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第二节 曲线与方程,三年,1,考 高考指数,:,内 容,要 求,A,B,C,曲线与方程,1.,曲线与方程,如果曲线,C,上点的坐标,(,x,y,),都是方程,f(x,y,)=0,的解，且以方程,f(x,y,)=0,的解,(,x,y,),为坐标的点都在曲线,C,上，那么，方程,f(x,y,)=0,叫做,_,，曲线,C,叫做,_.,曲线,C,的方程,方程,f(x,y,)=0,的曲线,【,即时应用,】,(1),思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足,“,曲线上点的坐标都是这个方程的解,”,，那么这个方程是该曲线的方程吗？,提示：,不一定,.,因为若,“,曲线上点的坐标都是这个方程的解,”,说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分，而非整个方程的曲线,.,(2),思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足,“,以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,”,，那么该曲线是这个方程的曲线吗？,提示：,不一定,.,因为若,“,以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,”,说明这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程,.,(3),方程,x,2,+xy=x,所表示的曲线是,_.,【,解析,】,因为方程,x,2,+xy=x,可化为：,x(x+y-1)=0,，所以,x=0,或,x+y-1=0,，它们表示两条直线,因此方程,x,2,+xy=x,表示的曲线为两条直线,.,答案：,两条直线,2.,求曲线方程的基本步骤,建系,设点,列式,化简,证明,建立适当的平面直角坐标系,轨迹上的任意一点一般设为,P,（,x,y,）,列出或找出动点,P,满足的等式,将得到的等式转化为关于,x,、,y,的方程,验证所求方程即为所求的轨迹方程,【,即时应用,】,(1),已知点,A(-2,0),、,B(-3,0),，动点,P(x,y,),满足,则点,P,的轨迹方程是,_.,(2),已知,ABC,的顶点,B(0,0),，,C(5,0),，,AB,边上的中线长,|CD|=3,则顶点,A,的轨迹方程为,_.,(3),设动点,P,在直线,x=1,上，,O,为坐标原点，以,OP,为直角边，,O,为,直角顶点作等腰直角三角形,OPQ,，则动点,Q,的轨迹是,_.,【,解析,】,(1),由题意得,=(-2-x,-y),=(-3-x,-y),，,所以,=(-2-x,-y),(-3-x,-y),又因为,=x,2,+1,所以,(-2-x,-y),(-3-x,-y)=x,2,+1,化简得：,y,2,+5x+5=0.,(2),设点,A(x,y,),，因为,B(0,0),，,所以,AB,的中点,D,又,C(5,0),|CD|=3,，,所以,化简得：,(x-10),2,+y,2,=36.,又,ABC,中的三点,A,、,B,、,C,不能共线，,所以去掉点,(4,0),和,(16,0).,(3),由题意,设点,P(1,a),Q(x,y),OPQ,为等腰直角三角形,且,OP,为直角边,即,(1,a),(x,y)=x+ay=0 ,由,得,:y,2,=1,，,x,2,=a,2,aR,y,2,=1,即,Q,的轨迹为两条平行直线,.,答案：,(1)y,2,+5x+5=0,(2)(x-10),2,+y,2,=36(,除去点,(4,0),和,(16,0),(3),两条平行直线,直接法求轨迹方程,【,方法点睛,】,1.,直接法,如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含,x,、,y,的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法,.,2.,应用直接法时应注意的问题,(1),在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的,.,(2),若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略,.,【,例,1】,已知直角坐标平面上的点,Q(2,0),和圆,C,：,x,2,+y,2,=1,动点,M,到圆,C,的切线长与,|MQ|,的比等于常数,(,0),，求动点,M,的轨迹方程,.,【,解题指南,】,可设出动点,M,的坐标，依据动点,M,到圆,C,的切线长与,|MQ|,的比等于常数,(,0),即可得出方程,.,【,规范解答,】,设直线,MN,切圆,C,于,N,点，则动点,M,的集合为：,P=M|MN|=,|MQ,|,，因为圆,C,的半径,|CN|=1,所以,|MN|,2,=|MC|,2,-|CN|,2,=|MC|,2,-1,，,设点,M,的坐标为,M(x,y,),，则,化简整理得：,(,2,-1)(x,2,+y,2,)-4,2,x+1+4,2,=0(,0).,【,互动探究,】,本例中的条件不变，求动点,M,的轨迹,.,【,解析,】,由例题解析可知：曲线的方程为：,(,2,-1)(x,2,+y,2,)-4,2,x+1+4,2,=0,，,因为,0,所以当,=1,时，方程化为,4x-5=0,它表示一条直线,;,当,1,时，方程化为：它表示圆心为,半径为 的圆,.,【,反思,感悟,】,1.,从题目的求解可以看出，求轨迹的方程，其关键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系，从而得出方程；,2.,求解轨迹方程时，一定要注意检验，以防产生增根或漏解,.,【,变式训练,】,在平面直角坐标系,xOy,中，点,B,与点,A(-1,，,1),关于原点,O,对称，,P,是动点，且直线,AP,与,BP,的斜率之积等于 ，求动点,P,的轨迹方程,.,【,解析,】,因为点,B,与点,A(-1,，,1),关于原点,O,对称，所以点,B,的坐标为,(1,，,-1),，,设点,P,的坐标为,(,x,y,),，,由题意得,化简得,x,2,+3y,2,=4(x,1),，,故动点,P,的轨迹方程为,x,2,+3y,2,=4(x,1).,【,变式备选,】,已知椭圆,C,的中心为直角坐标系,xOy,的原点，焦点,在,x,轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是,7,和,1.,(1),求椭圆,C,的方程；,(2),若,P,为椭圆,C,上的动点，,M,为过点,P,且垂直于,x,轴的直线上的,点，求点,M,的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线,.,【,解析,】,(1),设椭圆长半轴长及半焦距分别为,a,、,c,，,由已知得 解得,a,4,，,c,3,，所以椭圆,C,的方程为,(2),设,M(x,，,y),，其中,x,4,4.,由已知 及点,P,在椭圆,C,上可得,整理得,(16,2,9)x,2,16,2,y,2,112,，其中,x,4,4.,时，化简得,9y,2,=112.,所以点,M,的轨迹方程为,y,(,4x4),，轨迹是两条平行于,x,轴的线段,.,时，方程变形为,其中,x,4,4,；,当,0,时，点,M,的轨迹为中心在原点、实轴在,y,轴上的双,曲线满足,4x4,的部分；,当 ,1,时，点,M,的轨迹为中心在原点、长轴在,x,轴上的椭,圆满足,4x4,的部分；,当,1,时，点,M,的轨迹为中心在原点、长轴在,x,轴上的椭圆满,足,-4x4,的部分,.,定义法求轨迹方程,【,方法点睛,】,定义法,求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是理解解析几何中有关曲线的定义,.,【,提醒,】,利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量,x,或,y,进行限制,.,【,例,2】,已知动圆,P,与圆,C,1,:(x+5),2,+y,2,=9,和圆,C,2,:(x-5),2,+y,2,=1,都外切，求动圆圆心,P,的轨迹方程,.,【,解题指南,】,设动圆,P,的半径为,r,由动圆,P,与圆,C,1,、圆,C,2,均外切得出,|C,1,P|=r+3,，,|C,2,P|=r+1,，由此得到,|C,1,P|-|C,2,P|=2,，由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程,.,【,规范解答,】,设动圆圆心,P,的坐标为,P(x,y,),，半径为,r,，,因为动圆,P,与圆,C,1,外切，所以,|C,1,P|=r+3,，,又动圆,P,与圆,C,2,外切，所以,|C,2,P|=r+1,，,因此,|C,1,P|-|C,2,P|=2,，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一,支,(,右支,).,由圆,C,1,:(x+5),2,+y,2,=9,和圆,C,2,:(x-5),2,+y,2,=1,可知：,C,1,(-5,0),、,C,2,(5,0),，所以双曲线的实轴长为,2,，焦距为,10,，所以所求轨迹,方程为,(x1).,【,互动探究,】,在本例中：,若动圆,P,与圆,C,2,内切，与圆,C,1,外切，则动圆圆心,P,的轨迹是什么？,若动圆,P,与圆,C,1,内切，与圆,C,2,外切，则动圆圆心,P,的轨迹是什么？,【,解析,】,因为动圆,P,与圆,C,1,外切，所以,|C,1,P|=r+3,，又动圆,P,与圆,C,2,内切，所以,|C,2,P|=r-1,；,因此,|C,1,P|-|C,2,P|=4,，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的右支,.,因为动圆,P,与圆,C,2,外切，所以,|C,2,P|=r+1,，又动圆,P,与圆,C,1,内切，所以,|C,1,P|=r-3,，,因此,|C,1,P|-|C,2,P|=-4,，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的左支,.,【,反思,感悟,】,1.,本例是求轨迹方程，它的特点是利用题设条件，找到符合某种曲线的定义，即得出点的轨迹，进而求出轨迹方程；,2.,利用定义求轨迹或轨迹方程时，一定要注意曲线定义的内涵及外延，有一点不符合定义就有可能得出另外的结论,.,【,变式训练,】,已知,A(-,0),，,B,是圆,F,：,(x-),2,+y,2,=4(F,为圆心,),上一动点，线段,AB,的垂直平分线交,BF,于点,P,，求动点,P,的轨迹方,程,.,【,解析,】,如图，连接,PA.,依题意可知,|PA|=|PB|,，,|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2,P,点轨迹为以,A(-,0),F(,0),为焦点，长半轴长为,1,的椭圆,.,其方程可设为,又,故,P,点的轨迹方程为,【,变式备选,】,如图所示，已知点,C,的坐标,是,(2,，,2),，过点,C,的直线,CA,与,x,轴交于点,A,过点,C,且与直线,CA,垂直的直线,CB,与,y,轴交于,点,B.,设点,M,是线段,AB,的中点，求点,M,的轨迹,方程,.,【,解题指南,】,寻求动点,M,满足的几何条件，利用直接法或定义法；也可设出参数表示出点,A,、,B,的坐标，利用中点坐标公式得,M,的坐标再消参,.,【,解析,】,方法一,(,直接法,),：设,M(x,，,y),，依题意,A,点坐标为,(2x,0),B,点坐标为,(0,，,2y).,依题意知，,O,，,A,，,C,，,B,四点共圆，故,|MA|=|MC|,，,化简得,x+y-2=0.,方法二,(,定义法,),：依题意知，,O,，,A,，,C,，,B,四点共圆，故,|MA|=|MC|=|MO|,即,:|MC|=|MO|,所以动点,M,的轨迹是线段,OC,的中垂线，,故由点斜式方程得到：,x+y-2=0.,方法三,(,参数法,),：,设点,M,的坐标为,(,x,y,).,若直线,CA,与,x,轴垂直,则可得到,M,的坐标为,(1,1).,若直线,CA,不与,x,轴垂直,设直线,CA,的斜率为,k,则,直线,CB,的斜率为,故直线,CA,方程为,y=k(x-2)+2,令,y=0,得 则,A,点坐标为,(2-,0),直线,CB,的方程为,y=(x-2)+2,令,x=0,得,y=2+,，,则,B,点坐标为,(0,2+),由中点坐标公式得,M,点的坐标为,消去参数,k,得到,x+y-2=0(x1),又点,M(1,，,1),在直线,x+y-2=0,上，,综上所述，所求轨迹方程为,x+y-2=0.,相关点,(,代入,),法求轨迹方程,【,方法点睛,】,相关点,(,代入,),法,动点所
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