清华大学数学实验6-非线性方程求解课件

大学数学实验,Mathematical Experiments,实验6 非线性方程求解,大学数学实验Mathematical Experiments,什么叫方程（组）?,方 程,：包含未知数（或/和未知函数）的等式,方程组,：包含未知数（或/和未知函数）的一组等式,不包含未知函数的方程组的一般形式：F(x)=0,x=(x,1,x,2,x,n,),T,F(x)=(f,1,(x),f,2,(x),f,m,(x),T,(一般m=n),满足方程（组）的未知数的取值称为方程（组）的,解,，或称为F(x)的,零点,。,单变量方程（一元方程）：f(x)=0,“解”也称为“,根,”,什么叫方程（组）?方 程：包含未知数（或/和未知函数）,非线性方程的特点,方程根的特点：,n,次代数方程有且只有,n,个根(包括复根、重根)；,5次以上的代数方程无求根公式；,超越方程有无根，有几个根通常难以判断。,方程分类：,代数方程,:,a,0,x,n,+a,1,x,n,-1,+a,n,=0；,超越方程,：包含超越函数(如sin,x,ln,x,),的方程；,非线性方程,：,n,(,2,),次代数方程和超越方程。,非线性方程的特点方程根的特点：方程分类：,A Joke:“Find,x,”,I cant believe the teacher marked him wrong,he found it.,http:/haha.nu/funny/funny-math/,A Joke:“Find x”I cant believ,Another Joke:“Find,x,”,Smart enough!,http:/haha.nu/funny/funny-math/,Another Joke:“Find x”Smart en,实验6的基本内容,3.,实际问题中非线性方程的数值解,1.非线性方程,f,(,x,)=0 的数值解法:,迭代方法的基本原理;,牛顿法;拟牛顿法.,2.推广到解非线性方程组,4.,分岔和混沌现象,实验6的基本内容3.实际问题中非线性方程的数值解1.非线性方,实例,1 路灯照明,道路两侧分别安装路灯，在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？,h,2,P,2,P,1,s,h,1,如果,P,2,的高度可以在3米到9米之间变化，如何使路面上最暗点的亮度最大？,如果两只路灯的高度均可以在3米到9米之间变化呢？,s,=20(米),P,1,=2,P,2,=3(千瓦),h,1,=5,h,2,=6(米),实例1 路灯照明 道路两侧分别安装路灯，在漆黑的夜晚，当两,实例,1 路灯照明,建立坐标系如图，两个光源在点,Q,(,x,0)的照度分别为,(,k,是由量纲单位决定的比例系数，不妨记,k,=1),点,Q,的照度,x,x,2,1,O,h,2,P,2,r,1,P,1,s,r,2,h,1,y,Q,实例1 路灯照明 建立坐标系如图，两个光源在点Q(x,0),实例,1 路灯照明,为求最暗点和最亮点，先求,C,(,x,)的驻点,x,x,2,1,O,h,2,P,2,r,1,P,1,s,r,2,h,1,y,令,C,(,x,)=0：解析解难以求出，需数值求解,Q,实例1 路灯照明 为求最暗点和最亮点，先求C(x)的驻点,实例,2 均相共沸混合物的组分,均相共沸混合物（homogeneous azeotrope）,是由两种或两种以上物质组成的液体混合物，当在某种压力下被蒸馏或局部汽化时，在气体状态下和在液体状态下保持相同的组分（比例）,给定几种物质，如何确定它们构成均相共沸混合物时的比例？,设该混合物由,n,个可能的物质组成，物质,i,所占的比例为,x,i,模型建立,实例2 均相共沸混合物的组分 均相共沸混合物（homoge,实例,2 均相共沸混合物的组分,均相共沸混合物应该满足,稳定条件,，即共沸混合物的每个组分在气体和液体状态下具有相同的化学势能。在压强,P,不大的情况下，这个条件可以表示为：,P,i,是物质,i,的饱和汽相压强，与温度,T,有关，可以如下确定：,是组分,i,的液相活度系数，可以根据如下表达式确定:,(,q,ij,表示组分,i,与组分,j,的交互作用参数,，可以通过实验近似得到),(,a,i,b,i,，,c,i,是常数),实例2 均相共沸混合物的组分 均相共沸混合物应该满足稳定条,实例,2 均相共沸混合物的组分,只有当物质,i,参与到该共沸混合物中时才需要满足上式，故得到,解析解难以求出，需数值求解,实例2 均相共沸混合物的组分 只有当物质i参与到该共沸混合,根的隔离:二分法,解方程,f,(,x,)=0,第一步确定根的大致范围,图形法：作,f,(,x,),图形,观察,f,(,x,),与,x,轴的交点,非线性方程的基本解法,图形法,有4个根分别位于,x,=-1.75,-0.75,1.00，2.40附近,根的隔离:二分法解方程 f(x)=0第一步确定根的大致,二分法的,原理,二分法的实现,不足,收敛速度较慢,区间每次缩小一半，,n,足够大时，可确定根的范围,中点,非线性方程的基本解法,二分法的原理二分法的实现不足收敛速度较慢区间每次缩小一半，n,例1,存在根,非线性方程,迭代,法的基本思想,例1存在根非线性方程迭代法的基本思想,非线性方程的,迭代,法（例）,非线性方程的迭代法（例）,迭代法的,几何解释,y=,(x),x,*,x,y,y=x,0,x,1,x,0,P,0,(x,0,x,1,),x,2,P,1,(x,1,x,2,),x,3,P,2,P,3,x,y,y=x,y=,(x),0,x,*,x,0,x,1,x,2,x,3,P,0,P,1,P,3,x,k,收敛于,x,*,x,k,不收敛于,x,*,取决于曲线,(,x,),的斜率,迭代法的几何解释y=(x)x*xyy=x0 x1x0P0(x,迭代法的,收敛性,L,不易确定,放宽定理条件，缩小初值范围,迭代法的收敛性 L不易确定 放宽定理条件，缩小初值范围,迭代法的,收敛速度（收敛阶）,1阶收敛(线性收敛),迭代法的收敛速度（收敛阶）1阶收敛(线性收敛),结论：,(,x,)的构造决定收敛速度,迭代法的,收敛速度（例）,例题,结论：(x)的构造决定收敛速度迭代法的收敛速度（例）例题,牛顿切线法,牛顿切线法2阶收敛,若,x,*,为单根,x,k,x,k+1,M,N,x,O,y=f(x),y,f,(,x,k,),牛顿切线法牛顿切线法2阶收敛若x*为单根xkxk+1MNxO,牛顿,割线法,y,O,x,k+1,x,y=f(x),P,Q,x,k-1,x,k,若,x,*,为重根,牛顿切线法1阶收敛,收敛速度比牛顿切线法稍慢,重数越高，收敛越慢,牛顿yOxk+1xy=f(x)PQxk-1xk若x*为重根牛,解非线性方程组的牛顿法,解方程,f,(,x,)=0,的,牛顿切线法,推广到解方程组,解非线性方程组的牛顿法解方程 f(x)=0,解方程,f,(,x,)=0,解非线性方程组的牛顿法,解方程 f(x)=0 解非,解方程,f,(,x,)=0 的,牛顿割线法,解方程组,的拟牛顿法用,A,k,代替,F,(,x,k,）,矩阵,A,k,(,n,2,个未知数)不能由这样的,n,个方程,确定,拟牛顿法(Quasi-Newton),解方程 f(x)=0 的牛顿割线法 解方程组的拟牛顿法,MATLAB优化工具箱解非线性方程,fzero:单变量方程 f(x)=0 求根,(,变号点),最简形式 x=fzero(f,x0),可选输入:,“P1,P2,.”是传给f.m的参数(如果需要的话),opt是一个结构变量，控制参数(如精度TolX),opt可用optimset设定,不指定或指定为 时将采用缺省值,如:opt=optimset(TolX,1e-8),输出:,fv是函数值;ef是程序停止运行的原因(1,0,-1);,out是一个结构变量，包含:,iterations(迭代次数),funcCount(函数调用次数),algorithm(所用算法),一般形式 x,fv,ef,out=fzero(f,x0,opt,P1,P2,.),必须输入:,f为f.m函数名，x0是迭代初值(或有根区间),输出:,x是变号点的近似值(函数不连续时不一定是根),演示:examFzero.m,MATLAB优化工具箱解非线性方程 fzero:单变量方程,fs,olve:多变量方程组F(x)=0求解,输出,-与fzero类似,但:,out中还输出firstorderopt,即结果（x点）处梯度向量的范数(实际上是1-范数，即分量按绝对值取最大的值);,jac 输出x点所对应的雅可比矩阵,输入,-与fzero类似,但:,x0是迭代初值，,opt中控制参数更多(如MaxFunEvals,MaxIter等),x=fsolve(f,x0)最简形式,x,fv,ef,out,jac =fsolve(f,x0,opt,P1,P2,.)一般形式,注:solve函数也可求解(符号工具箱),MATLAB,优化工具箱解非线性方程组,fsolve:多变量方程组F(x)=0求解输出-,牛顿法,多项式求根,MATLAB,优化工具箱解非线性方程,牛顿法多项式求根MATLAB优化工具箱解非线性方程,function y,z=newton(fv,df,x0,n,tol),x(1)=x0;b=1;k=1;,while,or,(k=1,abs(b)tol*abs(x(k),x(k+1)=x(k)-,feval,(fv,x(k)/,feval,(df,x(k);,b=x(k+1)-x(k);,k=k+1;,if(kn),error(Error:Reached maximum iteration times);break;,end,end,y=x(k-1);,if,nargout,1,z=k-1;,end,fv,是f(x)的函数句柄，df是f(x)的函数句柄,求解,f,(,x,)=0的newton.m文件,xx,k=newton(inline(x3-2*x-5),inline(3*x2-2),0.5,100,1e-6),function y,z=newton(fv,df,x0,k,x,k,0 (1.000000,1.000000),1 (1.750000,1.250000),2 (1.589286,1.225000),3 (1.581160,1.224645),4 (1.581139,1.224745),5 (1.581139,1.224745),演示 exam0602Newton.m;exam0602Fsolve.m;exam0602Solve.m,k xk演示 exam,实例,1 路灯照明,C,(,x,)有3个驻点:(9,10)内的是最小点，0或20附近的是最大点,实例1 路灯照明 C(x)有3个驻点:(9,10)内的,实例,1 路灯照明,function y=zhaoming(x),y=2*5*x/(52+x2)(5/2)-3*6*(20-x)/(62+(20-x)2)(5/2);,x0=0,10,20;,for k=1:3,x(k)=fzero(zhaoming,x0(k);,c(k)=2*5/(52+x(k)2)(3/2)+3*6/(62+(20-x(k)2)(3/2);,end,x;c,x,0,0.02848997,9.33829914,19.97669581,20,C,(,x,),0.08197716,0.08198104,0.01824393,0.08447655,0.08447468,x,=9.3383是,C,(,x,)的最小值点，,x,=19.9767是,C,(,x,)的最大值点,实例1 路灯照明 function y=zhaoming(,实例,1 路灯照明,问题：,P,2,=3,千瓦路灯的高度在39米变化，如何使路面上最暗点的照度最大?,用fzero命令解方程，得到的结果是：,x,=9.5032，,h,2,=7.4224，,C,(,x,h,2,)=0.018556(最暗