复变函数第13讲课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 留数,本章内容：,1、孤立奇点及其分类,2、留数概念及其计算,3、留数在计算定积分中的应用,第五章 留数本章内容：1、孤立奇点及其分类,1,1 孤立奇点,1,.孤立奇点概念,注：,1 孤立奇点1.孤立奇点概念注：,2,皆为孤立奇点.,(2,),若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点,2,.孤立奇点的分类,分类原则：,皆为孤立奇点.(2)若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤,3,（1）,可去奇点：,展式中不含z-z,0,负幂次项,，即,（1）可去奇点：展式中不含z-z0负幂次项，即,4,即：补充函数在可去奇点的定义,，,此,奇点就可以变为解析点。,“可去”一词的解释：,(2,),极点:,展式中只有有限多个负幂次项,即,可去奇点处的极限：,即：补充函数在可去奇点的定义，此奇点就可以变为解析点,5,按定义，极点级数指展式中负幂次项的最高次数。,按定义，极点级数指展式中负幂次项的最高次数。,6,由此结论成立,证明,由此结论成立证明,7,（3）,本性奇点：,展式中含无穷多负幂次项。,极点处的极限,（3）本性奇点：展式中含无穷多负幂次项。极点处的极限,8,函数在本性奇点处有如下性质：,函数在本性奇点处有如下性质：,9,3.孤立奇点分类判别法,(1),根据洛朗展式判别,以上函数皆,可在Z=0点很容易的展开,，由此不难,判断出奇点类型,(2),考察函数在奇点处的极限,3.孤立奇点分类判别法(1)根据洛朗展式判别以上函数,10,注,：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似,的,罗必塔法则。,注：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似,11,同理，对于右端导数,比值，我们有：,同理，对于右端导数,12,比较得：左=右,因而结论成立。,证毕,比较得：左=右,13,4.函数的零点与极点的关系,在函数零点的级数判别时，下面的结论有时是很方便的。,4.函数的零点与极点的关系 在函数零点的级数判别时，下,14,充分性由上面过程倒推易证。,充分性由上面过程倒推易证。,15,定理（极点与零点关系）,结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的。,定理（极点与零点关系）结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤,16,复变函数第13讲课件,17,上面定给出了一个判别极点阶数的有效方法,（怎样看出是极点？）,为了判断极点级数，我们考察其倒,函数,上面定给出了一个判别极点阶数的有效方法（怎样看出是极点？）为,18,注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式就急于作出结论。例如,利用洛朗展式容易知道，z=0分别是它们的一级极点，可去奇点，二级极点。,在判断函数的极点级数时，下列结论有时是非常有用的。,注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式,19,练习：求下列函数的孤立奇点及类型,练习：求下列函数的孤立奇点及类型,20,5.函数在无穷远点的性态,现在我们在扩充复平面上讨论问题。,为什么？,5.函数在无穷远点的性态现在我们在扩充复平面上讨论问题。,21,无穷远点的研究方法：,无穷远点的研究方法：,22,这样无穷孤立奇点的分类问题就转化为对应函数,的t,=0点的类型问题,。,当然，也可通过直接罗朗展开而判别类型：,（1）若展式中,不含,z的正幂次项，,则无穷为,可去奇点；,（2）若展式中,含,z 的有限个正幂次项，,则无穷为,极点；,（3）若展式中,含,z的无穷多正幂次项，,则无穷为,本性 奇点。,这样无穷孤立奇点的分类问题就转化为对应函数当然，也可通过,23,无穷为本性奇点的例子,思考：无穷为孤立奇点时其类型与极限的关系如何？,无穷为本性奇点的例子思考：无穷为孤立奇点时其类型与极限的关系,24,