第四章关系和函数_函数

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函 数,函数是特殊的关系。,4-8,函数,1,）定义,1,设,f,是,集合,X,Y,的关系,若,x,dom,(,f,),有唯一的,y,ran,(,f,),使得,f,称,f,为,函数,若,f,亦可,记作,:,y,=,f,(,x,).,1,、,函数的定,义和性质,4-8,函数,2,）定义,2,:,函数,f,满足：,且记,f,(X)=,f,(,x,)|,x,X =,y,|,f,f,X,f,(,X,)=ran,f,Y,Y,dom,f=,X,(,1,),dom,(,f,),=X.,(,2,),ran,(,f,),Y,称,f,为从,X,到,Y,的函数,记作,f,:,X,Y,.,例如,A=1,2,3,B=a,b,c,d,f,1,=,?,f,2,=,?,f,3,=,?,例,3,判别下列关系那些能构成函数,a)f,1,=|x,1,x,2,N,且,x,1,+x,2,10,?,b)f,2,=|y,1,y,2,R,且,y,2,2,=y,1,?,c)f,3,=|x,1,x,2,N,且,x,2,为小于,x,1,的素数个数,?,1),函数的定义域为整个,X,而非,X,的真子集,(,每个,x,均有象,).,2,),每个,x,只能对应唯一的,y,即如果,y,=,f,(,x,),且,z,=,f,(,x,),则,y,=,z,.,3,),不同的,x,可对应相同的,y,.,4,),f,(X),Y,即,Y,的元素不一定有原象,.,定义,2,设,f,和,g,为,A,B,的,函数,若,对,所有的,x,A,有,f(x),=,g(x),则称,f,和,g,相等,记作,f,=,g,。,由于函数是一种特殊的关系,故关系的一般性概念及结果均适用于函数,.,设,A,和,B,是任二集合,从,A,到,B,的全体函数的集合记作,B,A,2,）函数的性质,例如,X=a,b,c,Y=0,1,从,X,到,Y,的函数为,2,3,=8,个,f,1,=,f,2,=,f,3,=,f,4,=,f,5,=,f,6,=,f,7,=,f,8,=,若,A,和,B,为有限集,则,B,A,中函数的个数为,|,B|,|,A,|,。,定义：,设,f,:,X,Y,1),如果,ranf,=Y(,即,f,(X),=Y,),称,f,为,满射,.,2),若对,x,1,x,2,X,当,x,1,x,2,时,有,f(,x,1,),f(,x,2,),称,f,为,单射,。,3),f,既,是满射又是单射,称,f,为,双射,(,或一一对应,).,注：,f,为满射,则,|Y|=|,f,(X)|,|X|,f,满射,y,Y,x,X,使得,y,=,f,(,x,),f,为单射,则,|,X|=|,f,(X)|,|Y|,f,为双射,则,|,X|=|,f,(X)|,=,|Y|,2,、,单射，满射，双射,例,1,：设,（,1,）证明,f,是单射,（,2,）证明,f,是满射,1,）设,f,:,A,B,g,:,B,C,则关系的复合,f,o,g,=,|,y,(,y,=,f,(,x,),z,=,g,(,y,),是,A,C,函数,即,f,o,g,y,B,使得,y,=,f,(,x,),且,z,=,g,(,y,),f,o,g,亦记作,z,=,(,f,o,g,),(,x,),=,g,(,f,(,x,),3,复合,函数,X,=1,2,3,Y=,p,q,Z,=,a,b,f=,g=,求,f,o,g,例,1,解,(1),(,f,og),(,x,)=,g,f,(,x,)=,g,(,x+2,)=(,x+2,)-2=,x,R,为实数集合,对,x,R,有,f,(,x,),=x+2,g,(,x,)=,x-2,h,(,x,)=3,x,求,f,o,g,(,f,o,g,),o,h,f,o,(,g,o,h,),f,o,g,=,|,x,R,(2),(,(,f,og)o,h,),(,x,)=,h,g,(,f,(,x,)=,h,(,x,)=3,x,(,f,o,g,),o,h,=,|,x,R,f,o,(,g,o,h,),=,|,x,R,(3),(,f,o,(,g,o,h,)(,x,),=(,g,o,h,)(,f,(,x,)=,(,g,o,h,)(,x,+2),=,h,(,g(,x+2,)=,h,(,x+2,)-2,)=,h,(,x,)=3,x,例,2,2,）定理,令,f,o,g,是一个复合函数。,a),若,f,和,g,是满射的,则,f,o,g,是满射的。,b),若,f,和,g,是单射的,则,f,o,g,单射的。,c),若,f,和,g,是双射的,则,f,o,g,是双射的。,f,-1,=,|,x=,定理,设,f,:X,Y,是一双射函数,那么,f,-1,是,Y,X,的双射函数,.,4,逆函数,定义,设,f,:X,Y,是一双射函数,称,Y,X,的双射函数,f,-1,为,f,的逆函数,记作,f,-1,又例,f,:,I,I,f,=|,y,=,x,2,例如,A=1,2,3,B=a,b,c,函数,f,的逆关系,f,-1,还是,函数吗？,f,=,;,f,-1,=,f,=,;,f,-1,=,（,2,）,称,I,X,=|,x,X,为,恒等,函数,.,（,3,）,单调,函数,.,（,4,）,特征,函数,.,（,5,）,自然映射,.,3,）几个定义,（,1,）,函数,f,:X,Y,称为,常,函数,如果存在某个,y,0,Y,对每个,x,X,都有,f,(,x,)=,y,0.,即,f,(X)=,y,0,.,定理,4-2.3,设,f,:X,Y,则,f,=,f,o,I,X,=,I,Y,o,f,定理,4-2.4,如果函数,f,:X,Y,有逆函数,f,-1,:,Y,X,则,f,-1,o,f,=I,X,且,f,o,f,-1,=I,Y.,定理,4-2.5,若,f,:X,Y,是,双射,则,(,f,-1,),-1,=,f.,定理,4-2.6,若,f,:X,Y,g:Y,Z,均为双射函数,则,(g,o,f,),-1,=,f,-1,o,g,-1,。,4,）几个结论（运算律）,重点掌握的基本方法,(,关系,),1.,求给定关系的图形和矩阵表示,4.,关系的运算,集合运算,复合运算,(,矩阵,),和逆关系,闭包运算,(,自反,对称,传递,),3.,判定关系的性质,偏序关系的判定,(,图形,矩阵,),5.,等价关系,等价关系的判定,(,图形,矩阵,),画哈斯图并求特殊元,6.,偏序关系,求等价关系的商集,A/R(,划分,),或逆问题,重点掌握的基本方法,(,函数,),1.,判定给定关系是否为函数,.,4,.,双射函数的逆函数,.,2.,判定函数的类型,(,满射,入射,双射,).,3,.,复合函数,.,