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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,22.2,二次函数与一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,人教版九年级数学上册第二十二章 二次函数,22.2二次函数与一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小,学习目标,1.,通过探索，理解二次函数与一元二次方程,(,不等式）,之间的联系,.(,难点）,2.,能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集,.,（重点）,3.,了解用图象法求一元二次方程的近似根,.,学习目标1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之,导入新课,情境引入,问题,如图，以,40m/s,的速度将小球沿与地面成,30,角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度,h,（单位：,m,）与飞行时间,t,（单位：,s,）之间具有关系：,h,=20,t,-5,t,2,，,考虑以下问题：,导入新课情境引入问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面,讲授新课,二次函数与一元二次方程的关系,一,（,1,）,球的飞行高度能否达到,15m,？如果能，需要多少飞行时间？,O,h,t,15,1,3,当球飞行,1s,或,3s,时，它的高度为,15m,.,解,：解方程,15=20t-5t,2,t,2,-4,t,+3=0,t,1,=1,t,2,=3.,你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为,15m,吗？,h,=20,t,-5,t,2,讲授新课二次函数与一元二次方程的关系一（1）球的飞行高度能否,（,2,）,球的飞行高度能否达到,20m,？如果能，需要多少飞行时间？,你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为,20m,？,O,h,t,20,4,解方程：,20=20,t,-5,t,2,t,2,-4,t,+4=0,t,1,=,t,2,=2.,当球飞行,2,秒时，它的高度为,20,米,.,h,=20,t,-5,t,2,（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？,（,3,）,球的飞行高度能否达到,20.5m,？如果能，需要多少飞行时间？,O,h,t,你能结合图形指出为什么球不能达到,20.5m,的高度,?,20.5,解方程：,20.5=20t-5t,2,t,2,-4t+4.1=0,因为,(-4),2,-4 4.1 0,有两个重合的交点,有两个相等的实数根,b,2,-,4,ac,=0,没有交点,没有实数根,b,2,-,4,ac 0有,例,1,：,已知关于,x,的二次函数,y,mx,2,(,m,2),x,2(,m,0),(1),求证：此抛物线与,x,轴总有两个交点；,(2),若此抛物线与,x,轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数,m,的值,(1),证明：,m,0,，,(,m,2),2,4,m,2,m,2,4,m,4,8,m,(,m,2),2,.,(,m,2),2,0,，,0,，,此抛物线与,x,轴总有两个交点；,例1：已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m,(2),解：令,y,0,，则,(,x,1)(,mx,2),0,，,所以,x,1,0,或,mx,2,0,，,解得,x,1,1,，,x,2,.,当,m,为正整数,1,或,2,时，,x,2,为整数，即抛物线与,x,轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数,所以正整数,m,的值为,1,或,2.,例,1,：,已知关于,x,的二次函数,y,mx,2,(,m,2),x,2(,m,0),(1),求证：此抛物线与,x,轴总有两个交点；,(2),若此抛物线与,x,轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数,m,的值,(2)解：令y0，则(x1)(mx2)0，例1：已知,变式：,已知：抛物线,y,x,2,ax,a,2.,(1),求证：不论,a,取何值时，抛物线,y,x,2,ax,a,2,与,x,轴都有两个不同的交点；,(2),设这个二次函数的图象与,x,轴相交于,A,(,x,1,，,0),，,B,(,x,2,，,0),，且,x,1,、,x,2,的平方和为,3,，求,a,的值,(1),证明：,a,2,4(,a,2),(,a,2),2,4,0,，,不论,a,取何值时，抛物线,y,x,2,ax,a,2,与,x,轴都有两个不同的交点；,(2),解：,x,1,x,2,a,，,x,1,x,2,a,2,，,x,1(2),x,2(2),(,x,1,x,2,),2,2,x,1,x,2,a,2,2,a,4,3,，,a,1.,变式：已知：抛物线yx2axa2.(1)证明：,例,2,如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线,运行，其中,x,是铅球离初始位置的水平距离，,y,是铅球离地面的高度,.,（,1,）当铅球离地面的高度为,2.1m,时，它离初始位置的水平距离是多少？,（,2,）铅球离地面的高度能否达到,2.5m,，它离初始位置的水平距离是多少？,（,3,）铅球离地面的高度能否达,到,3m,？为什么？,例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线,解,（,1,）由抛物线的表达式得,即,解得,即当铅球离地面的高度为,2.1m,时，它离初始,位置的水平距离是,1m,或,5m.,（,1,）当铅球离地面的高度为,2.1m,时，它离初始位置的水平距离是多少？,解 （1）由抛物线的表达式得（1）当铅球离地面的高度为2.,（,2,）铅球离地面的高度能否达到,2.5m,，它离初始位置的水平距离是多少？,（,2,）由抛物线的表达式得,即,解得,即当铅球离地面的高度为,2.5m,时，它离初始位,置的水平距离是,3m.,（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距,（,3,）由抛物线的表达式得,即,因为 所以方程无实根,.,所以铅球离地面的高度不能达到,3m.,（,3,）铅球离地面的高度能否达到,3m,？为什么？,（3）由抛物线的表达式得（3）铅球离地面的高度能否达到3m？,一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了,.,一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.,例,3,：,求一元二次方程 的根的近似值（精确到,0.1,）,.,分析：一元二次方程,x,-2,x,-1=0,的根就是抛物线,y=x,-2,x,-1,与,x,轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与,x,轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法,.,利用二次函数求一元二次方程的近似解,三,例3：求一元二次方程,解：画出函数,y=x,-2,x,-1,的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在,-1,与,0,之间,另一个在,2,与,3,之间,.,解：画出函数 y=x-2x-1 的图象（如下图），由图象可,先求位于,-1,到,0,之间的根，由图象可估计这个根是,-0.4,或,-0.5,，利用计算器进行探索，见下表：,观察上表可以发现，当,x,分别取,-0.4,和,-0.5,时，对应的,y,由负变正，可见在,-0.5,与,-0.4,之间肯定有一个,x,使,y,=0,，即有,y,=,x,2,-2,x,-1,的一个根，题目只要求,精确到,0.1,，这时取,x,=-0.4,或,x,=-0.5,都符合要求,.,但当,x,=-0.4,时更为接近,0.,故,x,1,-0.4,.,同理可得另一近似值为,x,2,2.4,.,先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是,一元二次方程的图象解法,利用二次函数的,图象,求一元二次方程,2,x,2,+,x,-15=0,的近似根,.,(1),用描点法作二次函数,y,=2,x,2,+,x,-15,的图象；,(2),观察估计二次函数,y,=2,x,2,+,x,-15,的图象与,x,轴的交点的横坐标；,由图象可知,图象与,x,轴有两个交点,其横坐标一个是,-3,另一个在,2,与,3,之间,分别约为,-3,和,2.5,(,可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值,);,(3),确定方程,2,x,2,+,x,-15=0,的解,;,由此可知,方程,2,x,2,+,x,-15=0,的近似根为,:,x,1,-3,x,2,2.5.,方法归纳,一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2,例,4:,已知二次函数,y,ax,2,bx,c,的图象如图所示，则一元二次方程,ax,2,bx,c,0,的近似根为,(,),A,x,1,2.1,，,x,2,0.1,B,x,1,2.5,，,x,2,0.5,C,x,1,2.9,，,x,2,0.9,D,x,1,3,，,x,2,1,解析：由图象可得二次函数,y,ax,2,bx,c,图象的对称轴为,x,1,，而对称轴右侧图象与,x,轴交点到原点的距离约为,0.5,，,x,2,0.5,；又,对称轴为,x,1,，则,1,，,x,1,2(,1),0.5,2.5.,故,x,1,2.5,，,x,2,0.5.,故选,B.,B,例4:已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一元,解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确,方法总结,解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性,二次函数与一元二次不等式的关系,(,拓展,),四,问题,1,函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象如图，那么,方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,的根是,_,_;,不等式,ax,2,+,bx,+,c,0,的解集 是,_;,不等式,ax,2,+,bx,+,c,0,的解集 是,_.,3,-1,O,x,y,x,1,=-1,，,x,2,=3,x,3,-1,x,2,的解集是,_;,不等式,ax,2,+,bx,+,c,2,的解集是,_.,3,-1,O,x,2,(4,2),(-2,2),x,1,=-2,，,x,2,=4,x,4,-2,x,0,（,a,0,）的解集是,x,2,的一切实数，那么函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象与,x,轴有,_,个交点，坐标是,_.,方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,的根是,_.,1,(2,0),x,=2,2,O,x,问题2：如果不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x,问题,3,：,如果方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,（,a,0,）没有实数根，那么函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象与,x,轴有,_,个交点；,不等式,ax,2,+,bx,+,c,0,时,ax,2,+,bx,+,c,0,无解；,（,2,）当,a,0,时,ax,2,+,bx,+,c,0;,-,x,2,+,x,+20;,x,2,-4,x,+40;,-,x,2,+,x,-20.,x,y,0,2,0,x,y,-1,2,x,y,0,y,=,-,x,2,+,x,+2,x,1,=-1,x,2,=2,1,x,2,x,1,-1,x,2,2,x,2,-4,x,+4=0,x,=2,x,2,的一切实数,x,无解,-x,2,+,x,-2=0,x,无解,x,无解,x,为全体实数,试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:xy020 xy-12,知识要点,有两个交点,x,1,x,2,（,x,1,x,2,）,有一个交点,x,0,没有交点,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象与,x,轴交点的坐标与一元二次不等式的关系,y,0,，,x,1,x,x,2,.,y,0,，,x,2,x,或,x,x,2,.,y,0,，,x,1,x,x,2,.,y,0,，,x,2,x,或,x,x,2,.,y,0.,x,0,之外的所有实数；,y,0,，无解,y,0.,x,0,之外的所有实数；,y,0,，无解,.,y,0,，,所有实数；,y,0,，无解,y,0,，,所有实数；,y,0,，无解,知识要点有两个交点x1,x2 有一个交点x0没有交点二次函数,判断方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,(,a,0,a,b,c,为常数,),一个解,x,的范围是（）,A.3,x,3.23 B.3.23 ,x,3.24,C.
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