离散型随机变量的数学期望

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,学习目标,1,了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望,理解期望公式，以及“若,服从,B,（,n,p,），则,E=np.,能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望,1,、什么叫,n,次独立重复试验？,一,.,复习,一般地，由,n,次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即,A,与，每次试验中,P(,A,),p,0,。称这样的试验为,n,次独立重复试验,，也称,伯努利试验。,2,、什么叫二项分布？,0,1,k,n,P,C,n,0,p,0,q,n,C,n,1,p,1,q,n-1,C,n,k,p,k,q,n-k,C,n,n,p,n,q,0,若,X,B(n,，,p),一般地，设离散型随机变量,可能取的值为,x,1,，,x,2,，,，,x,i,，,，,取每一个值,x,i,(i,1,，,2,，,),的概率,P(,x,i,),p,i,，则称下表,为随机变量,的,概率分布，,由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：,(,1)p,i,0,，,i,1,，,2,，,；,(,2)p,1,p,2,1,3,、离散型随机变量的概率分布,x,1,x,2,x,i,P,p,1,p,2,p,i,二,.,问题,1,、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产,100,件产品所出的不合格品数分别用,X,1,，,X,2,表示，,X,1,，,X,2,的概率分布下,：,X,1,0,1,2,3,p,k,0.7,0.1,0.1,0.1,X,2,0,1,2,3,p,k,0.5,0.3,0.2,0,如何比较甲、乙两个工人的技术？,对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律,.,但在实际应用中，我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有,期望与方差,.,1,、数学期望的定义和计算公式,若离散型随机变量,X,的分布列为：,X,x,1,x,2,x,i,x,n,P,p,1,p,2,p,i,p,n,则称：,EX=x,1,p,1,+x,2,p,2,+x,i,p,i,+x,n,p,n,为随机变量,X,的,均值,或,数学期望,。,它反映了,离散型随机变量取值的平均水平,。,三、讲授新课,E(X,1,),00.7,10.1,20.1,30.1,0.6,E(X,2,),00.5,10.3,20.2,30,0.7,对于问题,1,由于,E(X,1,),E(X,2,),，即甲工人生产出废品数的均值小，从这个意义上讲，甲的技术比乙的技术好。,问题,1,、,甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产,100,件产品所出的不合格品数分别用,X1,，,X2,表示，,X1,，,X2,的概率分布下,：,X,1,0,1,2,3,p,k,0.7,0.1,0.1,0.1,X,2,0,1,2,3,p,k,0.5,0.3,0.2,0,如何比较甲、乙两个工人的技术？,例,1,假如你 是一位商场经理，在五一那天,想举行促销活动，根据统计资料显示，若,在商场内举行促销活动，可获利,2,万元；若,在商场外举行促销活动，则要看天气情况,:,不下雨可获利,10,万元，下雨则要损失,4,万,元。气象台预报五一那天有雨的概率是,40%,，,你应选择哪种促销方式？,解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效,益为 万元，则 的分布列为,0.4,0.6,P,4,10,E =100.6,(,4)0.4=4.4,万元,2,万元,故应选择在商场外搞促销活动。,1,、随机变量,的分布列是,1,3,5,P,0.5,0.3,0.2,(1),则,E=,.,2,、随机变量,的分布列是,2.4,4,7,9,10,P,0.3,a,b,0.2,E=7.5,则,a,=,b,=,.,0.4,0.1,变式,例,2,在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为,0.7,，那么他罚球一次得分设为,X,，,X,的均值是多少？,解：该随机变量,X,服从两点分布,:,P(X=1)=0.7,、,P(X=0)=0.3,所以：,EX=1P(X=1)+0P(X=0)=0.7,X,0,1,p,0.3,0.7,如果随机变量,X,服从两点分布，,那么,EX=p,1,0,p,p,1-p,2,、两点分布的期望公式,E,=0C,n,0,p,0,q,n,+1C,n,1,p,1,q,n-1,+2C,n,2,p,2,q,n-2,+,+,k,C,n,k,p,k,q,n-k,+,n,C,n,n,p,n,q,0,P,(=,k,)=C,n,k,p,k,q,n-k,证明：,=,np,(C,n-1,0,p,0,q,n-1,+C,n-1,1,p,1,q,n-2,+,C,n-1,k-1,p,k-1,q,(n-1)-(k-1),+C,n-1,n-1,p,n-1,q,0,),=,np,(,p,+,q,),n-1,=,np,0,1,k,n,P,C,n,0,p,0,q,n,C,n,1,p,1,q,n-1,C,n,k,p,k,q,n-k,C,n,n,p,n,q,0,(,k,C,n,k,=,n,C,n-1,k-1,),探究,：若,B,(,n,，,p,),，则,E,=,若,X,B(n,，,p),，则,EX=n p,3,、二项分布的期望公式,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是,90,分,例,3,.,一次单元测验由,20,个选择题构成,每个选择题有,4,个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得,5,分,不选或选错不得分,满分,100,分,.,学生甲选对任一题的概率为,0.9,学生乙则在测验中对每题都从,4,个选项中随机地选择一个,.,求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值,.,解,:,设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是,和,则,B(20,0.9),B(20,0.25),，,所以,E,200.9,18,，,E,200.25,5,由于答对每题得,5,分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是,5,和,5.,这样，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5),5E,518,90,，,E(5),5E,55,25,思考,:,学生甲在这次测试中的成绩一定会是,90,分吗,?,他的均值为,90,分的含义是什么,?,变式,有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现,1,，你赢,8,元；出现,2,或,3,或,4,，你输,3,元；出现,5,或,6,，不输不赢这场,赌博,对你是否有利,?,对你不利,!,劝君莫参加赌博,.,E=,例,4,:,（,2009,上海）,某学校要从,5,名男生和,2,名女生中选出,2,人作为上海世博会志愿者，若用随机变量,x,表示选出的志愿者中女生的人数，则,x,的数学期望是,（结果用最简分数表示）,4,、超几何分布的期望公式,变式,一个袋子里装有大小相同的,5,个白球,5,个黑球，从中任取,4,个，求其中所含白球个数的期望。,E(X)=2,课堂总结,（,1,）、,EX,表示,X,所表示的随机变量的均值；,EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn,为随机变量,X,的,均值,或,数学期望,。,（,2,）、两点分布：,EX=p,（,3,）、二项分布：,EX=n p,（,4,）、超几何分布,（,5,）、求数学期望时：,已知是两点分布，二项分布或超几何分布时，直接代用公式；,其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。,课后练习,课本,64,页练习,A 1,、,2,、,3,、,6,练习,B 1.2,自学教材例,1,、例,2,、例,3.,作业：练习,A 2,