第8章 积分的MATLAB求解

,Click to edit the title text format,Click to edit the outline text format,Second Outline Level,Third Outline Level,Fourth Outline Level,Fifth Outline Level,Sixth Outline Level,Seventh Outline Level,Eighth Outline Level,Ninth Outline Level,Click to edit the title text format,Click to edit the outline text format,Second Outline Level,Third Outline Level,Fourth Outline Level,Fifth Outline Level,Sixth Outline Level,Seventh Outline Level,Eighth Outline Level,Ninth Outline Level,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,8,章,积分的,MATLAB,求解,编者,Outline,8.1,不定积分,8.2,定积分,8.3,反常积分,8.4,积分的数值求解,8.1,不定积分,1.,不定积分的,定义,如果,在区间,上,，可,导函数,的导函数,为,，即对任一,，,都有,或,那么函数,就,称为,在区间,上,的原函数。,函数,的,带有任意常数项的原函数,称为,在,区间,上,的不定积分，记,作,其中,记号,称为,积分号,，,称为,被积函数,，,称为,被积表达式，,称为,积分变量，也即,。,2.,不定积分的,几何,意义,函数,的,一个,原函数,的,图像,称为,的,一条积分曲线。对于任意常数,，,表示,的是一族曲线，我们称这个曲线族,为,的,积分曲线族。因此,，,在,几何上表示的,是,的,积分曲线族，而,正是,积分曲线的斜率。积分曲线族中的每一条曲线在对应于同一,横,坐标,处,的切线都有相同的,斜率,，,所以在这些点处，它们的切线相互平行，并且任意两条积分曲线的纵坐标之间相差一个常数。因此，积分曲线族中的每一条曲线都可以由,曲线,沿,轴,上下移动而得到，如,图所,示,。,图,曲线,的积分曲线,族,3.,不定积分的,MATLAB,符号求解,MATLAB,符号运算工具箱中提供了,int,函数来求函数的不定积分，该函数的调用格式为：,int(fx,x)%,求函数,f(x),关于,x,的不定积分,8.2,定积分,1.,定积分的,定义,设函数,在,上,有界，,在,中,任意插入若干个,分点,把,区间,分成,个,小区间,各个小区间的长度依次,为,在每个小,区间,上任,取一点,，,作函数,值,与,小区间,长度,的,乘积,，,并作,和,记,，,如果不论,对,怎样,划分，也不论在小,区间,上点,怎么,选取，只要,当,时,，,和,总,趋于确定的,极限,，那么称这个,极限,为,函数,在区间,上,的定积分，记,作,，即,其中,叫做,被积函数,，,叫做,被积表达式,，,叫做,积分变量,，,分别,叫做积分下限和积分上限,，,叫做,积分区间。,2.,定积分的,几何,意义,设,在区间,上,非负、连续。由,直线,及,曲线,所,围成的图形，我们称之为曲边梯形。,我们,知道，矩形的高是不变的，它的面积可按公式,矩形,面积,=,高,底,来定义和计算。而曲边梯形在底边上各点处的,高,在区间,上是变动的，故它的面积不能直接按上述公式来定义和计算。然而由于曲边梯形的高,在,区间,上,是连续变化的，在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变。因此，如果把,区间,划分为许多小区间，在每个小区间上用某一点处的高度来近似代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高，那么，每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形，如,图所,示,。,图,曲边梯形面积的近似求法,这样,我们就可以将所有这些窄矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值。,即,这,也就是说，若,在,上,，,则,定积分,在,几何上表示由曲线,、,轴,及两条,直线,所,围成的曲边梯形的面积，这就是定积分的几何意义。若,在,上,，则定积分,在,几何上表示由曲线,、,轴,及两条直线,所,围成的曲边梯形的面积的负值；若,在,上,既取得正值又取得负值时，,定积分,表示,轴上方图形面积,减去,轴,下方图形面积所得之差。,3.,定积分的,MATLAB,符号求解,MATLAB,中用于求解定积分的符号函数仍是,int,，此时，其调用格式为：,int(fx,x,a,b),%,求函数,f(x),关于,x,的在区间,a,b,上的,定积分,4.,定积分,的几何,应用,1.,平面图形面积的计算,设,在,区间,上,曲线,位于,之上,，如,图,a,）所示，则这两条曲线与,直线,和,所,包围的面积,为,更,一般地，若没有指定两条曲线的位置关系，则它们所包围的面积,为,有时平面图形的边界曲线方程,是,关于,的,单值函数，这样，介于,曲线,和,与直线,和,所,包围的面积（示意图如,图,b,）所示）,为,a,）,曲线,和,所,夹图形,b,）,曲线,和,所,夹图形,图,平面图形的面积,对于,采用极坐标的函数，计算由极坐标方程,所,表示的曲线与矢,径,和,之间,的面积,为,2.,立体体积的计算,立体,体积的计算一般分为两类：一类是平行截面面积为已知的立体的体积计算，另一类是旋转体的体积计算。,平行截面面积为已知的立体的体积,如果,已知某立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积可以用定积分来计算。如,图所,示，取上述定轴,为,轴，并设该立体在过,点,且,垂直,于,轴,的两个平面之间。以,表示,过,点,轴,的截面面积。假定,为,的,已知的连续函数。这时，取,为,积分变量，它的变化区间为,；,立体中相应,于,上任,一小区间,的,一薄片的体积，近似于底面积,为,，,高为,的,扁柱体的体积，即体积,元素,以,为,被积表达式，在,闭区间,上,作定积分，便得所求立体的体积,图,平行,截面面积已知的立体体积,旋转体的体积,旋转体,都可以看作是由连续,曲线,、直线,及,轴,所围成的曲边梯形,绕,轴,旋转一周而成的立体。现在,我们,考虑用定积分来计算这种旋转体的体积。,如图,1,所,示，取横坐标,为,积分变量，它的变化区间为,。,相应于,上,的任一小,区间,的,窄,曲边梯形绕,轴旋转而,成的薄片的体积近似于以,为,底半径,、,为,高的扁圆柱体的体积，即体积,元素,以,为,被积表达式，在闭区间,上,作定积分，便得所求旋转体体积,为,类似,地，我们可以推出由曲线,、,直线,及,轴,所围成的曲边梯形,绕,轴,旋转一周而成的旋转体（如,图,2,所,示）的体积,为,图,1,平面图形绕,x,轴旋转的旋转体,图,2,平面曲线绕,y,轴旋转的旋转体,3.,平面曲线弧长的,计算,设,曲线弧由参数,方程,给出，,其中,在,上,具有连续导数，且,不,同时为零。现在来计算这曲线弧的长度。,取,参数,为,积分变量，它的变化区间,为,，,相应,于,上任,一小区间,的,小弧段的,长度,近似,等于对应的弦的长度,，因为,所以，,的近似值（弧微分）即弧长元素,为,于是,所求弧长,为,当曲线弧由极坐标,方程,给出，,其中,在,上,具有连续导数，则由直角坐标与极坐标的关系可,得,这就是以极,角,为,参数的曲线弧的参数方程。以下过程同上面的推导，这里从略。,8.3,反常积分,1.,无穷限的,反常积分,设,函数,在,区间,上,连续，,取,，如果,极限,存在,，则称此极限为函数,在,无穷,区间,上,的反常积分，记,作,，即,这时也称,反常积分,收敛,；如果上述极限不存在，则,函数,在区间,上,的反常积分,就,没有意义，习惯上,称为反常积分,发散,，这时记号,不再,表示数值,。,类似,地，设,函数,在,区间,上,连续，取,，,如果,极限,存在,，则称此极限为,函,数,在无穷区间,上,的反常积分，记作,，即,这时,也称,反常积分,收敛,；如果上述极限不存在，则称,反常积分,发散,。,设,函数,在区间,上连续，如果反常积分,和,都,收敛，则称上述两反常积分之和为函数,在,无穷,区间,上的反常积分，记,作,，即,这时,也称,反常积分,收敛,；否则就称反常积分,发散,。,2.,无界函数的反常积分,如果函数,在点,的,任一邻域内都无界，,那么点,称为函数,的瑕点（也称为无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。,设函数,在,上,连续，,点,为,函数,的,瑕点，,取,，如果,极限,存,在,，则称此极限为函数,在,上,的反常积分，仍然记,作,，,即,这时,也称,反常积分,收敛，如果上述极限不存在，则称,反常积分,发散,。,类似,地，设,函数,在,上,连续，点,为函数,的,瑕点，,取,，如果,极限,存在，则,定义,否则,，就称,反常积分,发散。,设函数,在,上,除点,外,连续，,点,为,函数,的,瑕点，如果两个,反常,积,分,和,都,收敛，则,定义,否则，就称反常积分,发散,。,3.函数,本,小节将介绍在理论上和应用上都有重要意义,的,函数。该函数的数学定义如下：,这个,积分的积分区间为无穷，所以它是一个无穷限的反常积分；又,当,时,，,是被积函数的瑕点，因此此时它又是一个无界函数的反常积分。,根据,相关知识可以,证明,函数,对,均,收敛，,MATLAB,中提供了求,函数,值的函数文件,gamma,，该函数的调用格式为：,Y,=gamma(X),8.4,积分的数值,求解,1.,定积分的数值求解,插值,型求积方法,设,给定一组,节点,且,已知函数,在,这些节点上的值,为,，,则可,作,次插值多项式,其中,是,插值基函数,。,由于,是,一个,次,多项式，因此其原函数是很容易就能求得的。用,代替被积函数,有,其中,。,下面,我们来讨论求积系数,的,计算，为了方便，我们去等距节点，即把积分,区间,分为,等份,，,令,步长,，则,作变换,代入,求积,系数,中得,这种,等距节点的插值型求积公式通常称为,Newton-Cotes,公式。,Gauss,求积方法,由,Newton-Cotes,求积公式,知,，,节点,是,等间距的,，,也,是确定的,，,为待,定参数。现在不,固定,，即把它也看成待确定参数，这样上式就可能对,次,多项式精确成立，即对,精确,。至于系数,和,节点,可以,通过方程组的相关知识求解,。,为,叙述方便，这里仅讨论,的,情形，积分区间取,为,（,因为对于一般的区间,可,作,变换,使,变为,），,则现在的问题是,求,和,，使得,至少具有,3,阶代数精度,。,如图所示,，,从,几何上直观地看，就是要找到,和,，使通过,点,及,点,的直线,在区间,上,围成的面积与,在区间,上,围成的面积相等,。,图,两,点,Gauss,求积公式几何意义,为此,，我们可以令,，得到,方程组,解,此方程组,得,因此,，求积公式,为,其中节点,称为,高斯点,，,称为,高斯系数。,MATLAB,自带定积分数值求解函数,虽然,前面介绍的自编,MATLAB,函数能够求解一般的数值积分，但是也有其一定的局限性，不过,MATLAB,自身也提供了好多求解数值积分的专用函数，比如,trapz,函数，,quad,函数，,quadl,函数等,。,trapz,函数,MATLAB,中的,trapz,函数是基于复化梯形公式设计编写的，其一般调用格式为：,I=trpaz(x,y,dim),quad,函数,MATLAB,提供的,quad(),函数是基于自适应辛普森法设计的，该函数的调用格式为：,q,fcnt=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,.),【,说明】,MATLAB,还提供了一个新的函数,quadl,。其调用格式与,quad(),函数完全一致，使用的算法是自适应,Lobatto,算法，其精度和速度均远高于,quad,函数，所以在追求高精度数值解时建议