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,4.2,指 数 函 数,4.2.1,指数函数的概念,4.2指 数 函 数,新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4,必备知识,自主学习,导思,1.,怎样定义形如,y=1.11,x,，,y=,的函数？,2.,什么是指数增长模型？,必备知识自主学习导思1.怎样定义形如y=1.11x，y=,1.,指数函数,(1),定义：函数,_,叫做指数函数,，其中指数,x,是自变量，,定义域是,R.,(2),特征：,a0,，且,a1,；,a,x,的系数为,1,；自变量,x,的系数为,1.,y=a,x,(a0,，且,a1),1.指数函数y=ax(a0，且a1),【,思考,】,当指数函数的底数,a=0,，,a=1,，,a0,时，,a,x,恒等于,0,，没有研究的必要；,当,x0,时，,a,x,无意义,.,(2),如果,a0,，且,a1.,【思考】,2.,指数增长模型,(1),定义：设,原有量为,N,，每次的增长率为,p,，经过,x,次增长，该量增长到,y,，,则,y=_,(2),应用：刻画指数增长或衰减变化规律,.,N(1+p),x,(xN).,2.指数增长模型N(1+p)x(xN).,【,基础小测,】,1.,辨析记忆,(,对的打“”，错的打“,”),(1)y=x,4,是指数函数,.(,),(2)y=a,x,一定是指数函数,.(,),(3)y=10 000,是刻画指数增长变化规律的函数模型,.(,),【基础小测】,提示：,(1),.y=x,4,不是指数函数，指数函数的底数是常数,.,(2),.,指数函数的底数,a0,，且,a1.,(3),.y=10 000,是刻画指数衰减变化规律的函数模型,.,提示：(1).y=x4不是指数函数，指数函数的底数是常数.,2.,下列各项对正整数指数函数的理解正确的有,(,),底数,a0,；,指数,xN,+,；,底数不为,0,；,y=a,x,(a0,，,a1,，,xN,+,).,A.0,个,B.1,个,C.2,个,D.3,个,【,解析,】,选,B.,对正整数指数函数的理解正确的是，,y=a,x,，其中底数,a0,且,a1,，,指数,xN,+,；所以正确，错误,.,2.下列各项对正整数指数函数的理解正确的有(),3.(,教材二次开发：例题改编,),若函数,f(x),是指数函数，且,f(3)=5,，则,f(-6)=_.,【,解析,】,由题意，设,f(x)=a,x,(a0,且,a1),，,则由,f(3)=a,3,=5,，得,a=,，,所以,f(-6)=5,-2,=.,答案：,3.(教材二次开发：例题改编)若函数f(x)是指数函数，且f,关键能力,合作学习,类型一指数函数的概念及应用,(,数学抽象,),【,题组训练,】,1.,下列是指数函数的是,(,),A.y=(-4),x,B.y=,C.y=32,x,D.y=e,x,【,解析,】,选,D.,根据指数函数的解析式，,A,，,B,，,C,不满足,.,关键能力合作学习类型一指数函数的概念及应用(数学抽象),2.,若函数,y=(a,2,-4a+4)a,x,是指数函数，则,a,的值是,(,),A.4B.1,或,3C.3D.1,【,解析,】,选,C.,由题意得 解得,a=3.,2.若函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数，则a的值是,【,解题策略,】,判断一个函数是指数函数的方法,(1),把握指数函数解析式的特征：底数,a0,且,a1,；,a,x,的系数为,1,；,自变量,x,的系数为,1.,(2),有些函数需要对解析式变形后判断，如,y=,是指数函数,.,【解题策略】,类型二指数函数的解析式及其应用,(,数学抽象、数学运算,),【,典例,】,1.,若点,(a,，,27),在指数函数,y=(),x,的图象上，则 的值为,(,),A.B.1C.2 D.0,2.,已知函数,f(x),为指数函数，且 ，则,f(-2)=_.,类型二指数函数的解析式及其应用(数学抽象、数学运算),【,思路导引,】,1.,将点代入函数的解析式，求出,a,；,2.,利用已知条件求出指数函数的解析式，再求值,.,【思路导引】1.将点代入函数的解析式，求出a；,【,解析,】,1.,选,A.,点,(a,，,27),在函数的图象上，,所以,27=(),a,，即,3,3,=,，所以,=3,，,解得,a=6,，所以,.,2.,设,f(x)=a,x,(a0,且,a1),，,由 得，所以,a=3,，,又,f(-2)=a,-2,，,所以,f(-2)=3,-2,=.,答案：,【解析】1.选A.点(a，27)在函数的图象上，,【,解题策略,】,求指数函数解析式的步骤,(1),设指数函数的解析式为,f(x)=a,x,(a0,且,a1).,(2),利用已知条件求底数,a.,(3),写出指数函数的解析式,.,【解题策略】,【,跟踪训练,】,(2020,无锡高一检测,),若指数函数,y=f(x),的图象过点,(-2,，,4),，则,f(3)=_.,【,解析,】,设函数,f(x)=a,x,(a0,且,a1),，,把点,(-2,，,4),代入可得,a,-2,=4a=,；,所以,f(x)=,，所以,f(3)=.,答案：,【跟踪训练】,【,补偿训练,】,指数函数,f(x)=a,x,的图象经过点,(2,，,4),，则,f(-3),的值是,_.,【,解析,】,由题意知,4=a,2,，所以,a=2,，,因此,f(x)=2,x,，故,f(-3)=2,-3,=.,答案：,【补偿训练】指数函数f(x)=ax的图象经过点(2，4)，则,类型三函数模型,y=ka,x,的实际应用,(,数学建模,),角度,1,指数增长变化模型,【,典例,】,某种细菌经,60,分钟培养，可繁殖为原来的,2,倍，且知该细菌的繁殖规律为,y=10e,kt,，其中,k,为常数，,t,表示时间,(,单位：小时,),，,y,表示细菌个数，,10,个细菌经过,7,小时培养，细菌能达到的个数为,(,),A.640B.1 280C.2 560D.5 120,类型三函数模型y=kax的实际应用(数学建模),【,思路导引,】,先由条件确定,k,值，再代入求细菌的个数,.,【,解析,】,选,B.,设原来的细菌数为,a,，由题意可得，当,t=1,时，,y=2a,，,所以,2a=10e,k,，即,e,k,=.,当,a=10,时，,e,k,=2,，所以,y=10e,kt,=102,t,，,若,t=7,，则可得此时的细菌数为,y=10,2,7,=1 280.,【思路导引】先由条件确定k值，再代入求细菌的个数.,【,变式探究,】,将本例的条件变为,“,细菌经,60,分钟培养，可繁殖为原来的,3,倍,”,，其他的条件不变，试求经过,7,小时培养，细菌能达到的个数,.,【变式探究】,【,解析,】,设原来的细菌数为,a,，,由题意可得，当,t=1,时，,y=3a,，,所以,3a=10e,k,，即,e,k,=.,当,a=10,时，,e,k,=3,，,所以,y=10e,kt,=10,3,t,，,若,t=7,，则可得此时的细菌数为,y=10,3,7,=21 870.,【解析】设原来的细菌数为a，,角度,2,指数衰减变化模型,【,典例,】,有容积相等的桶,A,和桶,B,，开始时桶,A,中有,a,升水，桶,B,中无水,.,现把桶,A,的水注入桶,B,，,t,分钟后，桶,A,的水剩余,y,1,=am,t,(,升,),，其中,m,为正常数,.,假设,5,分,钟时，桶,A,和桶,B,的水相等，要使桶,A,的水只有 升，必须再经过,(,),A.12,分钟,B.15,分钟,C.20,分钟,D.25,分钟,角度2指数衰减变化模型,【,解析,】,选,B.,由题意可得，,B,桶中的水的体积,y,2,=a-am,t,，因为,t=5,时，,y,1,=y,2,，,所以由,am,5,=a-am,5,，可得,m,5,=,，,所以,m=.,再令桶,A,的水剩余,y,1,=am,t,=,，,可得,，,解得,t=20.,故经过,20,分钟，桶,A,的水只有 升，,即再经过,15,分钟，桶,A,的水只有 升,.,【解析】选B.由题意可得，B桶中的水的体积y2=a-amt，,【,解题策略,】,关于函数,y=ka,x,在实际问题中的应用,(1),函数,y=ka,x,是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当,k0,时，若,a1,，则刻画指数增长变化规律，若,0a0,且,a1,【,解析,】,选,C.,若函数,y=(a-2)a,x,是指数函数，则,a-2=1,，解得：,a=3.,课堂检测素养达标1.若函数y=(a-2)ax是指数函数，则,2.,某种细菌每半小时分裂一次,(,一个分裂为两个,),，经过,3,小时，这种细菌由,1,个可繁殖为,(,),A.8,个,B.16,个,C.32,个,D.64,个,【,解析,】,选,D.,该种细菌分裂的个数满足指数函数,y=2,x,，,xN,*,.,经过,3,小时，,细菌分裂,6,次，,x=6.,细菌分裂的个数为,y=2,6,=64.,2.某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，,3.,若指数函数,f(x),的图象经过点,(2,，,16),，则,f =_.,【,解析,】,设,f(x)=a,x,(a0,，且,a1),，依题意有,a,2,=16,，得,a=4,，故,f(x)=4,x,，,所以,f =,答案：,3.若指数函数f(x)的图象经过点(2，16)，则f,4.,一种放射性元素，最初的质量为,500 g,，按每年,5%,的速度衰减，则,t,年后，,这种放射性元素质量,的表达式为,_.,【,解析,】,最初的质量为,500 g,，经过,1,年，,=500(1-5%)=500,0.95,1,，经过,2,年，,=500,0.95,2,，,，由此推出，,t,年后，,=500,0.95,t,.,答案：,=500,0.95,t,(t0,，,+,),4.一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年5%的速度,5.(,教材二次开发：练习改编,),已知函数,y=f(x),，,xR,，,且,f(0)=2,，,，,=3,，,nN,+,，,则函数,f(x),的一个解析式为,_.,5.(教材二次开发：练习改编)已知函数y=f(x)，xR，,【,解析,】,令,f(x)=ka,x,(a0,，,a1),由,f(0)=2,，所以,k=2,，,所以,f(x)=2a,x,，,又,所以,a=9,，,所以,f(x)=2,9,x,，经验证符合题意,.,答案：,f(x)=2,9,x,【解析】令f(x)=kax(a0，a1),指数函数,的概念,核心知识,方法总结,易错提醒,核心素养,指数函数的定义,指数型函数模型,指数型函数模型公式：原有量为,N,，每次的增长（衰减）率为,p,，经过,x,次增长（衰减），该量增长到,y,，则,y=N(1p,）,x,（,x N,）,指数函数的底数大于,0,且不等于,1,指数型函数的实际应用中，忽视自变量的取值范围,数学抽象：通过具体实例引入指数函数的定义，培养数学抽象的核心素养,数学建模：通过指数型函数的实际应用，培养数学建模的核心素养,指数函数核心知识方法总结易错提醒核心素养指数函数的定义指,
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