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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2,任意角的三角函数,1.2.1,任意角的三角函数,第一课时,1.2 任意角的三角函数第一课时,问题提出,1.,角的概念是由几个要素构成的，具体怎样理解？,（,1,）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形,.,（,2,）按逆时针方向旋转形成的角为,正角,，按顺时针方向旋转形成的角为,负角,，没有作任何旋转形成的角为,零角,.,（,3,）角的大小是任意的,.,问题提出1.角的概念是由几个要素构成的，具体怎样理解？（1,2.,什么叫做,1,弧度的角？度与弧度是怎样换算的？,（,1,）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做,1,弧度的角,.,3.,与角,终边相同的角的一般表达式是什么？,=,k360,（,kZ,）或,（,2,）,180,rad.,2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？（1）等于半径,4.,如图，在直角三角形,ABC,中，,sin,，,cos,，,tan,分别叫做角,的,正弦、余弦和正切，,它们的值分别等于什么？,A,B,C,5.,当角,不是锐角时，我们必须对,sin,，,cos,，,tan,的值进行推广，以适应任意角的需要,.,4.如图，在直角三角形ABC中，sin，cos，tan,知识探究（一）：任意角的三角函数,思考,1,：,为了研究方便，我们把,锐角,放到直角坐标系中，并使角,的顶点与原点,O,重合,始边与,x,轴的非负半轴重合,.,在角,的终边上取一点,P,（,a,，,b,）,设点,P,与原点的距离为,r,，那么，,sin,，,cos,，,tan,的值分别如何表示？,知识探究（一）：任意角的三角函数 思考1：为了研究方便，我们,思考,2,：,对于确定的角,，上述三个比值是否随点,P,在角,的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？,x,y,o,P(,a,，,b,),r,A,B,思考2：对于确定的角，上述三个比值是否随点P在角的终边上,思考,3,：,为了使,sin,，,cos,的表示式更简单，你认为点,P,的位置选在何处最好？此时，,sin,，,cos,分别等于什么？,x,y,o,P(,a,，,b,),1,思考3：为了使sin，cos的表示式更简单，你认为点P的,思考,4,：,在直角坐标系中，以原点,O,为圆心，以单位长度为半径的圆称为,单位圆,.,对于角,的终边上一点,P,，要使,|OP|=1,，点,P,的位置如何确定？,的终边,O,x,y,P,思考4：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆,思考,5,：,设,是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,P,（,x,，,y,），为了不与当,为锐角时的三角函数值发生矛盾，,你认为,sin,，,cos,，,tan,对应的值应分别如何定义？,的终边,P(x,，,y),O,x,y,思考5：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）,思考,6,：,对于一个任意给定的角,，按照上述定义，对应的,sin,，,cos,，,tan,的值是否存在？是否惟一？,的终边,P(x,，,y),O,x,y,思考6：对于一个任意给定的角，按照上述定义，对应的sin,正、余弦函数的定义域为,R,，,正切函数的定义域是,思考,7,：,对应关系 ，都是以角为自变量，以单位圆,上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为,正弦函数,、,余弦函数,和,正切函数,，并统称为,三角函数,，在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？,正、余弦函数的定义域为R，思考7：对应关系 ，,思考,8,：,若点,P,（,x,，,y,）为角,终边上任意一点，那么,sin,，,cos,，,tan,对应的函数值分别等于什么？,P(x,，,y),O,x,y,思考8：若点P（x，y）为角终边上任意一点，那么sin，,知识探究（二）：三角函数符号与公式,思考,1,：,当角,在某个象限时，设其终边与单位圆交于点,P,（,x,，,y,），根据三角函数定义，,sin,，,cos,，,tan,的函数值符号是否确定？为什么？,的终边,P(x,，,y),O,x,y,知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考1：当角在某个象限,思考,2,：,设,是一个任意的象限角，那么当,在第一、二、三、四象限时，,sin,的取值符号分别如何？,cos,，,tan,的取值符号分别如何？,思考2：设是一个任意的象限角，那么当在第一、二、三、四象,思考,3,：,综上分析，各三角函数在各个象限的取值符号如下表：,三角函数,第一象限,第二象限,第三象限,第四象限,+,+,+,+,+,+,你有什么办法记住这些信息？,思考3：综上分析，各三角函数在各个象限的取值符号如下表：三,思考,4,：,如果角,与,的终边相同，那么,sin,与,sin,有什么关系？,cos,与,cos,有什么关系？,tan,与,tan,有什么关系？,思考,5,：,上述结论表明，,终边相同的角的同名三角函数值相等，,如何将这个性质用一组数学公式表达？,公式一：,（,),思考4：如果角与的终边相同，那么sin与sin有什么,思考,6,：,若,sin=sin,，则角,与,的终边一定相同吗？,思考,7,：,在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？,可将求任意角的三角函数值，转化为求,0,（或,0,360),范围内的三角函数值,.,思考,8,：,函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？,思考6：若sin=sin，则角与的终边一定相同吗？,O,x,y,理论迁移,例,1,求 的正弦、余弦和正切值,.,例,2,已知角的终边过点,P,（,3,，,4,），求角的正弦、余弦和正切值,.,O,x,y,P,（,3,，,4,）,Oxy理论迁移例1 求 的正弦、余弦和正切值.例2 已知角,例,3,求证：当且仅当不等式组,成立时，角,为第三象限角,.,例,4,确定下列三角函数值的符号,.,（,1,）,;,（,2,）,;,（,3,）,;,（,4,）,;,（,5,）,;,（,6,）,.,例3 求证：当且仅当不等式组 例4 确定下列三角函,小结作业,1.,三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值,.,2.,三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的,.,小结作业1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的,4.,一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点,P,（,x,，,y,）在终边上的位置无关,.,公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现,.,3.,若已知角,的一个三角函数符号，则角,所在的象限有两种可能；若已知角,的两个三角函数符号，则角,所在的象限就惟一确定,.,4.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点P（x,作业：,P15,练习：,1,，,2,，,5,，,7.,3,，,4,，,6,做在书上,作业：3，4，6 做在书上,1.2,任意角的三角函数,1.2.1,任意角的三角函数,第二课时,1.2 任意角的三角函数第二课时,问题提出,1.,设,是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,P,（,x,，,y,），角,的三角函数是怎样定义的？,2.,三角函数在各象限的函数值符号分别如何？,一全正，二正弦，三正切，四余弦,.,问题提出1.设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，,3.,公式 ，,().,其数学意义如何？,4.,角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征,.,我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一,.,终边相同的角的同名三角函数值相等,.,3.公式 ，,知识探究（一）：,正弦线和余弦线,思考,1,：,如图，设角,为第一象限角，其终边与单位圆的交点为,P,（,x,，,y,），则,，都是正数，你能分别用一条线段表示角,的正弦值和余弦值吗？,P,（,x,，,y,）,O,x,y,M,知识探究（一）：正弦线和余弦线 思考1：如图，设角为第一象,思考,2,：,若角,为第三象限角，其终边与单位圆的交点为,P,（,x,，,y,），则,，都是负数，此时角,的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？,P,（,x,，,y,）,O,x,y,M,思考2：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y,思考,3,：,为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号,.,根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？,规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向,.,思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为,思考,4,：,规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做,有向线段,.,由上分析可知，当角,为第一、三象限角时，,sin,、,cos,可分别用有向线段,MP,、,OM,表示，即,MP=sin,，,OM=cos,，那么当角,为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？,P,（,x,，,y,）,O,x,y,M,P,（,x,，,y,）,O,x,y,M,思考4：规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上,思考,5,：,设角,的终边与单位圆的交点为,P,，过点,P,作,x,轴的垂线，垂足为,M,，称有向线段,MP,，,OM,分别为角,的,正弦线,和,余弦线,.,当角,的终边在坐标轴上时，角,的正弦线和余弦线的含义如何？,P,O,x,y,M,O,x,y,P,P,思考5：设角的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，,思考,6,：,设,为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明,sin,cos,1,吗？,P,O,x,y,M,MP,OM,OP=1,思考6：设为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinco,知识探究（二）：,正切线,A,T,思考,1,：,如图，设角,为第一象限角，其终边与单位圆的交点为,P,（,x,，,y,），则 是正数，用哪条有向线段表示角,的正切值最合适？,P,O,x,y,M,知识探究（二）：正切线 AT思考1：如图，设角为第一象限角,A,T,思考,2,：,若角,为第四象限角，其终边与单位圆的交点为,P,（,x,，,y,），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角,的正切值最合适？,P,O,x,y,M,AT思考2：若角为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x,A,T,A,T,P,O,x,y,M,思考,3,：,若角,为第二象限角，其终边与单位圆的交点为,P,（,x,，,y,），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角,的正切值最合适？,ATATPOxyM思考3：若角为第二象限角，其终边与单位圆,思考,4,：,若角,为第三象限角，其终边与单位圆的交点为,P,（,x,，,y,），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角,的正切值最合适？,P,O,x,y,M,A,T,A,T,思考4：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y,思考,5,：,根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？,过点,A,（,1,，,0,）作单位圆的切线，与角,的终边或其反向延长线相交于点,T,，则,AT=tan,.,A,T,O,x,y,P,A,T,O,x,y,P,思考5：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点A（1,思考,6,：,当角,的终边在坐标轴上时，角,的正切线的含义如何？,O,x,y,P,P,当角,的终边在,x,轴上时，角,的正切线是一个点；当角,的终边在,y,轴上时，角,的正切线不存在,.,思考6：当角的终边在坐标轴上时，角的正切线的含义如何？O,思考,7,：,观察下列不等式：,你有什么一般猜想？,思考7：观察下列不等式：,思考,8,：,对于不等式,（其中,为锐角），你能用数形结合思想证明吗？,P,O,x,y,M,A,T,思考8：对于不等式POxyMAT,理论迁移,例,1,作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：,（,1,）；（,2,）；,（,3,）；（,4,）,.,理论迁移 例1
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