常微分方程模型课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,微分方程建模,1,微分方程建模1,案例一,、价格波动模型,“,商品价格变化的两大特点,”,：,平衡价格应是,商品供需平衡,的价位；,趋于过程应具有惯性特征：呈现,阻尼震荡,过程特征,建立在,市场经济,下,价格变动模型,具体问题,：试图建立一个,数学模型,，描绘在健全的市场,经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低,的价格将会,自动趋于平衡,。,建模目的,：建立一个价格随时间演变,以,阻尼振荡,方式,逐渐趋于理性的,商品供需平衡价格,的模型。,2,案例一、价格波动模型 “商品价格变化的两大特点”：,(3)商品价格的变化速度,p(t),与市场的,过剩需求,D(t),S(t),有关.,假定它们之间成,正比,:,(2),商品供应,S(t),随价格,p(t),的增大而上升.,假定它们之间的关系也近似为,线性关系,;,建模假设：,(1),商品需求,D(t),随价格,p(t),的增大而下降.,假定它们之间的关系近似为,线性关系,:,3,(3)商品价格的变化速度 p(t)与市,模型建立：,4,模型建立：4,模型分析：,当,时,当,时,结论未能达到建模目的！,说明商品价格是,单调,地趋向平衡价格,.,5,模型分析：当 时,当时,结论未能达到建模目的！,建模假设的,修改,：,(3)*商品价格的变化速度,p(t),与市场的,过剩需求,D(t),S(t),对时间,t,的 累积量有关(即考虑过剩,需求的时间滞后效应).,(2),商品供应,S(t),随价格,p(t),的增大而上升.,假定它们之间的关系也近似为,线性关系,;,(1),商品需求,D(t),随价格,p(t),的增大而下降.,假定它们之间的关系近似为,线性关系,:,假定它们之间成,正比,:,6,建模假设的 修改：(3)*商品价,模型再建立：,商品价格随时间演变而处在,等幅震荡,之中。,结论还未能达到建模目的！,7,模型再建立：商品价格随时间演变而处在 等幅震荡,建模假设的,再次修改,：,假设(1)、(2)不变；,(3),*商品价格的变化速度,p(t),不仅与市场过剩需求,D(t)S(t),对时间,t,的累积量有关,还与当时的价格与平衡价格,p*,的,偏差程度,有关,(即考虑健全的市场有政府宏观调控因素),假定它们之间也成,正比,，且比例系数,仍假定它们之间 成,正比,;,(强调政府宏观调控只是微调)。,8,建模假设的 再次修改：假设(1)、,模型又一,次建立：,商品价格随时间演变而呈现,阻尼震荡,现象,。,该结论达到建模目的！,模型是合理的,9,模型又一 商品价格随时间演变而呈现 阻尼震荡 现象。,生活在同一环境中的各类生物之间，进行残酷的生存竞争，一类动物靠捕食另一类动物为生，被捕食者只能靠又多又快地繁殖后代和逃跑等方式求生存发展，如此等等。设想一海岛，居住着狐狸和野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之茂盛，兔子们无无食之忧，于是大量繁殖。兔子一多，狐易得食，狐量亦增。而由于狐狸数目增,案例二 生物种群的弱肉强食模型,10,生活在同一环境中的各类生物之间，进行残酷,多吃掉大量的兔子，狐群又进入饥饿状态而使其总数下降，这时兔子相对安全些，于是兔子总数回升。这样，狐兔数量交替增减，无休止地循环，遂形成生态的动态平衡。意大利著名生物数学家沃特拉（Volterra)对上述现象建立了下述模型,（1）,11,多吃掉大量的兔子，狐群又进入饥饿状态而使其总数下降，这时兔子,其中,x,(,t,)表示,t,时刻兔子的数目，,y,(,t,)是狐狸数，,ax,项表示兔子繁殖速度与兔子现存总数比例，-,bxy,项表示狐兔相遇兔子被吃的速度，-,cy,项表示狐狸因为同类竞争食物造成的死亡速度与狐狸数成正比，+,dxy,项表示狐兔相遇对狐狸有好处而使狐狸繁衍增加的速度。看来这一模型表达了达尔文主义思想，而且数学分析之后还会充实和精确表达上述直观思想。,12,其中 x(t)表示 t 时刻兔子的数目，y(t)是狐狸数，,方程组等价于,积分得,（2）,13,方程组等价于积分得（2）13,从,（2）,解不出,y=f,(,x,)这种显式解，沃特拉发明了一种巧妙的办法：在,xOy,平面上画出,x,(,t,)与,y,(,t,)变化相关性的相图。令,其中,C,由初始值,x,0,，,y,0,定出为,于是绘出,图1,14,从（2）解不出 y=f(x)这种显式解，沃特拉发明了一种巧妙,图 1,15,图 115,在L,4,上，随,t,的增加，动点（,x,(,t,)，,y,(,t,)依逆时针而动，事实上，点,s,是使,L,1,：,z=w,L,2,：,z=y,a,e,-by,；,L,3,：,w=Cx,-c,e,dx,；,L,4,：狐兔曲线。,的,平衡点,（或称,奇点,）.,此时,考虑点,P,2,，,P,2,的横坐标大于 ,故在,P,2,点，,y,增加，在,P,2,处向上运动，可见是逆时针运动。,16,在L4上，随 t 的增加，动点（x(t)，y(t)依逆时,现在考虑对两个物种同时进行捕捉，既抓兔子也捉狐狸，于是，模型,（1）,变成修正模型：,（3）,17,现在考虑对两个物种同时进行捕捉，既抓兔子也捉,从,图 1,中已经看到，,x,(,t,)，,y,(,t,)是周期为,T,的周期函数，同理,（3）,的解,x,(,t,)、,y,(,t,)也是周期函数。,对于,（1）,，,x,(,t,)，,y,(,t,)的平均值 为：,18,从图 1中已经看到，x(t)，y(t)是周期为T 的周期函数,又,得：,而,19,又得：而19,故,于是,同理可得,20,故 于是 同理可得20,对于,（10）,则得,由,（4）,可知，当捕捉率 不超过兔子的繁殖率,a,时，兔子反而会增加，狐狸要减少，反过来，捕捉率降低，平均而言，会增加狐狸的数目，而减少兔子的数目。,（4）,21,对于（10）则得由（4）可知，当捕捉率 不超过兔子的,意大利生物学家棣安奇纳（D.Ancona）发现，第一次世界大战那些年代，地中海各港口捕鱼量百分比表明，掠肉鱼（例如鲨鱼）的百分比急剧增加，从上述数学分析中，对这种现象已经有了理论上的解释。事实上，那时战火连天，渔民大量停业，使捕捉率下降，所以相当于狐狸的掠肉鱼明显增加。,这种结论在农业防治病虫害上有很大意义，例如，有两个物种（可能是两,22,意大利生物学家棣安奇纳（D.Ancona）发现，第一次世界大,种昆虫或害虫与青蛙等），一者是作物的害虫，一者是害虫的天敌，若施农药不当，虽然可以杀灭一些害虫，但同时也杀死了害虫的天敌，这一“捕捉行为”的实施，由上述结论知，可能造成天敌的减少，害虫的增多，事与愿违，与其施用少量农药治虫，不如采用生物治虫的办法。,23,种昆虫或害虫与青蛙等），一者是作物的害虫，一者是害虫的天敌，,附:,24,附:24,25,25,26,26,数值解法:,27,数值解法:27,28,28,%例1：求微分方程初值问题dy/dx=-2y/x+4x，y(1)=2在1，3 区间内的数值解，并将结果与解析解进行比较。,function example1(),clc;,clear;,X,Y=ode45(fxy,1,3,2);,x=X%显示自变量的一组采样点,y=Y%显示求解函数与采样点对应的一组数值解,y1=(X.2+1./X.2)%显示求解函数与采样点对应的一组解析解,dy=y-y1%显示求解函数与采样点对应的一组解析解,function f=fxy(x,y),f=-2*y/x+4*x;,29,%例1：求微分方程初值问题dy/dx=-2y/x+4x，y(,例2:求解常微分方程组初值问题在区间0,4中的解。,function example2(),X,Y=ode45(fxy,0,4,5,6);,x=X%显示自变量的一组采样点,y=Y%显示求解函数与采样点对应的一组数值解,plot(X,Y);%画出解的变化曲线,function f=fxy(x,y),f(1)=y(1)(1/3)*y(2);,f(2)=-x.*y(2)+x.2-5;,f=f;,30,例2:求解常微分方程组初值问题在区间0,4中的解。fu,31,31,