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实验10 周期信号的合成与分解,一、实验目的,二、实验原理,三、涉及的MATLAB函数,四、实验内容与方法,五、实验要求,六、思考题,一、实验目的(1)在理论学习的根底上，通过本实验熟悉信号的合成、分解原理，加深对傅里叶级数的理解;(2)了解和认识吉布斯现象(Gibbs)。二、实验原理任何具有确定性的信号都可以表示为随时间变化的某种物理量，比方电压u(t)和电流i(t)等。信号主要表现在随着时间t的变化，波形幅值的大小、持续时间的长短、变化速率的快慢、波动的速度及重复周期的大小的变化等。信号的这一特性称为信号的时间特性。,信号还可以分解为一个直流分量和许多不同频率的正弦分量之和。主要表现在各频率正弦分量所占比重的大小不同，主要频率分量所占有的频率范围也不同等，信号的这一特性称为信号的频率特性。无论是信号的时间特性，还是信号的频率特性，都包含了信号的全部信息量。根据周期信号的傅里叶级数展开式可知，任何非正弦周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为一直流分量和由基涉及各次谐波(基波的整数倍)分量的叠加。,例如一个周期的方波信号f(t)可以分解为如下形式：f(t)=如图10.1(a)所示。同样，由基涉及各次谐波分量也可以叠加出来一个周期方波信号，如图10.1(b)所示。至于叠加出来的信号与原信号的误差，那么取决于傅里叶级数的项数。,图 10.1 方波信号的分解与合成,(a)方波信号的分解;(b)方波信号的合成,根据傅里叶级数的原理，任何周期信号都可以用一组三角函数 sin(2,nf,0,t,)，cos(2,nf,0,t,)的组合表示。在误差确定的前提下，任意的一个周期函数都可以用一组三角函数的有限项叠加而得到，同样也可以用一组正弦波和余弦波来合成任意形状的周期信号。合成波形所包含的谐波分量愈多，除间断点附近外，它愈接近于原方波信号，在间断点附近，随着所含谐波次数的增高，合成波形的尖峰愈靠近间断点，但尖峰幅度并未明显减小，可以证明，即使合成波形所含谐波次数,n,时，在间断点附近仍有约9%的偏差，这种现象称为吉布斯现象(Gibbs)。,三、涉及的MATLAB函数,略,四、实验内容,1.验证性实验,1)周期信号的分解MATLAB程序：clf;%周期信号的分解t=0：0.01：2*pi;y=zeros(10，max(size(t);x=zeros(10，max(size(t);for k=1：2：9,x1=sin(k*t)/k;x(k，：)=x(k，：)+x1;,y(k+1)/2,，：,)=x(k,，：,);endsubplot(2,，,1,，,1);plot(t,，,y(1,：,9,，：,);grid;line(,0,，,pi+0.5,，,pi/4,，,pi/4,);text(pi+0.5,，,pi/4,，,pi/4);halft=ceil(length(t)/2);subplot(2，1，2);mesh(t(1：halft)，1：10，y(：，1：halft);周期信号的分解如图10.2所示。,图 10.2 周期信号的分解,2)傅里叶级数逼近MATLAB程序：clf;%宽度为1，高度为1，周期为2的正方波，傅里叶级数逼近 t=-2：0.001：2;%信号的抽样点N=20;c0=0.5;f1=c0*ones(1，length(t);%计算抽样上的直流分量for n=1：N%偶次谐波为零 f1=f1+cos(pi*n*t)*sinc(n/2);endplot(t，f1);axis(-2 2-0.2 0.8);方波的傅里叶级数逼近如图10.3所示。,图 10.3 方波的傅里叶级数逼近,3)用正弦信号的叠加近似合成一频率为50 Hz，幅值为3的方波MATLAB程序：clear all;fs=10000;t=0：1/fs：0.1;f0=50;sum=0;subplot(211)for n=1：2：9;,plot(t，4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t)，k);title(信号叠加前);hold on;endsubplot(212)for n=1：2：9;sum=sum+4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t);endplot(t，sum，k);title(信号叠加后);正弦信号的叠加如图10.4所示。,图 10.4 正弦信号的叠加,4)Gibbs现象执行以下程序，令N分别为10，20，30，40，50，观察波形的特点，了解吉布斯现象的特点。MATLAB程序：t=-1.5：0.01：1.5;wo=4，E=1;N=10;xN=0;for n=1：N,an=(E/(n*pi)*(sin(n*pi/2)-sin(n*3*pi/2)xN=xN+an.*cos(n*wo*t);endsubplot(221);plot(t，xN)xlabel(time);ylabel(approximation N);axis(-2 2-0.7 0.7);,2.程序设计实验,方波的合成实验。方波信号可以分解为,x,(,t,)=sin(2,nf,0,t,),n,=1，3，5，用前5项谐波近似合成一频率为50 Hz，幅值为3的方波，写出相应MATLAB程序并给出结果。,五、实验报告要求简述实验目的及原理，按实验步骤附上相应的信号波形曲线，总结实验得出的主要结论。六、思考题(1)设计一个三角波合成实验，写出实验步骤。(2)傅里叶级数分解有三种形式，请以另外两种形式重复上述实验，并比较实验结果。(3)假设周期函数为奇谐波函数，重复上述实验，比较实验结果。,
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