函数的单调性与极值课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,(1),引子,3.3.1,函数的单调性,结论：均为锐角，即每一点的切线斜率都是正的，即,（,1,）观察单调增函数的,图像（右图），当函数,单调增加时，这,条曲线沿轴正向是上升,的。若该曲线是光滑的，,那么在区间 内每一,点的切线都存在，其倾斜角如何？,x,y,o,2,l,1,1,l,2,y,=,f,(,x,),3.3,函数的单调性与极值,(1)引子3.3.1 函数的单调性 结论：均为锐角,(1),引子,3.3.1,函数的单调性,结论：均为钝角，即每一点的切线斜率都是负的，即,（,2,）观察单调减函数的,图像（右图），当函数,单调减少时，这,条曲线沿轴正向是下降,的。若该曲线是光滑的，,那么在区间 内每一,点的切线都存在，其倾斜角又如何呢？,x,y,o,1,l,1,2,l,2,y,=,f,(,x,),(1)引子3.3.1 函数的单调性 结论：均为钝角,(1),引子,3.3.1,函数的单调性,由此可见，函数的单调性与它的导数的符号有着密切的联,系，反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？,?,结论是肯定的,(1)引子3.3.1 函数的单调性由此可见，函数的单调,(2),定理,3.3.1,函数的单调性,设函数 在 内可导：,（,2,）如果在内，则函数在 内单调减少。,（,1,）如果在内，则函数在 内单调增加。,(2)定理3.3.1 函数的单调性设函数 在,(2),定理,3.3.1,函数的单调性,说明,1,：,定理中的开区间换 ，,等其它各种区间，定理的结论仍然成立。,说明,2,：,与 换成与 （等号只在个别点成立），定理的结论是否仍然成立？,(2)定理3.3.1 函数的单调性 说明1：定理中的开区,(3),举例,3.3.1,函数的单调性,例,讨论函数在区间 内的单调性。,解：因为,所以在区间（,-10,，,100,）内,由定理可知,在区间（,-10,，,100,）内单调递增。,(3)举例3.3.1 函数的单调性例讨论函数,(3),举例,3.3.1,函数的单调性,例,2,讨论函数 的单调性。,解：因为,的定义域为,当,时，,当,时，,由定理知,是,的单调递增区间,是,的单调递减区间。,(3)举例3.3.1 函数的单调性例2讨论函数,(3),举例,3.3.1,函数的单调性,由定理可知，讨论函数的单调性，需要根据一阶导数的,符号来进行判定。当 连续时，的正负值的分界点是使,或 不存在的点。,我们把 的点 称为函数 的,驻点,或,稳定点,。,(3)举例3.3.1 函数的单调性 由定理可知,(3),举例,3.3.1,函数的单调性,例,3,求函数 的单调区间。,解：因为,的定义域为,令,得驻点,，列表讨论,x,1,(1,5),(-,1),5,(5,+),+,-,+,所以函数 的单调增区间是 、单调减区间是,(3)举例3.3.1 函数的单调性例3求函数,(3),举例,3.3.1,函数的单调性,例,4,证明：当 时，。,证明：令,则,又因为,所以函数,在,单调增加,即,所以,(3)举例3.3.1 函数的单调性例4 证明：当,(4),训练题一,3.3.1,函数的单调性,1,、讨论函数 的单调性,2,、讨论函数 的单调性。,3,、讨论函数 的单调区间,答案：单调增加区间是 、；单调减少区间是,答案：单调增加区间是 ；单调减少区间是,答案：单调增加区间是 、；单调减少区间是,(4)训练题一3.3.1 函数的单调性1、讨论函数,(1),引子,3.3.2,函数的极值,观察图像：,函数 在点 ，处有,何特点？,显然，在 的周围其,他点的函数值比 小，,在 周围其他点的函数值比,大。,x,y,o,y,=,f,(,x,),x,1,x,2,(1)引子3.3.2 函数的极值观察图像：函数,(2),定义,设函数 在 点某领域内有定义，如果在该领域,内任取一点 ，均有 ，则称,是函数的一个,极大值,，称 为 的,极大值点；,同样，如果在该邻域内任取一点 ，均有,，则称是函数的一个,极小值,，,称为的,极小值点,3.3.2,函数的极值,(2)定义设函数 在 点某领域内有定义，如果在该领,(2),定义,x,y,o,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,a,b,从图中我们可以看到点 、是极大值点，、,是极大值；、是极小值点，、是极小值。,3.3.2,函数的极值,(2)定义 xyox1x2x3x4x5x6ab,(3),定理,函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为,极值点,。,定理（极值存在的必要条件）,如果函数 在点 可导，且在点 处取得极值，则必有 。,3.3.2,函数的极值,(3)定理 函数的极大值与极小值统称为极,(3),定理,定理说明可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不,一定是函数的极值点。那么我们要问哪些驻点才是极值点呢？除,了驻点以外还有哪些点可能成为极值点呢？,3.3.2,函数的极值,(3)定理 定理说明可导函数的极值点一定是函数的驻,(3),定理,定理,（极值的第一充分条件）,设函数在 的某个领域内可导，且 。,如果当时，；当时，,则函,数在 处取得极大值。,如果当时，；当时，则函数在 处取得极小值。,如果在 的两侧，具有相同的符号，则函数在,处不取得极值。,3.3.2,函数的极值,(3)定理 定理（极值的第一充分条件）设函数,(4),求函数极值的基本步骤,由极值第一充分条件，求函数的极值点和极值的步骤为：,（,1,）求函数的定义域。,（,2,）求，解方程，求出驻点，找出使,不存在的点。,（,3,）用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干,子区间；列表考察 在各个子区间内的符号，判,定出函数 在子区间上的单调性，得到极值点。,（,4,）求出各极值点处的函数值，就得到函数 的全部极值。,3.3.2,函数的极值,(4)求函数极值的基本步骤 由极值第一充分条件，求函,(5),举例,例,5,求函数 的极值。,解：因为函数的定义域为,令,得驻点,列表分析,x,0,(0,1),(-,0),1,(1,+),+,-,+,f,(0)=0,f,(1)=-1,所以，,有极大值,极小值,3.3.2,函数的极值,(5)举例 例5 求函数 的极值。,(5),举例,例,6,求函数 的极值。,解：函数的定义域为,当,是,f(x),的不可导点，列表分析,x,+,-,f,(2)=1,2,(-,2),(2,+),所以，函数,f,（,x,）有极大值,3.3.2,函数的极值,(5)举例例6 求函数 的极值。解：函,(6),训练题二,求函数 的极值。,求函数 的极值。,答案：,1.,极小值 ；,2.,极大值 ，极小值,3.3.2,函数的极值,(6)训练题二 求函数,(1),定理,2.,极值第二充要条件,定理（极值的第二充分条件）,设函数 在 处具有二阶导数，且 ，则,当 时，函数 在 处取得极大值。,当 时，函数 在 处取得极小值。,对于不可导点是否为极值点，只能用第一充分条件定理来判断,当 时，用第一充分条件来求函数的极值。,3.3.2,函数的极值,(1)定理2.极值第二充要条件定理（极值的第二充分条件）,(2),举例,2.,极值第二充要条件,例,7,求函数 的极值。,解：因为,令,得,又因为,所以，函数有极大值,极小值,3.3.2,函数的极值,(2)举例 2.极值第二充要条件例7 求函数,(3),训练题三,3.3.2,函数的极值,2.,极值第二充要条件,求函数 的极值。,求函数 的极值。,求函数 的极值。,求函数 的极值。,答案：,1.,极小值 ，极大值 ；,2.,极大值,3.,极小值,;4.,没有极值,(3)训练题三3.3.2 函数的极值2.极值第二充要条件,