153x,练 习,把下列各式分解因式：,16,17,练 习把下列各式分解因式：1617,
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