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-,*,-,6,垂直关系,6垂直关系,6,.,1,垂直关系的判定,6.1垂直关系的判定,第,1,课时,直线与平面垂直的判定,第1课时直线与平面垂直的判定,1,.,理解直线与平面垂直的概念,.,2,.,掌握直线与平面垂直的判定定理,.,3,.,能运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直,.,1.理解直线与平面垂直的概念.,直线与平面垂直,(1),定义,:,如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都,垂直,那么称这条直线和这个平面垂直,.,(2),画法,:,当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直,.,如图所示,.,直线与平面垂直,(3),判定定理,:,(3)判定定理:,名师点拨,1,.,直线和平面垂直的定义是描述性定义,“,任何一条,”,与,“,所有,”,表达相同的含义,.,2,.,直线与平面垂直是直线与平面相交的特例,.,3,.,由定义可得线面垂直,线线垂直,即若,a,b,则,a,b.,4,.,直线与平面垂直的判定定理告诉我们要证线面垂直可通过线线垂直来完成,.,5,.,由公理,4,可知平行具有传递性,因此两条平行直线中的一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面,.,名师点拨1.直线和平面垂直的定义是描述性定义,“任何一条”与,【做一做,1,】,直线,l,垂直于平面,内的无数条直线,则,(,),A.,l,B.,l,C.,l,D.,以上均有可能,答案,:,D,【做一做,2,】,如图,四棱锥,P-ABCD,的底面是边长为,1,的正方形,PD,BC,PD=,1,PC=,求证,:,PD,平面,ABCD.,证明,:,PD=DC=,1,PC=,PDC,是直角三角形,.,PD,CD.,又,PD,BC,BC,CD=C,BC,平面,ABCD,CD,平面,ABCD,PD,平面,ABCD.,【做一做1】直线l垂直于平面内的无数条直线,则(),题型一,题型二,题型三,【例,1,】,有下列说法,:,已知三棱锥,P-ABC,的高为,PO,且,PA=PB=PC,则点,O,为,ABC,的外心,;,如果直线,l,与平面,不垂直,那么在,内不存在与,l,垂直的直线,;,过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直,;,与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行,;,过平面外一点和这个平面垂直的直线有且只有一条,.,其中正确说法的序号是,.,题型一题型二题型三【例1】有下列说法:,题型一,题型二,题型三,解析,:,答案,:,题型一题型二题型三解析:答案:,题型一,题型二,题型三,反思,在平面几何中,我们有结论,:,经过一点,有且只有一条直线与已知直线垂直,.,在立体几何中,也有类似的重要结论,:,结论,1:,过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条,.,结论,2:,过一点和,已知,直线垂直的平面有且只有一个,.,题型一题型二题型三反思在平面几何中,我们有结论:经过一点,有,题型一,题型二,题型三,【变式训练,1,】,下列命题正确的是,(,),A.,如果一条直线垂直于平面内的一条直线,那么这条直线和这个平面垂直,B.,如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直,C.,如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直,D.,如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线和这个平面垂直,题型一题型二题型三【变式训练1】下列命题正确的是(),题型一,题型二,题型三,解析,:,本题主要考查直线和平面垂直的概念,解决本题关键是理解概念的本质,.,我们以正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,为例,如图,.,直线,A,1,C,1,BD,且,A,1,C,1,与平面,ABCD,内的和,BD,平行的直线都垂直,而,A,1,C,1,与平面,ABCD,平行,故选项,A,B,C,错,正确答案是,D,.,答案,:,D,题型一题型二题型三解析:本题主要考查直线和平面垂直的概念,解,题型一,题型二,题型三,【例,2,】,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,棱长为,1,E,是,BB,1,的中点,O,是底面正方形,ABCD,的中心,.,求证,:,OE,平面,ACD,1,.,分析,:,只需证,OE,AC,OE,D,1,O,即可,.,其中,OE,AC,易证,通过计算可得,D,1,E,2,=D,1,O,2,+OE,2,从而得到,OE,OD,1,.,题型一题型二题型三【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D,题型一,题型二,题型三,题型一题型二题型三,题型一,题型二,题型三,反思,要善于利用平面图形的性质构造线线垂直关系,如等腰三角形底边上的中线、菱形的对角线、勾股定理的逆定理等,这是证明空间垂直关系的基础,解题时要善于挖掘题中隐含条件,.,题型一题型二题型三反思要善于利用平面图形的性质构造线线垂直关,题型一,题型二,题型三,【变式训练,2,】,如图,已知,PA,O,所在的平面,AB,是,O,的直径,C,是,O,上不同于,A,和,B,的任意一点,过点,A,作,AE,PC,于点,E.,求证,:,AE,平面,PBC.,证明,:,PA,平面,ABC,PA,BC.,又,AB,是,O,的直径,BC,AC.,而,PA,AC=A,BC,平面,PAC.,又,AE,平面,PAC,BC,AE.,PC,AE,且,PC,BC=C,AE,平面,PBC.,题型一题型二题型三【变式训练2】如图,已知PAO所在的,题型一,题型二,题型三,易错点,:,推理不严密而致误,【例,3,】,如图所示,已知,=l,PA,于点,A,PB,于点,B,AQ,l,于点,Q,连接,BQ.,求证,:,l,BQ.,错解,:,=l,l,l,又,PA,PA,l.,PB,PB,l.,而,PA,PB=P,l,平面,PAQB,l,BQ.,错因分析,:,PA,PB=P,则,PA,与,PB,确定一个平面,此时还不能确定点,Q,是否在平面,PAB,内,题中不加证明,就认为点,Q,在平面,PAB,内,.,显然是错误的,.,题设中还有条件,AQ,l,显然如果没有,AQ,l,那么,BQ,就不可能垂直于,l.,题型一题型二题型三易错点:推理不严密而致误,题型一,题型二,题型三,正解,:,连接,AB,=l,PA,PB,PA,l,PB,l.,又,PA,PB=P,l,平面,PAB,l,AB.,又,AQ,l,而,AQ,AB=A,l,平面,ABQ,l,BQ.,题型一题型二题型三正解:连接AB,=l,PA,P,题型一,题型二,题型三,【变式训练,3,】,题型一题型二题型三【变式训练3】,题型一,题型二,题型三,证明,:,如图所示,连接,PE,EC,在,Rt,PAE,和,Rt,CDE,中,PA=AB=CD,AE=DE,所以,PE=CE,即,PEC,是等腰三角形,.,又,F,是底边,PC,的中点,所以,EF,PC.,F,是,PC,的中点,所以,BF,PC.,又,BF,EF=F,所以,PC,平面,BEF.,题型一题型二题型三证明:如图所示,连接PE,EC,在RtP,1 2 3 4,1.,若,一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和这个三角形的第三边的位置关系是,(,),A.,平行,B.,垂直,C.,相交不垂直,D.,不确定,解析,:,如果,一条直线垂直于三角形的两条边,那么必垂直于这个三角形所在平面,因而必与第三边垂直,.,答案,:,B,1 2 3 41.若一条,1 2 3 4,2.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的六个面中,与,AA,1,垂直的面的个数是,(,),A.1B.2C.3D.6,答案,:,B,1 2 3 42.在正方,1 2 3 4,3.,在三棱锥,P-ABC,中,最多有,个直角三角形,.,解析,:,如图所示,不妨设,PA,AB,PA,AC,则,APB,和,PAC,均为直角三角形,.,由线面垂直的判定定理知,PA,平面,ABC,即,PA,BC,若,ABC=,90,则,BC,AB,BC,面,PBA,即,PBC=,90,.,ABC,PBC,为直角三角形,故直角三角形最多有,4,个,.,答案,:,4,1 2 3 43.在三棱,1 2 3 4,4.,如图所示,在正方体,A,1,B,1,C,1,D,1,-ABCD,中,E,F,分别是棱,AB,BC,的中点,O,是底面,ABCD,的中心,.,求证,:,EF,平面,BB,1,O.,1 2 3 44.如图所,1 2 3 4,证明,:,如图所示,连接,AC,BD,则,O,为,AC,和,BD,的交点,OB,与,OD,在一条直线上,.,四边形,ABCD,是正方形,AC,BO.,又,B,1,B,平面,ABCD,AC,平面,ABCD,BB,1,AC.,又,BO,BB,1,=B,AC,平面,BB,1,O.,又,E,F,分别是,AB,BC,的中点,在,ABC,中,EF,AC.,EF,平面,BB,1,O.,1 2 3 4证明:如图,
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