第四节定积分的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,比较 的左、右两,端，即知 相当于,这样的说明具有非常重要的意义。一般地，,设欲求量为,Q,。可这样做：,(1),在区间,a,b,上任取一个小区间,x,x+dx,Q,在此区间上的部分量记为 。求出,称,f(x)dx=dQ,为,Q,的微分元素,(,微元、元素,),(2),求和、取极限得,上述方法称为微元法（元素法）。,注意：,（,1,）与,dQ=f(x)dx,之差应是,dx,的高阶无穷小量。实际中此性质往往满足（一般不必验证）。,（,2,）可加性：所求量,Q,必须确可分解为部分量 之和（此时称,Q,具有对区间的可加性，简称,Q,具有可加性）,（此两条性质是微元法能使用的前提）,二、定积分的几何应用,1.,平面图形的面积,（,1,）直角坐标情形,设,f(x),g(x),均为连续函数。求由曲线,y=f(x),y=g(x),x=a,与,x=b,所围图形的面积,y=f(x),y=g(x),x,x+dx,O,a,b,x,y,解：在区间,a,b,上任取一个小区间,x,x+dx,，则面积元素为,dA=f(x),-,g(x)dx,(,即微小矩形的面积,),故所求面积为,例,1,求由曲线,y=x,2,与 所围成图形的面积（如右图）,y=x,2,1,x,y,O,1,dx,类似地，若图形由连续曲线,x=f(y),x=g(y),y=c,y=d,所围，则面积,x=f(y),x=g(y),dy,c,d,x,y,O,例,2,计算抛物线,y,2,=2x,与直线,y=x,-,4,所围成的图形面积（如右图）。,2,4,6,8,2,4,O,-,2,x,y,x=y+4,B(8,4),A(2,-,2),dy,例,3,求椭圆,(a 0,b 0),所围,的面积。,x,y,b,a,O,总结：求平面图形面积的步骤：,（,i,）作图，确定积分变量及积分区间,（,ii,）求面积元素,（,iii,）计算定积分,（,2,）极坐标情形,O,x,曲边扇形：由曲线,及射线,所围成的图形（如右图）。,现求其面积,A,：在区间 上任取一个小区间 ，得,故,例,4,求心形线 所围图形的面积（,a 0,）。,O,x,a,2.,旋转体的体积,求由曲线,y=f(x),直线,x=a,x=b,及,x,轴所围成的曲边梯形绕,x,轴旋转所成的旋转体的体积。,a,x,x+dx,b,x,y,O,y=f(x),解：在,a,b,上任取一个小区间,x,x+dx,，得体积元素为,故,类似地，由曲线 直线,y=c,y=d,及,y,轴所围成的曲边梯形绕,y,轴旋转所成旋转体的体积为,c,d,y,y,y+dy,x,O,公式总结：,绕,x,轴旋转：,绕,y,轴旋转：,例,5,求椭圆 分别绕,x,轴和,y,轴,旋转所成旋转体的体积（如下图）。,x,y,O,绕,x,轴：,绕,y,轴：,y,x,O,a,b,a,b,注意：空心旋转体的体积可化为两个实心旋转体体积之差。,例如，大家可考察如下图所示的环面体（如：汽车轮胎等）,x,y,O,它可看成是由,xOy,平面上的一个圆（圆心在,y,轴上）绕,x,轴旋转所成的旋转体。,圆,其中,y,1,y,2,分别为上、下半圆的纵坐标,;r,为圆的半径,布置作业：,P206:1(1)(3).2(1)(6)(7).4(1)(2),