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空间几何体的三视图,一个物体的三视图的排列规则,俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视,图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图,的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.,典型例题,(2017北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的,长度为,(),A.3,B.2,C.2,D.2,解析,根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥,P,-,ABCD,)如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为,PD,PD,=,=2,.故选B.,参考答案,B,方法归纳,由三视图还原直观图的思路,(1)根据俯视图确定几何体的底面.,(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整,实线和虚线所对应的棱的位置.,(3)确定几何体的直观图形状.,跟踪集训,1.(2016天津,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为,(),参考答案,B由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观,图,如图所示.,该几何体的侧视图为选项B.故选B.,2.(2016辽宁沈阳教学质量检测(一)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形,一个直角三角形),则,这个几何体可能为,(),A.三棱台B.三棱柱C.四棱柱D.四棱锥,参考答案,B根据三视图的画法法则:长对正、高平齐、宽相等,可得几何,体的直观图如图所示,这是一个三棱柱.,考点二空间几何体的表面积与体积(高频考点),命题点,1.由三视图求空间几何体的体积.,2.由三视图求空间几何体的表面积.,3.根据已知空间几何体求其表面积或体积.,1.柱体、锥体、台体的侧面积公式,(1),S,柱侧,=,ch,(,c,为底面周长,h,为高);,(2),S,锥侧,=,ch,(,c,为底面周长,h,为斜高);,(3),S,台侧,=,(,c,+,c,),h,(,c,c,分别为上、下底面的周长,h,为斜高).,2.柱体、锥体、台体的体积公式,(1),V,柱体,=,Sh,(,S,为底面面积,h,为高);,(2),V,锥体,=,Sh,(,S,为底面面积,h,为高);,(3),V,台,=,(,S,+,+,S,),h,(,S,S,分别为上、下底面面积,h,为高)(不要求记忆).,3.球的表面积和体积公式,(1),S,球表,=4,R,2,(,R,为球的半径);,(2),V,球,=,R,3,(,R,为球的半径).,典型例题,(1)(2017课标全国,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视,图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视,图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形,的面积之和为,(),A.10B.12C.14D.16,A.,B.,C.,D.,(2)(2017,郑州第二次质量预测,),某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为,(,),解析,(1)由多面体的三视图还原直观图如图.,该几何体由上方的三棱锥,A,-,BCE,和下方的三棱柱,BCE,-,B,1,C,1,A,1,组成,其中,面,CC,1,A,1,A,和面,BB,1,A,1,A,是梯形,则梯形的面积之和为2,=12.故选B.,(2)由三视图可知该几何体是底面半径为2、高为4的圆锥的一部分,设,底面扇形的圆心角为,则cos(-,)=,所以,=,所以所求几何体的体积,V,=,2,2,4=,故选D.,参考答案,(1)B(2)D,方法归纳,求解几何体的表面积及体积的方法技巧,(1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公,式是关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转化原则是,其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.,(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转,化为规则几何体进行求解.,跟踪集训,1.(2016课标全国,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆,及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面,积是,(),A.17B.18C.20D.28,参考答案,A由三视图可知,该几何体是一个球被截去,后剩下的部分,设,球的半径为,R,则该几何体的体积为,R,3,即,=,R,3,解得,R,=2.故,其表面积为,4,2,2,+3,2,2,=17.选A.,2.(2017湖南湘中名校高三联考)已知某几何体的三视图如图所示,则该,几何体的体积为,(),A.,B.32C.,D.,参考答案,A由三视图可知,该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长,为4)、高为8的直三棱柱截去一个等底且高为4的三棱锥而得到的,所以,该几何体的体积,V,=,4,4,8-,4,4,4=,故选A.,3.(2017南昌第一次模拟)如图,直角梯形,ABCD,中,AD,DC,AD,BC,BC,=,2,CD,=2,AD,=2,若将该直角梯形绕,BC,边所在直线旋转一周,则所得的几何,体的表面积为,.,参考答案,(,+3),解析,根据题意可知,此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1,高为,1),下半部分为圆柱(底面半径为1,高为1),如图所示.,则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下,底面面积之和,即表面积为1,+21,2,+1,2,=(,+3).,考点三多面体与球的切、接问题,与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分,析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合,适的截面图.,典型例题,(1)(2017课标全国,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周,在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为,(),A.B.,C.,D.,(2)(2016课标全国,10,5分)在封闭的直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,内有一个体,积为,V,的球.若,AB,BC,AB,=6,BC,=8,AA,1,=3,则,V,的最大值是,(),A.4B.,C.6D.,解析,(1)设圆柱的底面圆半径为,r,由题意可得,r,2,+,=1,2,解得,r,=,.,圆柱的体积,V,=,r,2,1=,故选B.,(2)易知,AC,=10.设底面,ABC,的内切圆的半径为,r,则,6,8=,(6+8+1,0),r,所以,r,=2,因为2,r,=43,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积,最大,所以最大球的直径2,R,=3,则,R,=,此时球的体积,V,=,R,3,=,.故选B.,参考答案,(1)B(2)B,方法归纳,多面体与球接、切问题的求解策略,涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点,(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面,几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内接、外切的几何体的直,观图,确定球心的位置,弄清球的半径(或直径)与该几何体已知量的关,系,列方程(组)求解.,跟踪集训,1.(2017石家庄教学质量检测(二)四棱锥,P,-,ABCD,的底面,ABCD,是边长为,6的正方形,且,PA,=,PB,=,PC,=,PD,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都,相切,则该四棱锥的高是,(),A.6B.5C.,D.,参考答案,D过点,P,作,PH,平面,ABCD,于点,H,.由题意知,四棱锥,P,-,ABCD,是,正四棱锥,内切球的球心,O,应在四棱锥的高,PH,上.过正四棱锥的高作组,合体的轴截面如图,其中,PE,PF,是斜高,M,为球面与侧面的一个切点.设,PH,=,h,易知Rt,PMO,Rt,PHF,所以,=,即,=,解得,h,=,故选D.,2.(2017太原模拟试题)已知三棱锥,A,-,BCD,中,AB,平面,BCD,BC,CD,BC,=,CD,=1,AB,=,则该三棱锥外接球的体积为,.,参考答案,解析,因为,BC,=1,CD,=1,BC,CD,所以,BD,=,又,AB,=,且,AB,平面,BCD,所以,AD,=2,AB,CD,所以,CD,平面,ABC,所以,CD,AC,所以三棱锥,A,-,BCD,的外接球的球心为,AD,的中点,半径为1,所以三棱锥,A,-,BCD,的外接球的体积为,.,考点四数学文化与立体几何,典型例题,(2015课标全国,6,5分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学,名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及,为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥,的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆,放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估,算出堆放的米约有,(),A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛,参考答案,B,解析,设圆锥底面的半径为,R,尺,由,2,R,=8得,R,=,从而米堆的体积,V,=,R,2,5=,(立方尺),因此堆放的米约有,22(斛).故,选B.,方法归纳,本题属于生活中谷物储存问题,源于九章算术第五章“商功”,结,合立体几何中的基础知识进行设问,强化了数学文化的传承和数学应用,意识的培养.我国古代数学强调“经世济用”,涉及的研究大多与实际,生活、生产联系紧密,体现出明显的问题式、综合性的特征.,跟踪集训,我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅,提出了著名的祖暅原,理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意,思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积,相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图对应的几何体满足“幂,势同”,则该不规则几何体的体积为,(),A.4-,B.8-,C.8-D.8-2,参考答案,C,由祖暅原理可知,不规则几何体的体积与已知三视图所对应,的几何体体积相等,.,根据题设所给的三视图,可知几何体是从一个正方,体中挖去一个半圆柱得到的,正方体的体积为2,3,=8,半圆柱的体积为,(,1,2,),2=,因此不规则几何体的体积为8-,故选C.,1.(2017广州综合测试(一)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出,的为某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积,为,则该几何体的俯视图可以是,(),随堂检测,32,参考答案,D由题意可得该几何体可能为四棱锥,如图所示,其高为2,其底,面为正方形,面积为2,2=4,因为该几何体的体积为,4,2=,满足条件,所以俯视图可以为一个直角三角形.故选D.,33,2.(2017兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面,积为,(),A.(9+,)B.(9+2,),C.(10+,)D.(10+2,),参考答案,A由三视图可知,该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥,且,圆锥的高是圆柱高的一半.故该几何体的表面积,S,=,1,2,+4,2+,2,=(9+,).,34,3.(2017洛阳第一
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