离散数学第08章 环和域

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,人民邮电出版社,高等学校21世纪教材,第八章 环 和 域,8.1 环,8.2 子环与理想,8.3 环同态与环同构,8.4 域,8.5 有限域,退出,8.1 环,给定，其中+和都是二元运算，假设是Abel群，是半群，对于+是可分配的，那么称是环。,为了方便，通常将+称为加法，将称为乘法，把称为加法群，称为乘法半群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。,环的加法群的幺元或加法零元称为环的零元，以0示之。假设aR，那么其加法逆元以-a表之。,常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。,给定环，假设是可交换半群，那么称是可交换环；假设是独异点，那么称是含幺环；假设满足等幂律，那么称是布尔环。,通常用1表示的幺元。在中，假设aR的逆元存在，那么以a-1表示其乘法逆元。,是环,(,a,)(,a,R,a,0=0,a,=0),下面讨论加法逆元的性质，为方便记，,a,+(-,b,)表成,a,-,b,。,是环,(,a,)(,b,)(,a,，,b,R,-(,a,b,)=,a,(-,b,)=(-,a,),b,同理 -(ab)=(-a)b,推论1 (a)(b)(a，bR(-a)(-b)=ab),推论2 (a)(b)(c)(a，b，cR(a(b-c)=ab-ac)(b-c)a=ba-ca),由定理8.1.1可知，环中任二元素相乘，假设其中至少有一个为零元，那么乘积必为零元。但反之未必真，这是因为在环中，两个非零元的乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。,给定环，那么环中有零因子:=(a)(b)(a，bRa0b0ab=0),并称该环为含零因子环，a和b是零因子。,注意，零因子其自身非零也。,给定环，那么为无零因子环满足可约律。,给定可交换含幺环，假设无零因子，那么称为整环。,由定义8.1.3知道，环中可约律与无零因子是等价的，因此整环是无零因子可交换含幺环或者说是满足可约律可交换含幺环。,下面再给出一个定理以结束本节。,给定含幺环且R0，那么|R|2。,8.2 子环与理想,与讨论群与子群一样，对于环也要讨论子环。,给定环和非空集合SR，假设是的子群，是的子半群，那么称是的子环。,这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡子群和真子群类似。,由环的定义知道，假设为群的子群，是的子半群，在R上乘法对于加法分配律成立，那么是的子环。显然由于SR而分配律、结合律在R中成立。那么在S中亦成立。于是，子环可定义如下：,假设(1)SR,(2)是的子群,(3)S对满足封闭性,那么为的子环。,由此及上节定理7.6.3：是的子群的充要条件是对任意a，bS那么ab-1S，便可得到下面定理。,给定环及SR，那么是的子环(a)(b)(a，bSa-bSabS),本定理说明为的子环的主要条件是S对减法运算封闭和S对乘法运算封闭。,由此看出，含幺环的子环未必也含幺元，因为是含幺元1的环，其子环不再含乘法幺元。,下面引进一种特殊的子环，称之为理想，理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。,设为的子环，假设对于T中任何元t和R中任何元a，有atT且taT，那么称为环的理想。,显然，假设是可交换环，atS或taS只要其一即可。,由定义可知，假设为理想，那么R中任二元素相乘时，假设至少有一个元素属于T，那么乘积必属于T。,当是环的子环时，要求S对于乘法运算封闭；而当是环的理想时，要求更强的封闭性，即T对于乘上R中任一元素的运算封闭。,注意到子环与理想的定义，不难证明如下定理：,给定环及TR，那么为环的理想(t)(t1)(a)(t，t1TaR(t-t1)T,taTatT),令是环之理想，假设在T中存在元g，使得T=Rg，其中Rg=ag|aR，那么称为环的主理想。并称g为的生成元或说由g生成，常常用(g)表示T。,对于环来说，它有个有趣的性质即它的所有理想均为主理想。因此有下面待证定理。,设为环之理想，那么存在iI+，使得L=(i)。即的每个理想皆为主理想。,对于任一环的理想，读者不难证明下面定理：,假设与同为环之理想，那么亦为环之理想。,假设为含幺环之任一真理想，那么T中任一元素均无乘法逆元。,现在用R/T表示群中T的所有不同陪集的簇。首先定义R/T中的加法如下：,(a+T)(b+T)=(a+b)+T,那么是Abel群。,其次定义R/T中的乘法如下：,(a+T)(b+T)=(ab)+T,那么是半群。,假设是环的理想，那么是商环。,.环同态与环同构,给定环与，那么环环:=(f)(fSR(a)(b)(a，bR(f(a+b)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)称f为从环到环的环同态映射。,又假设f为双射，那么环环，此时称f为从到的环同构映射。,不难看出，环同态意味着群同态与半群同态，而且f还能保持可分配性，即对任意a，b，cR，那么,f(a(b+c)=f(a)f(b+c),=f(a)(f(b)f(c),=(f(a)f(b)(f(a)f(c),假设f为从环到环的环同态映射，0S为环的零元，那么集合Kf=k|f(k)=0SkR，称为环同态映射f的核。,关于环同态、环同构有群同态、群同构类似的定理，今仅表达如下而其证明留给读者。,假设f为从环到环的环同态映射，且0R，0S，1R，1S分别为两个环的零元和幺元，那么,(1)f(0R)=0S,(2)f(-a)=-f(a),(3)是的子环,(4)是的子环,(5)f为单射Kf=0R,又假设f为双射，即f为环同构映射，那么,(6)f(1R)=1S,(7)假设aR有乘法逆元a-1，f(a-1)=f(a)-1。,此外，由(2)可证环同态映射保持减法运算，因为对任意a，bR，f(a-b)=f(a+(-b)=f(a)f(-b)=f(a)(-f(b)=f(a)-f(b),下面定理揭示了环同态映射的核有理想结构。,假设f为从环到环的环同态映射，那么为之理想。,8.4 域,对于环施加进一步限制，即是可交换群，便得到另外一个代数结构域。,给定可交换环，假设为群，那么称为域。,下面定理证明了域中无零因子，因而域中可约律成立。,为域(a)(b)(a，bFab=0(a=0b=0),设是无零因子环，假设1是域。,该定理说明了，元素大于1的有限无零因子环是域。,设是域，RK，且是交换环，,F=|a,bRb0，那么是交换域，且RF。并称F是包含R的商域，简称F是R的商域。,由定理证明可得出：只要R能够嵌入一域中，那么R的商域F必存在，并且商域F的构造完全由R 确定。因此，R的商域都同构，进而可知同构环的商域也是同构的。任一域K假设包含R，也就包含R的商域F，因此，F是包含R的最小域。如有理数域Q是整数环Z的商域，它包含Z的最小域。,给定环，那么为域n为素数。,域与其理想之间有着很有趣的关系。,给定可交换含幺环，那么为域不具有真理想。,8.5 有限域,给定域，假设|F|是有限域，或伽罗瓦(Galois)域。,根据8.4节中定理8.4.4可知，当p是素数时，是有限域，并记为GF(p)。,GF(p)说明了，假设p是素数时，那么F=0,1,2,p-1在mod p的意义下关于加法+和乘法构成域。,设是域，EF。假设对任意a,bE，有a-bE，且当b0时有ab-1E，那么称是域的子域，称是域的扩张。也简称E是F的子域，F是E的扩张。假设是域，且F=E，那么F是E的单扩张，并记为F=E()，称是F关于E的本原元素。,假设一域除自身外不再包含其他子域，或只有自身做子域的域，称它为素域。,例如，实数域R中的在理数域Q是素域，是素域。,任何域包含一个且仅一个素域,设是域，e是其单位元。假设e的任意倍均异于0，那么称该域的特征数是0；假设e的某素数p倍是0，称该域特征数是p。,从上面讨论可得出：,设素域的特征数是p，那么；假设特征数是0，那么。,注意域与其子域的单位元是一致的，可见域与其子域的特征数是相同的。,设是域，n是整数，对任意非零元aF，假设特征数是0，那么na=o iff n=0；假设特征数是p，那么na=0 iff n0(mod p)。,由定理可知，特征数是单位元的性质，也是域中任意元的公共性质。,设是有限域，其素域，|F|=q，那么特征数p0，且q=pn，其中n是F关于E的底之元数。,设是域，|F|=q，那么F的元是由多项式xq-x的根所组成。,元数相等的有限域是同构的。在同构意义下，只有唯一的元素是pn的有限域，其中p为素数。该有限域表为GF(pn)。,