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二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的根,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,根的,判别式,=b,2,-4ac,有两个交点,有,两个不相等,的实数根,b,2,-4ac,0,只有一个交点,有,两个相等,的实数根,b,2,-4ac,=,0,没有交点,没有实数根,b,2,-4ac,0,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点的,横坐标,与一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的,根,有什么关系,?,归纳:,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点有三种情况,:,(1),有两个交点,(2),有一个交点,(3),没有交点,二次函数与一元二次方程,b,2,4ac 0,b,2,4ac=0,b,2,4ac 0,若抛物线,y=ax,2,+bx+c,与,x,轴有交点,则,b,2,4ac,0,0,=0,0,O,X,Y,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点,1.,抛物线,y=x,2,+7x+6,与,y,轴的交点坐标是,与,x,轴的交点坐标是,.,(-1,0),(-6,0),(0,6),2.,已知二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象如图所示,则一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的解是,.,5,0,x,y,x,1,=0,或,x,2,=5,课堂练习,归纳：,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的两个根为,x,1,x,2,则抛物线,y=ax,2,+bx+c,与,x,轴的交点坐标是,(x,1,0),(x,2,0),解,:,方法,:,(1),先作出图象,;,(2),写出交点的坐标,;,(3),得出方程的解,.,它与,x,轴的公共点的横坐标大约是,-0.7,，,2.7,所以方程,x,2,-2x-2=0,的实数根为,请完成课本,19,页第,1,题,已知函数,y=x,2,-4x+3,（,1,）画出函数图象,（,2,）观察图象，当,x,取哪些值时，函数值为,0?,26.3,实际问题与二次函数,第1课时,1.,二次函数,y=2(x-3),2,+5,的对称轴是,，顶点坐标是,.,当,x=,时，,y,的最,值是,.,2.,二次函数,y=-3(x+4),2,-1,的对称轴是,，顶点坐标是,.,当,x=,时，函数有最,_,值，是,.,3.,二次函数,y=2x,2,-8x+9,的对称轴是,，顶点坐标是,.,当,x=,时，函数有最,_,值，是,.,x=3,（,3,，,5,）,3,小,5,x=-4,（,-4,，,-1,）,-4,大,-1,x=2,（,2,1,）,2,大,1,问题：用总长为,60m,的篱笆围成矩形场地，矩形面积,S,随矩形一边长,l,的变化而变化,.,当,l,是多少时，场地的面积,S,最大？,分析：,先写出,S,与,l,的函数关系式，再求出使,S,最大的,l,的值,.,矩形场地的周长是,60,m,，一边长为,l,，则另一边长为,m,，场地的面积,:,S=l(30-l),即,S=-,l,2,+30,l,怎样得出自变量取值范围的呢？,(0,l,30),画出此函数的图象,可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说，,当,l,取顶点的横坐标时，,这个函数有最大值,.,5,10,15,20,25,30,100,200,l,s,当,l,是,15m,时，场地的面积,S,最大,(,S,=225),O,一般地，因为抛物线,y=ax,2,+bx+c,的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数,y=ax,2,+bx+c,有最小（大）值,.,某商品现在的,售价为每件,60,元,，每星期可卖出,300,件,，市场调查反映：如调整价格，,每涨价,1,元，每星期少卖出,10,件；,每降价,1,元，每星期可多卖出,20,件，,已知商品,进价为每件,40,元,，如何定价才能使利润最大？,请同学们带着以下几个问题读题,（,1,）题目中有几种调整价格的方法？,（,2,）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之,发生了变化？,分析,:,调整价格包括涨价和降价两种情况,先来看涨价的情况：,设每件涨价,x,元,，则每星期售出商品,的利润,y,也随之变化，我们先来确定,y,与,x,的函数关系式,.,涨,价,x,元,则每星期少卖,件，实际卖出,件,每件利润为,元，因此，所得利润,为,元,.,10 x,(300-10 x),(60+x-40),（,60+x-40,）,(300-10 x),y=(60+x-40)(300-10 x),(0 x30),即,y=-10,（,x-5,）,2,+6250,当,x=5,时，,y,最大值,=6250,怎样确定,x,的取值范围,可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，,这条抛物线的顶点是函数图像的最高点,，,也就是说,当,x,取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值,.,由公式可以求出顶点的横坐标,.,所以，当定价为,65,元时，利润最大，最大利润为,6250,元,也可以这样求极值,在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（,1,）的过程得出答案,.,解析：,设,降价,x,元,时利润最大，则每星期可多卖,20 x,件，实际卖出,（,300+20 x),件，每件利润为,（,60-x-40,）,元，因此，得利润,y=(300+20 x)(60-x-40),=-20(x,-5x+6.25)+6125,=-20,（,x-2.5,）,+6125,x=2.5,时，,y,极大值,=6125,怎样确定,x,的取值范围,（,0,x,20,）,由,(1)(2),的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗,?,课本,26,页第,2,题,探究,3,图中是抛物线形拱桥，当水面,在,l,时,，拱顶离水面,2m,，水面宽,4m,，水面下降,1m,，水面宽度增加多少？,分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，为解题简便，,以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为,y,轴建立直角坐标系,4,2,l,课本,26,页第,3,、,4,题,（,1,）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；,（,2,）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值,.,解决这类题目的一般步骤,1,（,2010,包头中考）将一条长为,20cm,的铁丝剪成两,段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则,这两个正方形面积之和的最小值是,cm,2,2.,某商店购进一种单价为,40,元的篮球，如果以单价,50,元售出，那么每月可售出,500,个，据销售经验，售价每提高,1,元，销售量相应减少,10,个,.(1),假设销售单价提高,x,元，那么销售每个篮球所获得的利润是,_,元，这种篮球每月的销售量是,个,(,用,x,的代数式表示,)(2)8000,元是否为每月销售篮球的最大利润,?,如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元,?,x,+10,500,10 x,8000,元不是每月最大利润，最大月利润为,9000,元，此时篮球的售价为,70,元,.,3.,（,2010,荆门中考）某商店经营一种小商品，进价为,2.5,元，据市场调查，销售单价是,13.5,元时平均每天销售量是,500,件，而销售单价每降低,1,元，平均每天就可以多售出,100,件,.,（,1,）假设每件商品降低,x,元，商店每天销售这种小商品的利润是,y,元，请你写出,y,与,x,之间的函数关系式，并注明,x,的取值范围；,（,2,）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润,=,销售收入购进成本）,解析：,（,1,）降低,x,元后，所销售的件数是（,500+100 x,）,y=,100 x,2,+600 x+5500,（,0,x11,）,（,2,）,y=,100 x,2,+600 x+5500,（,0,x11,）,配方得,y=,100,（,x,3,）,2,+6400,当,x=3,时，,y,的最大值是,6400,元,.,即降价为,3,元时，利润最大,.,所以销售单价为,10.5,元时，最大利润为,6400,元,.,答：,销售单价为,10.5,元时，最大利润为,6400,元,.,可设这条抛物线表示的,二次函数的解析式为,y,=,ax,2,.,-2,-1,2,1,-1,-2,-3,1,抛物线,表示的,二次函数解析式为,解：如图，以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为,y,轴，建立平面直角坐标,系,由抛物线经过点（,2,，,2,），将其代人,y=ax,2,，可得,2=4a,当水面下降,1m,时，水面的纵坐标为,y,=,3,，,将,其,代,入,，得,水面下降,1cm,，水面,宽度增加,(_),m.,水面的宽度,m,4.,（,2011,菏泽中考）我市一家电子计算器专卖店每只进价,13,元，售价,20,元，多买优惠；凡是一次买,10,只以上的，每多买,1,只，所买的全部计算器每只就降低,0.10,元，例如，某人买,20,只计算器，于是每只降价,0.10(20-10)=1(,元,),因此，所买的全部,20,只计算器都按照每只,19,元计算，但是最低价为每只,16,元,.,(1).,求一次至少买多少只，才能以最低价购买？,(2).,写出该专卖店当一次销售,x,(,只,),时，所获利润,y,(,元,),与,x,之间的函数关系式，并写出自变量,x,的取值范围；,（,3,）若店主一次卖的只数在,10,至,50,只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？,【,解析,】,(1),设一次购买,x,只，才能以最低价购买，则有,:,0.1(x-10)=20-16,解这个方程得,x=50.,答：一次至少买,50,只，才能以最低价购买,(2),（说明：因三段图象首尾相连，所以端点,10,、,50,包括在哪个区间均可）,(3),将 配方得,，所以店主一次卖,40,只时可获得最高利润，最高利润为,160,元,.,（也可用公式,法求得）,5.,（,2010,安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用,20,天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售九（,1,）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第,x,天（,1x20,且,x,为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：,（,1,）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？,（,2,）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且,能在当天全部售出，求第,x,天的收入,y,（元）与,x,（天）之,间的函数关系式？（当天收入,=,日销售额,-,日捕捞成本）试说明（,2,）中的函数,y,随,x,的变化情况，并指出在第几天,y,取得最大值，最大值是多少？,解：,（,1,）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少,10kg,；（,2,）由题意，得,（,3,）,-2,0,，,y=-2x,2,+40 x+14250=-2,（,x-10,）,2,+14450,，又,1x20,且,x,为整数，当,1x10,时，,y,随,x,的增大而增大；当,10 x20,时，,y,随,x,的增大而减小；当,x=10,时即在第,10,天，,y,取得最大值，最大值为,14450,1.,主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法,.,2.,利用二次函数解决实际问题时，根据利润公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键,.,
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