理学第七章二阶电路

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,7-1 LC,电路的正弦振荡,7-2 RLC,串联电路的零输入响应,过阻尼情况、临界阻尼情况、欠阻尼情况,第七章 二阶电路,重点：,1,电路微分方程的建立,2,特征根的重要意义,3,微分方程解的物理意义,难点：,1,电路微分的解及其物理意义,2,不同特征根的讨论计算,7.1 LC,电路中的正弦振荡,一、定性分析,以仅仅含,电容与电感,的理想二阶电路（即,R=0,，无阻尼情况）来讨论二阶电路的,零输入,时的,电量及能量变化,情况。,+,-,u,0,L,C,i=0,t=0,+,-,u,=0,L,C,I,t=T/4,-,+,u,0,L,C,i=0,t=T/2,i,0,u,0,i,0,-,+,u,=0,L,C,I,t=3T/4,u,0,+,-,u,0,L,C,i=0,t=T,由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随着储能在电场和磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成周而复始的振荡。这种由初始储能维持的振荡是一种,等幅振荡,。,二、定量分析,+,-,u,c,L,C,i,L,下面进一步对,LC,回路中振荡的变化方式作一简单的分析。设,LC,回路如图,7-2,所示，,设,L=1 H,、,C=1F,、,u,C,(0)=1V,、,i,L,(0)=0,-U,0,u,C,i,L,t,t,-I,U,0,I,因此，,LC,回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。,三、,LC,电路的储能,LC,电路的储能为：,并考虑到,L=1H,C=1 F,可得：,储能在任何时刻都为常量。而且,即对所有 ，,这就表明：,储能不断地在电场和磁场之间往返，永不消失。,可以想象，当,存在耗能元件,时的情况。,一种可能是电阻较小,，电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零；,另一种可能是电阻较大,，电容存储的能量在第一次转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。,7.2 RLC,串联电路的零输入响应,一、二阶微分方程的建立,-,+,u,s,(t),8,2H,4,1H,i,2,i,1,写网孔电流方程：,-,-,由 得：,-,-,将 代入消去,i,1,有：,二阶非齐次微分方程,一般形式：,当电路没有输入激励时有,f(t)=0,，方程变为齐次方程：,相应的解为零输入响应。,16,二、,RLC,串联电路的零输入响应,R,K,L,u,L,+,-,i,(t),RLC,串联电路,+,-,u,R,u,c,+,-,C,已知,u,c,(0,-,)=U,0,，,i,L,(0,-,)=0,，,K,于,t=0,时刻闭合，分析,t0,时放电过程中,i(t),、,u,c,(t),由,KVL,：,u,c,=u,R,+u,L,（,t0),即：,两边对,t,微分：,整理为：,整理为：,特征方程：,其中：,s,特征根，又称为电路的,固有频率,。,衰减系数,（决定响应的衰减特性）,谐振角频率,根据,和,0,的相对大小不同，特征根,s,1,2,不同，,对应的解的形式不同，有三种情况：,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,两个待定系数，两个初始条件,u,c,(0,+,)=u,c,(0,-,)=U,0,i,(0,+,)=i(0,-,)=0,可定得系数,由,i,(0,+,)=0,得：,A,1,+A,2,=0 ,又由,u,L,(0,+,)=u,c,(0,+,)-R,i,(0,+,)=U,0,-R0=U,0,得：,将,i,(t),表达式代入并令,t=0,+,有：,L(A,1,S,1,+A,2,S,2,)=U,0,由联立得：,2,t,m,u,L,t,m,i,t,U,0,u,c,t,=0,+,i,=0 ,t=,i,=0,t=t,m,时,i,最大,t,=2,t,m,时,u,L,极小,u,L,(0)=,U,0,t,0,i,0,u,L,(,)=0,由,u,L,=,0,可计算,t,m,由,d,u,L,/,d,t,可确定,u,L,为极小值的时间,t,能量转换关系,:,t,U,0,u,c,t,m,i,0,R,L,C,+,-,R,L,C,+,-,非振荡放电 过阻尼,0,t,t,m,u,c,减小,，,i,减小,.,0,t,m,:,p,c,0,p,R,0,t,m,:,p,c,0,p,L,0,（共轭复根）,由初始条件,i,(0,+,)=0,u,c,(0,+,)=U,0,u,L,(0,+,)=U,0,d,0,d,0,欠阻尼情况,衰减振荡,u,L,U,0,包络线,d,t,0,u,C,-,2-,2,i,+,包络线,u,L,U,0,d,t,0,u,C,-,2-,2,i,+,d,t,-,-,d,t,R,L,C,+,-,R,L,C,+,-,能量转换关系,0,d,t,R,L,C,+,-,u,C,减小，,i,增大,u,C,减小，,i,减小,|u,C,|,增大,，,i,减小,物理解释：,R,较小，耗能较少，电感可反向对电容进行充电（,p,c,有正有负），将所储存的磁场能重新转化为电容的电场能，如此反复，形成振荡，直到能量全部被电阻消耗掉。,s,1,=s,2,=-,可定得系数：,故：,由初始条件,i,(0,+,)=0,u,c,(0,+,)=U,0,u,L,(0,+,)=U,0,U,0,波形,0,t,u,c,(t),i,(t),t,m,临界阻尼情况,波形与过阻尼情况相似，,u,c,单调衰减，无振荡（处于振荡与非振荡的临界状态）。,特例,R,=0,t,L,C,+,-,等幅振荡,无阻尼,d,0,例：,如图,RLC,电路，,R=4,L=1H,u,c,(0)=4V,i,(0)=2A,t=0,时刻,K,闭合，试分别计算（,1,）,C=1/20F,（,2,）,C=1/4F,（,3,）,C=1/3F,时电流,i,(t),。,R,K,L,u,L,+,-,i,(t),RLC,串联电路,+,-,u,R,u,c,+,-,C,解：,电路方程为：,特征方程特征根：,初始条件,i,(0)=2A K,1,=2 ,（,1,）,u,c,(0,+,)=4V ,u,L,(0,+,)=,u,c,(0,+,)-R,i,(0,+,)=-4V,故,-2K,1,+4K,2,=-4 ,（,2,）,由,(1)(2),联立得：,K,1,=2 K,2,=0,由初始条件,i,(0)=2A,可得：,A=2 B=0,（临界阻尼）,故：,（过阻尼）,故：,由初始条件,i,(0)=2A,A,1,=A,2,=1,小结：,可推广应用于一般二阶电路,定积分常数,由,d,0,全响应：,如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激,励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。全响应,是零输入响应和零状态响应的叠加，可以通过求解,二阶非齐次方程方法求得全响应。,动态电路分析,1,线性动态电路的时域分析。,2,电容电压不能跃变的规律，电感电压不能跃变的规律，换路的概念，初始状态与初始条件。,3,一阶电路,微分方程的建立。零输入响应、零状态响应与全响应。时间常数的概念。稳态响应与暂态响应。阶跃函数与阶跃响应。,三要素法,。,4,二阶电路,的时域分析，二阶电路微分方程的建立。二阶电路的零输入响应，,振荡，临界振荡与非振荡,的概念。,