空间几何体的结构及其三视图和直观图

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,(3),棱台可由,的平面截棱锥得,到，其上下底面的两个多边形相似,.,2.,旋转体的结构特征,(1),圆柱可以由矩形绕其,旋转得到,.,(2),圆锥可以由直角三角形绕其,旋转得到,.,(3),圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等,腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由,的平面截圆锥得到,.,(4),球可以由半圆或圆绕其,旋转得到,.,平行于棱锥底面,一边所在直线,一条直角边所在,直线,平行于圆锥底面,直径,3.,空间几何体的三视图,空间几何体的三视图是用,得到,这种投,影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平,面图形的形状和大小是,的,三视图包括,、,、,.,4.,空间几何体的直观图,画空间几何体的直观图常用,画法，基,本步骤是：,(1),在已知图形中取互相垂直的,x,轴、,y,轴，两轴,相交于点,O,画直观图时,把它们画成对应的,x,轴、,y,轴,两轴相交于点,O,且使,x,O,y,.,正投影,完全相同,斜二测,=45,（或,135,）,正视图,侧视图,俯视图,(2),已知图形中平行于,x,轴、,y,轴的线段，在直观,图中平行于,.,(3),已知图形中平行于,x,轴的线段,在直观图中长,度保持不变，平行于,y,轴的线段,，,长度变为,.,(4),在已知图形中过,O,点作,z,轴垂直于,xOy,平面，,在直观图中对应的,z,轴也垂直于,x,O,y,平,面,已知图形中平行于,z,轴的线段，在直观图中,仍平行于,z,轴且长度,.,x,轴、,y,轴,原来,的一半,不变,5.,中心投影与平行投影,(1),平行投影的投影线,，而中心投影的,投影线,.,(2),从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画,出的直观图都是在,投影下画出来的图形,.,互相平行,相交于一点,平行,基础自测,1.,一个棱柱是正四棱柱的条件是（）,A.,底面是正方形，有两个侧面是矩形,B.,底面是正方形，有两个侧面垂直于底面,C.,底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两,两垂直,D.,每个侧面都是全等矩形的四棱柱,解析,根据正四棱柱的结构特征加以判断,.,C,2.,用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是,圆，则这个几何体一定是（）,A.,圆柱,B.,圆锥,C.,球体,D.,圆柱、圆锥、球体的组合体,解析,当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截,面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面,都是圆面,.,C,3.,如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥,的顶角,(,圆锥轴截面中两条母线的夹角,),是,(),A.30 B.45,C.60 D.90,解析,设母线为,l,底面半径为,r,，则,l,=2,r,.,母线与高的夹角为,30.,圆锥的顶,角为,60.,C,4.,三视图如下图的几何体是 （）,A.,三棱锥,B.,四棱锥,C.,四棱台,D.,三棱台,解析,由三视图知该几何体为一四棱锥，其中,有一侧棱垂直于底面,底面为一直角梯形,.,故选,B.,B,5.,等腰梯形,ABCD,，上底,CD,=1,，腰,AD,=,CB,=,，下,底,AB,=3,，以下底所在直线为,x,轴，则由斜二测画,法画出的直观图,A,B,C,D,的面积为,.,解析,题型一 几何体的结构、几何体的定义,设有以下四个命题：,底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；,底面是矩形的平行六面体是长方体；,直四棱柱是直平行六面体；,棱台的相对侧棱延长后必交于一点,.,其中真命题的序号是,.,利用有关几何体的概念判断所给命题,的真假,.,题型分类 深度剖析,解析,命题符合平行六面体的定义,故命题是,正确的,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底,面不垂直,故命题是错误的,因直四棱柱的底面,不一定是平行四边形,故命题是错误的,命题,由棱台的定义知是正确的,.,答案,解决该类题目需准确理解几何体的定,义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通,过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错,误的，设法举出一个反例即可,.,知能迁移,1,下列结论正确的是（）,A.,各个面都是三角形的几何体是三棱锥,B.,以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余,两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥,C.,棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则,此棱锥可能是六棱锥,D.,圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线,都是母线,解析,A,错误,.,如图所示，由两个结构,相同的三棱锥叠放在一起构成的几何,体,各面都是三角形，但它不一定是棱锥,.,B,错误,.,如下图，若,ABC,不是直角三角,形或是直角三角形,但旋转轴不是直角,边，所得的几何体都不是圆锥,.,C,错误,.,若六棱锥的所有棱长都相等，,则底面多边形是正六边形,.,由几何图形知，若以正,六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长,.,D,正确,.,答案,D,题型二 几何体的直观图,一个平面四边形的斜二测画法的直观图,是一个边长为,a,的正方形,则原平面四边形的面,积等于,(),A.B.C.D.,按照直观图的画法，建立适当的坐,标系将正方形,A,B,C,D,还原，并利用平面,几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注,意线段和角的变化规律,.,解析,根据斜二测画法画平面图形的直观图的规,则可知,在,x,轴上,(,或与,x,轴平行,),的线段,其长度保持,不变,;,在,y,轴上,(,或与,y,轴平行,),的线段,其长度变为原,来的一半,且,x,O,y,=45(,或,135),所以,若设原平面图形的面积为,S,则其直观图的面积为,可以得出一个平面图形的面积,S,与它的直观图的面积,S,之间的关系是,S,=,本题中直观图的面积为,a,2,，,所以原平面四边形的面积,答案,B,对于直观图,除了解斜二测画法的规,则外,还要了解原图形面积,S,与其直观图面积,S,之间的关系,S,=,能进行相关问题的计算,.,知能迁移,2,如图所示，直观图四边形,A,B,C,D,是一个底角为,45,，,腰和上底均为,1,的等腰梯形，那么原平面图形的面,积是,.,解析,把直观图还原为平面图形得：,直角梯形,ABCD,中，,AB,=2,，,BC,=1+,，,AD,=1,，,答案,题型三 几何体的三视图,(2009,山东,),一空间几何体的三视图,如图所示，则该几何体的体积为（）,A.B.,C.D.,由几何体的三视图，画出几何体的直,观图，然后利用体积公式求解,.,解析,该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，,圆柱的底面半径为,1,，高为,2,，体积为,2,，四棱锥,的底面边长为 ，高为 ，所以体积为,所以该几何体的体积为,答案,C,通过三视图间接给出几何体的形状,打,破以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关,运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何体,有机结合,这也体现了新课标的思想,.,知能迁移,3,一个几何体的三视图如图所示，其中正,视图与侧视图都是边长为,2,的正三角形，则这个几,何体的侧面积为 （）,A.B.C.D.,解析,由三视图知，该几何体为一圆锥，其中,底面直径为,2,，母线长为,2,，,S,侧,=,rl,=12=2.,B,题型四 多面体与球,（,12,分）棱长为,2,的正四面体的四个顶点,都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面,如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）,的面积,.,截面过正四面体的两顶点及球心，,则必过对边的中点,.,解,如图所示，,ABE,为题中的三角形，,4分,8,分,解决这类问题的关键是准确分析出组,合体的结构特征,发挥自己的空间想象能力,把立,体图和截面图对照分析,有机结合,找出几何体中,的数量关系,为了增加图形的直观性,常常画一个,截面圆作为衬托,.,12,分,知能迁移,4,在一个倒置的正三棱锥容器内,放入,一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经,过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形,是,(),解析,正三棱锥的内切球心在高线上,与侧面有,公共点,与棱无公共点,.,B,方法与技巧,1.,棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质，并能,灵活应用,.,2.,正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底,面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面,边长的一半构成的直角三角形中解决,.,3.,圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这,一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面,.,思想方法 感悟提高,失误与防范,1.,台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截,面与底面平行,.,2.,掌握三视图的概念及画法,在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面,的交线是它们的分界线,.,在三视图中，分界线和可,见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚,线,.,并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样,宽”,.,3.,掌握直观图的概念及斜二测画法,在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段,.,“,平行于,x,轴的线段平行性不变，长度不变；,平行于,y,轴的线段平行性不变，长度减半,.”,4.,能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；,也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图,.,提升空间想象能力,.,一、选择题,1.,如图是由哪个平面图形旋转得到的 （）,解析,几何体的上部为圆锥，下部为圆台，只,有,A,可以旋转得到，,B,得到两个圆锥，,C,得到一圆,柱和一圆锥，,D,得到两个圆锥和一个圆柱,.,A,定时检测,2.,下列命题中，成立的是 （）,A.,各个面都是三角形的多面体一定是棱锥,B.,四面体一定是三棱锥,C.,棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一,定是正棱锥,D.,底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱,相等的棱锥一定是正棱锥,解析,A,是错误的，只要将底面全等的两个棱锥,的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是,三角形，但这个多面体不是棱锥；,B,是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形,是四面体也必定是个三棱锥；,C,是错误的，如图所示，棱锥的侧面,是全等的等腰三角形，但该棱锥,不是正三棱锥；,D,也是错误的，底面多边形既有内切,圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，,因此不是正棱锥,.,答案,B,3.,下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图,相同的是 （）,A.B.,C.D.,解析,在各自的三视图中正方体的三个视图,都相同；圆锥的两个视图相同；三棱台的,三个视图都不同；正四棱锥的两个视图相同，,故选,D.,D,4.,（,2008,广东）,将正三棱柱截去三个角,(,如图,1,所,示），,A,，,B,，,C,分别是,GHI,三边的中点得到几何,体如图,2,，则该几何体按图,2,所示方向的侧视图,（或称左视图）为 （）,解析,当三棱锥没有截去三个角时的侧视图如图,（,1,）所示，由此可知截去三个角后的侧视图如,图（,2,）所示,.,答案,A,5.,已知,ABC,的直观图是边长为,a,的等边,A,1,B,1,C,1,(,如图,),，那么原三角形的面积为 （）,A.B.,C.D.,解析,在原图与直观图中有,OB,=,O,1,B,1,，,BC,=,B,1,C,1,.,在直观图中，过,A,1,作,A,1,D,1,B,1,C,1,，,因为,A,1,B,1,C,1,是等边三角形，,所以,A,1,D,1,=,在,Rt,A,1,O,1,D,1,中，,A,1,O,1,D,1,=45,，,O,1,A,1,=,根据直观图画法规则知：,ABC,的面积为,答案,C,6.,棱长为,1,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的,8,个顶点都在,球,O,的表面上,E,、,F,分别是棱,AA,1,、,DD,1,的中点，则,直线,EF,被球,O,截得的线段长为 （）,A.B.1 C.D.,解析,由题知球,O,半径为 ，球心,O,到直线,EF,的距离为 ，由垂径定理可知直线,EF,被球,O,截,得的线段长,D,二、填空题,7.,用任一个平面去截正方体，下列平面图形可能是,截面的是,.,正方形；长方形；等边三角形；直角,三角形；菱形；六边形,.,解析,如图所示正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，平行于,ABCD,