【人教A版】2020年高考数学一轮ppt课件：第七章-第6节-第2课时-利用空间向量求夹角和距离(距离供选用)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019-1-27,#,1,第,2,课时利用空间向量求夹角和距离,(,距离供选用,),第2课时利用空间向量求夹角和距离(距离供选用),考点一用空间向量求异面直线所成的角,【例,1,】,(1),(,一题多解,)(2017,全国,卷,),已知直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,ABC,120,，,AB,2,，,BC,CC,1,1,，则异面直线,AB,1,与,BC,1,所成角的余弦值为,(,),考点一用空间向量求异面直线所成的角【例1】(1)(一题多,解析,(1),法一,以,B,为原点，建立如图,(1),所示的空间直角坐标系,.,图,(1),解析(1)法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐,则,B,(0,，,0,，,0),，,B,1,(0,，,0,，,1),，,C,1,(1,，,0,，,1).,则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).,法二,将直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,补形成直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,(,如图,(2),，连接,AD,1,，,B,1,D,1,，则,AD,1,BC,1,.,图,(2),法二将直三棱柱ABCA1B1C1补形成直四棱柱ABCD,【人教A版】2020年高考数学一轮ppt课件：第七章-第6节-第2课时-利用空间向量求夹角和距离(距离供选用),法二,如图，取,BC,的中点,O,，连接,OP,，,OA,，因为,ABC,和,PBC,均为等边三角形，所以,AO,BC,，,PO,BC,，所以,BC,平面,PAO,，即平面,PAO,平面,ABC,.,且,POA,就是其二面角,P,BC,A,的平面角，即,POA,120,，建立空间直角坐标系如图所示,.,法二如图，取BC的中点O，连接OP，OA，因为ABC和,法三,如图所示，取,BC,的中点,O,，连接,OP,，,OA,，,因为,ABC,和,PBC,是全等的等边三角形，所以,AO,BC,，,PO,BC,，所以,POA,就是二面角的平面角，,答案,(1)C,(2)A,法三如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，答案(1),【人教A版】2020年高考数学一轮ppt课件：第七章-第6节-第2课时-利用空间向量求夹角和距离(距离供选用),【人教A版】2020年高考数学一轮ppt课件：第七章-第6节-第2课时-利用空间向量求夹角和距离(距离供选用),解析法一,如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接,AC,1,，,CB,1,，,C,1,B,，易得,MN,AC,1,，,EF,CB,1,C,1,B,，,那么,AC,1,B,或,AC,1,B,的补角即直线,MN,与,EF,所成的角,.,解析法一如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱,法二,如图，连接,AC,1,，,C,1,B,，,CB,1,，,设,C,1,B,，,CB,1,交于点,O,，取,AB,的中点,D,，连接,CD,，,OD,，,则,MN,AC,1,OD,，,EF,CB,1,，,那么,DOC,或其补角即直线,MN,与,EF,所成的角,.,法二如图，连接AC1，C1B，CB1，,法三,取,AB,的中点,O,，连接,CO,，则,CO,AB,，以,O,为坐标原点，,OB,所在直线为,x,轴，,OC,所在直线为,y,轴，过点,O,且平行于,CC,1,的直线为,z,轴建立如图所示的空间直角坐标系,.,答案,C,法三取AB的中点O，连接CO，则COAB，以O为坐标原点,考点二用空间向量求线面角,(1),证明：,PO,平面,ABC,；,(2),若点,M,在棱,BC,上，且二面角,M,PA,C,为,30,，求,PC,与平面,PAM,所成角的正弦值,.,考点二用空间向量求线面角(1)证明：PO平面ABC；,所以,AB,2,BC,2,AC,2,，,所以,ABC,为等腰直角三角形，,由,OP,2,OB,2,PB,2,知,PO,OB,.,由,OP,OB,，,OP,AC,且,OB,AC,O,，知,PO,平面,ABC,.,所以AB2BC2AC2，由OP2OB2PB2知PO,设平面,PAM,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,).,设平面PAM的法向量为n(x，y，z).,【人教A版】2020年高考数学一轮ppt课件：第七章-第6节-第2课时-利用空间向量求夹角和距离(距离供选用),规律方法,利用向量法求线面角的方法：,(1),分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角,(,或其补角,),；,(2),通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角,.,规律方法利用向量法求线面角的方法：,(1),求证：平面,BDEF,平面,ADE,；,(2),若,ED,BD,，求直线,AF,与平面,AEC,所成角的正弦值,.,(1)求证：平面BDEF平面ADE；,从而,BD,2,AD,2,AB,2,，故,BD,AD,，,因为,DE,平面,ABCD,，,BD,平面,ABCD,，所以,DE,BD,.,又,AD,DE,D,，所以,BD,平面,ADE,.,因为,BD,平面,BDEF,，所以平面,BDEF,平面,ADE,.,从而BD2AD2AB2，故BDAD，因为DE平面AB,所以可以点,D,为坐标原点，,DA,，,DB,，,DE,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，如图所示,.,所以可以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，,设平面,AEC,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，,考点三用空间向量求二面角,【例,3,】,(2019,北京海淀区模拟,),如图,1,，在高为,6,的等腰梯形,ABCD,中，,AB,CD,，且,CD,6,，,AB,12,，将它沿对称轴,OO,1,折起，使平面,ADO,1,O,平面,BCO,1,O,，如图,2,，点,P,为,BC,的中点，点,E,在线段,AB,上,(,不同于,A,，,B,两点,),，连接,OE,并延长至点,Q,，使,AQ,OB,.,考点三用空间向量求二面角,(1),(,一题多解,),证明：,OD,平面,PAQ,；,(2),若,BE,2,AE,，求二面角,C,BQ,A,的余弦值,.,(1),证明法一,取,OO,1,的中点,F,，连接,AF,，,PF,，如图所示,.,P,为,BC,的中点，,PF,OB,，,AQ,OB,，,PF,AQ,，,P,，,F,，,A,，,Q,四点共面,.,由题图,1,可知,OB,OO,1,，,平面,ADO,1,O,平面,BCO,1,O,，且平面,ADO,1,O,平面,BCO,1,O,OO,1,，,OB,平面,BCO,1,O,，,OB,平面,ADO,1,O,，,PF,平面,ADO,1,O,，,(1)(一题多解)证明：OD平面PAQ；(1)证明法一,又,OD,平面,ADO,1,O,，,PF,OD,.,由题意知，,AO,OO,1,，,OF,O,1,D,，,AOF,OO,1,D,，,AOF,OO,1,D,，,FAO,DOO,1,，,FAO,AOD,DOO,1,AOD,90,，,AF,OD,.,AF,PF,F,，且,AF,平面,PAQ,，,PF,平面,PAQ,，,OD,平面,PAQ,.,又OD平面ADO1O，PFOD.,法二,由题设知,OA,，,OB,，,OO,1,两两垂直，,以,O,为坐标原点，,OA,，,OB,，,OO,1,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立如图所示的空间直角坐标系，,设,AQ,的长为,m,，则,O,(0,，,0,，,0),，,A,(6,，,0,，,0),，,B,(0,，,6,，,0),，,C,(0,，,3,，,6),，,D,(3,，,0,，,6),，,Q,(6,，,m,，,0).,OD,平面,PAQ,.,法二由题设知OA，OB，OO1两两垂直，以O为坐标原点，,设平面,CBQ,的法向量为,n,1,(,x,，,y,，,z,),，,令,z,1,，则,y,2,，,x,1,，,n,1,(1,，,2,，,1).,易得平面,ABQ,的一个法向量为,n,2,(0,，,0,，,1).,设二面角,C,BQ,A,的大小为,，由图可知，,为锐角，,设平面CBQ的法向量为n1(x，y，z)，令z1，则y,规律方法,利用空间向量计算二面角大小的常用方法：,(1),找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小,.,(2),找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小,.,规律方法利用空间向量计算二面角大小的常用方法：,【训练,3,】,(2018,安徽六校第二次联考,),如图，在四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,CD,，,AB,BC,CC,1,2,CD,，,E,为线段,AB,的中点，,F,是线段,DD,1,上的动点,.,(1),求证：,EF,平面,BCC,1,B,1,；,(2),(,一题多解,),若,BCD,C,1,CD,60,，且平面,D,1,C,1,CD,平面,ABCD,，求平面,BCC,1,B,1,与平面,DC,1,B,1,所成角,(,锐角,),的余弦值,.,【训练3】(2018安徽六校第二次联考)如图，在四棱柱A,(1),证明,如图,(1),，连接,DE,，,D,1,E,.,AB,CD,，,AB,2,CD,，,E,是,AB,的中点，,BE,CD,，,BE,CD,，,四边形,BCDE,是平行四边形，,DE,BC,.,又,DE,平面,BCC,1,B,1,，,BC,平面,BCC,1,B,1,，,DE,平面,BCC,1,B,1,.,图,(1),DD,1,CC,1,，,DD,1,平面,BCC,1,B,1,，,CC,1,平面,BCC,1,B,1,，,D,1,D,平面,BCC,1,B,1,.,又,D,1,D,DE,D,，,平面,DED,1,平面,BCC,1,B,1,.,EF,平面,DED,1,，,EF,平面,BCC,1,B,1,.,(1)证明如图(1)，连接DE，D1E.图(1)DD1,(2),解,如图,(1),，连接,BD,.,设,CD,1,，则,AB,BC,CC,1,2.,CD,2,BD,2,BC,2,，,BD,CD,.,同理可得，,C,1,D,CD,.,法一,平面,D,1,C,1,CD,平面,ABCD,，平面,D,1,C,1,CD,平面,ABCD,CD,，,C,1,D,平面,D,1,C,1,CD,，,C,1,D,平面,ABCD,，,BC,平面,ABCD,，,C,1,D,BC,，,C,1,D,B,1,C,1,.,在平面,ABCD,中，过点,D,作,DH,BC,，垂足为,H,，连接,C,1,H,，如图,(1).,(2)解如图(1)，连接BD.CD2BD2BC2，,C,1,D,DH,D,，,BC,平面,C,1,DH,.,C,1,H,平面,C,1,DH,，,BC,C,1,H,，,B,1,C,1,C,1,H,，,DC,1,H,为平面,BCC,1,B,1,与平面,DC,1,B,1,所成的角,.,C1DDHD，BC平面C1DH.,图,(2),设平面,BCC,1,B,1,的法向量为,n,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，,取,z,1,1,，则,y,1,，,x,1,1,，,图(2)设平面BCC1B1的法向量为n1(x1，y1，z1,设平面,DC,1,B,1,的法向量为,n,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,).,设平面,BCC,1,B,1,与平面,DC,1,B,1,所成的锐二面角的大小为,，,设平面DC1B1的法向量为n2(x2，y2，z2).设平面,考点四用空间向量求空间距离,(,供选用,),解,设,CD,的中点为,E,，连接,ME,，,BE,，,