解的存在唯一性定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,解的存在唯一性定理,和逐步逼近法,内容提要,一阶方程的初值问题,利普希茨条件,存在唯一性定理,概念和定义,定理,1,定理,1,的证明,逐步逼近的思想,定理,2,命题,1,命题,2,命题,3,命题,4,命题,5,一、概念与定义,1.,一阶微分方程,这里,是定义在矩形域,上的连续函数。,问题,：给定初值,，什么条件下解存在且唯一,？,2.,利普希茨条件,函数,在矩形域,上关于,满足利普希茨条件，如果存在常数,二、存在唯一性定理,定理,1,证明思路：,5,个步骤,步骤,1,证明,求解微分方程的初值问题等价于求解,一个积分方程,步骤,2,用逐次迭代法构造一个连续的逐步逼近序,列,步骤,3,证明此逐步逼近序列一致收敛,步骤,4,证明此收敛的极限函数为所求的初值问题,的解,步骤,5,证明连续解的唯一性,命题,1,初值问题,(1.1),等价于积分方程,证明,:,反之,故对上式两边求导,得,且,现在取 构造毕卡逐步逼近函数列如下,注,命题,2,证明,:,(,用数学归纳法，只在正半区证明，另半区类似,),命题,3,证明,:,考虑函数项级数,它的前,n,项部分和为,对级数,(3.9),的通项进行估计,于是由数学归纳法得知,对所有正整数,n,有,现设,命题,4,证明,:,即,命题,5,证明,:,由,综合命题,15,得到存在唯一性定理的证明,.,一 存在唯一性定理,1,定理,1,考虑初值问题,命题,1,初值问题,(3.1),等价于积分方程,构造,Picard,逐步逼近函数列,命题,2,命题,3,命题,4,命题,5,2,存在唯一性定理的说明,3,一阶隐方程解存在唯一性定理,定理,2,考虑一阶隐方程,则方程,(3.5),存在唯一解,满足初始条件,