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,出版社 建筑分社,自动化专业系列教材,*,1,画法几何与阴影透视,第,6,章,曲线与曲面的投影,6.1,曲线的投影及其应用举例,6.1.1,曲线的形成：,曲线可以看成是一下三种方式形成：,不断改变方向的点的连续运动的轨迹，如图,6.1,（,a,）；,曲面与曲面或曲面与平面相交的交线，如图,6.1,（,b,）；,直线族或曲线族的包络线，如图,6.1,（,c,）。,1 第 6 章 曲线与曲面的投影 6.1 曲线,画法几何与阴影透视,6.1.2,曲线的,分类,根据点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线和不规则曲线。规则曲线一般由可以列出其代数方程，且为单参数方程，如圆、椭圆、双曲线、抛物线、渐伸线、螺旋线等等。,根据曲线上各点的所属性，可以分成两类：,（,1,）平面曲线：曲线上所有的点都属于同一平面的称为平面曲线。如圆、椭圆、双曲线、抛物线等。,（,2,）空间曲线：曲线上任意连续四个点不属于同一平面的称为空间曲线。如圆柱正螺旋线等。,6.1.2 曲线的分类 根据点的运,画法几何与阴影透视,6.1.3,曲线的,投影,（,1,）曲线投影的性质：,曲线的投影一般仍为曲线。在特殊情况下，当平面曲线所在的平面垂直于某投影面时，它在该投影面上的投影仍为直线；,曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切；,二次曲线的投影一般仍为二次曲线，如圆和椭圆的投影一般为椭圆。,6.1.3 曲线的投影 （1）曲线,c,d,o,o,a,（,b,）,b,a,c,d,o,1,V,H,X,O,A,D,B,C,P,o,a,b,c,d,d,c,a,（,b,）,1,2,2,1,1,1,1,（,2,）,X,a,1,b,1,c,1,d,1,例,1,投影面垂直面上圆的投影,正垂面上圆的投影示意图,正垂面上圆的投影图,（,2,）圆的投影：,画法几何与阴影透视,cdooa（b）bacdo1VHXOADBCPoa,6.1.4,圆柱螺旋线的投影,（,1,）,圆柱螺旋线的形成,当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转,时，,动点的轨迹就是一根,圆柱螺旋线,。,（,2,）圆柱螺旋线的画法,画法几何与阴影透视,6.1.4 圆柱螺旋线的投影（1）圆柱螺旋线的形成,（,2,）圆柱螺旋线的画法,画法几何与阴影透视,（2）圆柱螺旋线的画法,（,3,）螺旋线的展开,螺旋线展开后成为一直角三角形的斜边，它的两条直角边的长度分别为,D,和,S,。,画法几何与阴影透视,（3）螺旋线的展开 螺旋线展开后成为一直角三角形,6.2,曲面的投影及其应用举例,（,1,）、曲面的形成,曲面,可视为一条动线在空间运动的轨迹。,母线,形成曲面的动线，曲线或直线。,导点、导线、导面,控制母线运动规律的点、线、面。导线可以是 直线或曲线。导面可以是平面或曲面。,素线,母线在曲面的任一位置。,（,2,）、曲面的分类,母线作规则运动形成规则曲面，作不规则运动形成不规则曲面。,旋转曲面,非旋转曲面,直线面,曲线面,可展曲面（如圆柱面、圆锥面）,不可展曲面（如单叶双曲面）,不可展曲面（如圆球面）,曲面,直线面,可展曲面（如柱面、锥面）,不可展曲面（如双曲抛物面）,曲线面,不可展曲面（如自由曲面）,画法几何与阴影透视,6.2 曲面的投影及其应用举例（1）、曲面的形成旋转曲面非,6.2.1,基本曲面的投影,（,1,）直线迴转曲面,、,定义,直母线绕轴线旋转而成的曲面称为直线旋转面。,、,形成,直母线绕轴线（平行、相交、交叉）旋转而成。,纬圆,母线上各点旋转的轨迹圆。,颈圆,母线上到轴线距离最近的点形成的纬圆。,顶圆,母线上最高点形成的纬圆。,底圆,母线上最低点形成的纬圆。,、,投影作图,单叶双曲回转面,形成,单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转,一周,而形成,的,。也可由双曲线绕其虚轴,旋转而成。,画法几何与阴影透视,6.2.1 基本曲面的投影（1）直线迴转曲面,直母线,AB,绕,平行,的轴线,OO,旋转形成,圆柱面,直母线,SA,绕,相交,的轴线,SO,旋转形成,圆锥面,直母线,AB,绕,交叉,的轴线,OO,旋转形成,单叶双曲面,A,B,O,O,O,A,S,A,B,O,O,画法几何与阴影透视,直母线AB绕平行的轴线OO旋转形成圆柱面直母线SA绕相交的轴,、定义,曲母线绕轴线旋转而成的曲面称为曲线旋转面。,、形成,若任意平面曲线绕同一平面的铅垂轴旋转，形成曲线旋转面。常见的有圆球、圆环（将在曲面立体在讲述）。,颈圆,比相邻两侧纬圆都小的纬圆。赤道圆,比相邻两侧纬圆都大的纬圆。,、旋转面的特性,（,a,）纬圆垂直于旋转面的轴线,（,b,）过轴线的平面与旋转面相交的两条素线与其对称，且相交所得的两半曲面相等且关于截平面对称。,（,2,）曲线旋转面,画法几何与阴影透视,、定义（2）曲线旋转面,6.2.2,非回转直线曲面,（,1,）柱面,.,柱面的形成,一直母线沿,一,条,曲导线连续运动，,并,始终平行于一,直导线而形成的曲面称为柱面。,.,柱面的投影,画法几何与阴影透视,6.2.2 非回转直线曲面（1）柱面,柱面的应用举例,菲律宾国际机场,画法几何与阴影透视,柱面的应用举例菲律宾国际机场,（,2,）,锥面,.,锥面的形成,一直母线沿,一,条,曲导线连续运动，,并,始终,通过,一,定点而形成的曲面称为锥面。,.,锥面的投影,画法几何与阴影透视,（2）锥面.锥面的形成一直母线沿一条曲导线连续运动，,.,锥面的,应用举例,美国古根海姆博物馆,画法几何与阴影透视,.锥面的应用举例美国古根海姆博物馆,6.2.3,锥状面的投影及其应用,（,1,）锥状面的形成：,一直母线沿一直,导线和曲导线连续运动，同时,始终平行于一,导平面，这样形成的曲面称为锥状面。,（,2,）锥状面的画法,.,画出,一直,导线和曲导线,的两面投影,；,.,作出,直母线的两面投影：,.,作出该曲面上各素线的,投影。,画法几何与阴影透视,6.2.3 锥状面的投影及其应用（1）锥状面的形成：一直母,锥状面的画法,画法几何与阴影透视,锥状面的画法,.,柱状面的,应用举例,画法几何与阴影透视,.柱状面的应用举例,6.2.4,柱状面的投影及其应用,（,1,）,.,柱状面的形成 ：,一直母线沿两条,曲导线连续运动，同时,始终平行于一,导平面，这样形成的曲面称为柱状面,（,2,）柱状面投影的画法：,.,画出,两条,曲导线,的两面投影,；,.,作出,直母线的两面投影：,.,作出该曲面上各素线的,投影。,画法几何与阴影透视,6.2.4 柱状面的投影及其应用 （1）.柱状面的形成,柱状面的画法,画法几何与阴影透视,柱状面的画法,6.2.5,双曲抛物面的投影及其应用,（,1,）双曲抛物面的形成,一直母线沿两交叉直,导线连续运动，同时,始终平行于一,导平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。,（,2,）双曲抛物面的画法,.,画出,两条,直导线,的两面投影,；,.,作出,直母线的两面投影：,.,作出该曲面上各素线的,投影。,画法几何与阴影透视,6.2.5双曲抛物面的投影及其应用（1）双曲抛物面的形成,双曲抛物面的画法（,V,面为导平面）,a,d,b,c,a,c,b,d,素线可见性判别,观察判别,交叉二直线可见性判别,画法几何与阴影透视,双曲抛物面的画法（V面为导平面）adbcacbd素线,.,双曲抛物面的,应用举例,广东星海音乐厅,画法几何与阴影透视,.双曲抛物面的应用举例广东星海音乐厅,6.2.6,旋转单叶双曲面的投影及其应用,（,1,）,单叶双曲回转面的形成,：,当直母线,AB,（或,CD,）绕与它交叉的轴线,OO,旋转一周而形成单叶双曲回转面，单叶双曲回转面也可由双曲线,MEN,绕其虚轴,OO,旋转一周而形成。,由于母线的每点回转的轨迹均是纬圆，母线的任一位置都称为素线，所以,回转面是由一系列纬圆，或,一系列素线（此例既有直素,线，又有双曲线素线）所组,成。,母线的上、下端点,A,、,B,形成的纬圆，分别称作顶圆、,底圆，母线至轴线距离最近,的一点,E,所形成的纬圆，称作,颈圆。,画法几何与阴影透视,6.2.6旋转单叶双曲面的投影及其应用 （1）单叶双曲回转,（,a,）画出,回转轴及直,导线,的两面投影,；,（,b,）作出轮廓线顶圆和底圆的,两面投影：,（,c,）作出若干素线及其转向轮廓线的,投影。,单叶双曲回转面,的画法步骤,a,1,2,（,12,）,3,（,11,）,6,（,8,）,4,（,10,）,7,5,（,9,）,1,（,5,）,2,（,4,）,3,12,（,6,）,11,（,7,）,10,（,8,）,9,b,a,b,12,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,（a）画出回转轴及直导线的两面投影；单叶双曲回转面的画法步,单叶双曲面投影图的画法,素线,V,投影可见性,1-1,、,2-2,、,3-3,三根全可见（,H,投影中素线两端点均在横中心线之前）,7-7,、,8-8,、,9-9,三根全不可见（,H,投影中素线两端点均在横中心线之后）,4-4,、,5-5,、,6-6,1,（,5,）,2,（,4,）,3,12,（,6,）,11,（,7,）,10,（,8,）,9,a,1,2,（,12,）,3,（,11,）,6,（,8,）,4,（,10,）,7,5,（,9,）,b,a,b,12,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,上部可见，下部不可见（,H,投影中素线与横中心线交点分界）,10-10,、,11-11,、,12-12,上部不可见，下部可见（,H,投影中素线与横中心线交点分界）,注：顶圆编号,底圆编号,素线,H,投影可见性,12,条素线可见性相同，顶圆颈圆切点，可见；颈圆切点顶圆，不可见；顶圆底圆，可见。,画法几何与阴影透视,单叶双曲面投影图的画法 素线V投影可见性1,单叶双曲面投影图（续）,a,b,a,b,素线,V,投影可见性,三条兰色全可见；,三条紫色全不可见；,三条棕色上部可见，下部不可见；,三条绿色上部不可见，下部可见。,素线,H,投影可见性,12,条素线可见性相同，顶圆颈圆切点，可见；颈圆切点顶圆，不可见；顶圆底圆，可见。,画法几何与阴影透视,单叶双曲面投影图（续）abab素线V投影可见性,6.2.7,螺旋面的投影及其应用,（,1,）圆柱正螺旋面的形成,当一直母线沿一条圆柱螺旋线及该圆柱螺旋线的轴线滑动，并始终平行于与轴线垂直的导平面而形成的曲面。,是锥状面的特例。圆柱正螺旋面与一个同轴的小圆柱相交，交线依然是一相同导程的圆柱螺旋线。大小圆柱之间的圆柱正螺旋面是柱状面的特例，又称正螺旋柱状面，其形成也可描述为两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的,直母线始终垂直于,圆柱,轴线。,（,2,）圆柱正螺旋面的画法,a.,圆柱正螺旋面（锥状）,b.,圆柱正螺旋面（柱状）,（,3,）圆柱正螺旋面的应用,画法几何与阴影透视,6.2.7螺旋面的投影及其应用（1）圆柱正螺旋面的形成,圆柱正螺旋面（锥状）的画法,画法几何与阴影透视,圆柱正螺旋面（锥状）的画法,圆柱正螺旋面（柱状）的画法,作出,直母线的两面投影；,画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；,作出该曲面上各素线的,投影,。,圆柱正螺旋面（柱状）的画法作出直母线的两面投影；,圆柱正螺旋柱状面应用举例,螺旋扶手,螺旋楼梯,画法几何与阴影透视,圆柱正螺旋柱状面应用举例螺旋扶手螺旋楼梯,画法几何与阴影透视,画法几何与阴影透视,.,如同画正螺旋柱状面那样，画出螺旋楼梯扶手的,H,投影和扶手顶面内外螺旋线上的各点（暂不连螺旋线）。,.,从内螺旋先,3/4,的各点下落扶手竖向厚度,h,；从外螺旋后,3/4,的各点下落扶手竖向高度,h,。并将这些点分别连接画内、外螺旋线。,.,画扶手顶面可见螺旋线。扶手顶面先,1/2,内螺旋点及后,1/4,内螺旋点连两段内螺旋线，后,1/2,外螺旋点及先,1/4,外螺旋点连两段外螺旋线。,.,判别可见性，加深图线，画扶手轮廓线，完成全图。,轴线左侧底面可见，轴
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