数学建模大学ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学建模,主讲 张曙光 副教授,孙中品 讲 师,数学建模主讲 张曙光 副教授,1,第一讲 数学建模概论,一 数学建模与数学建模竞赛,二 数学建模与我们的生活,三 数学建模概论,第一讲 数学建模概论一 数学建模与数学建模竞赛,2,一 数学建模与数学建模竞赛,数学建模课程,数学建模竞赛,一 数学建模与数学建模竞赛数学建模课程,3,二 数学建模与我们的生活,1.椅子放稳问题,2.手机套餐选择,3.步长问题 雨中行走问题,4.最短线路问题,5.贮存(进货)模型 化工车间排气模型 决策模型-年金分配,6.公平席位分配,7.传染病模型 减肥模型,赝品的鉴定,8.循环比赛的名次,9.田忌赛马,10.渡河问题,二 数学建模与我们的生活1.椅子放稳问题,4,数学建模示例,1.,椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,数学建模示例1.椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析,5,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,x,B,A,D,C,O,D,C,B,A,用,(对角线与,x,轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是,的函数,四个距离(四只脚),A,C,两脚与地面距离之和,f,(,),B,D,两脚与地面距离之和,g,(,),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD,绕O,点旋转,正方形对称性,模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子,6,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f,(,),g,(,),是,连续函数,对任意,f,(,),g,(,)至少一个为0,数学问题,已知：,f,(,),g,(,),是,连续函数;,对任意，,f,(,),g,(,)=0;,且,g,(,0,)=0，,f,(,0,)0.,证明：存在,0,，使,f,(,0,)=,g,(,0,)=0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),7,模型求解,给出一种简单、粗造的证明方法,将椅子,旋转90,0,，对角线AC和BD互换。,由,g,(,0,)=0，,f,(,0,)0，知,f,(,/2,)=0,g,(,/2,)0.,令,h,(,)=,f,(,),g,(,),则,h,(0)0和,h,(,/2,)0)(1)其解为：(2)此式称为EOQ公式，,Q*,称为最佳定货批量，它是(1)的唯一最小值点。然而，对于大多数实际问题，都要求批量,Q,为正整数，而EOQ公式的计算结果一般不一定是正整数。通常教科书介绍的做法是通过比较,Q*,左右两旁的整数点对应的函数值，选择较小者确定的整数最优解。现在我们希望能导出其规律性，使能直接从,Q*,的值确定出(1)式的整数最优解，在应用上更加方便。模型(1)的问题可化简为如下的函数来研究 (3)以下假定,ba,，记,n,=,x0,，考察,定理,若 ，则,n,为(3)式的整数最优解；若 ，则,n,+1为(3)式的整数最优解。在大多数情况下，可直接利用定理2确定出(3)式的整数最优解，只有当 时，才需要用定理1确定(3)式的整数最优解。由此可从(2)式十分简便地获得模型(1)的整数最佳订货批量。,EOQ注记 以上EOQ 库存模型,15,数学建模大学ppt课件,16,10.,商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),3名商人,3名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.,商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策,每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求,在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,河,小船(至多2人),10.商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3,17,模型构成,x,k,第,k,次渡河前此岸的商人数,y,k,第,k,次渡河前此岸的随从数,x,k,y,k,=0,1,2,3;,k,=1,2,s,k,=(,x,k,y,k,)过程的状态,S=(,x,y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x,=,y,=1,2,S,允许状态集合,u,k,第,k,次渡船上的商人数,v,k,第,k,次渡船上的随从数,d,k,=(,u,k,v,k,)决策,D=(,u,v,),u+v,=,1,2,允许决策集合,u,k,v,k,=0,1,2;,k,=1,2,s,k,+1,=,s,k,d,k,+(-1),k,状态转移律,求,d,k,D(,k,=1,2,n),使,s,k,S,并按,转移律,由,s,1,=(3,3)到达,s,n,+1,=(0,0).,多步决策问题,模型构成xk第k次渡河前此岸的商人数yk第k次渡河前此岸,18,模型求解,x,y,3,3,2,2,1,1,0,穷举法 编程上机,图解法,状态,s,=(,x,y,)16个格点,10个 点,允许决策 移动1或2格;,k,奇,左下移;,k,偶,右上移.,s,1,s,n,+1,d,1,d,11,给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,d,1,d,11,允许状态,S=(,x,y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x=y,=1,2,模型求解xy3322110 穷举法 编程上机 图解法状,19,三 数学建模概论,1.,数学模型与数学建模,2.,数学建模的一般步骤,3.,数学模型的分类,4.,数学建模与能力的培养,5.,一些简单实例,6.,怎样学习数学建模,三 数学建模概论1.数学模型与数学建模,20,数学模型,（,Mathematical Model,）,是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。,数学建模,（,Mathematical Modeling,）,应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,1.1,数学模型与数学建模,数学模型（Mathematical Model）1.1,21,例,（,万有引力定律的发现,）,十五世纪中期，,哥白尼,提出了震惊世界的,日心说,。,丹麦著名的实验天文学 家,第谷,花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大,行星的运动情况,。,第谷的学生和助手,开普勒,对这些资料进行了九年时间的分 析计算后 得出著名的,Kepler三定律,。,牛顿,根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即,万有引力定律,。,1.行星轨道是一 个椭圆，太,太阳位于此椭圆的一个焦,点上。,2.行星在单位时间内 扫过的,面积不变。,3.行星运行周期的平方正比,于椭圆长半轴的三次方，,比例系数不随行星而 改变,（绝对常数）,开普勒三大定律,这其中必 定是某一 力学,规律 的反映，哼哼，我,要找出它。,例（万有引力定律的发现）十五世纪中期，哥白尼 提出了,22,如图，有椭圆方程:,矢径所扫过的面 积,A,的微分为:,由开普勒第二定 律:,常数,立即得出:,即:,椭圆面积,由此得出,常数,简单推导如下：,行星,r,太阳,如图，有椭圆方程:矢径所扫过的面 积A的微分为:由开普勒第,23,我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记 为,i,沿短轴方向的单位向量记 为,j,，于是：,进而有 加速度,以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是,因此得出,由于,我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种,24,1.,了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。,2.,在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。,3.,在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。,4.,模型求解。,5.,模型的分析与检验。,在难以得出解析解时，也应当借助,计算机,求出数值解。,1.2,数学建模的一般步骤,实体信息,(数据),假设,建模,求解,验证,应用,1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资,25,1.3,数学模型的分类,分类标准,具体类别,对某个实际问题了解的深入程度,白箱模型、灰箱模型、黑箱模型,模型中变量的特征,连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等,建模中所用的数学方法,初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等,研究课题的实际范畴,人口模型、生 态系统模型、交通,流模型、经 济模型、基因模型等,1.3 数学模型的分类分类标准具体类别对某个实际问题了解,26,数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在调查研究阶段，需 要用到,观察能力,、,分析能力,和,数据处理能力,等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化能力。,在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间 内,查到并学会,我想应用的知识的本领。,还需要你多少要有点,创新的能力,。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。,1.4,数学建模与能力的培养,开设数学建模课的主要目的为了提高学 生的,综合素质,，增强,应用数学知识,解决实际问 题的本领。,最近几年，我国大学生参加数学建模竞赛空前踊跃.学生在参加了半年多的学习和实践后，就能在全国大学生数学建模竞赛中交出非常出色的研究论文，夺得特等奖一等奖、二等奖的好成绩。我们的目标就是参与并取得好成绩,数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在调查研,27,例1,某人平时下班总是按预定时间到达某处，然,然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早,了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他,的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他,比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时,间？,1.5,一些简单实例,似乎条件不够哦。,换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？,显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设,？,例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然1.5 一些,28,例2,某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。,分析,本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当,然，这里的情况要简单得多。,假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。,（,请自己据此给出严格证明）,例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回,29,例3,交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。,设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这