第七节函数的单调性与曲线的凹凸性解读ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七节 函数的单调性与曲线的凹凸性,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,第七节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二,1,定理1,一、函数单调性的判定法,定理1一、函数单调性的判定法,2,证,应用拉氏定理,得,x,y,O,a,b,x,1,x,2,A,B,证应用拉氏定理,得xyOabx1x2AB,3,x,y,O,a,b,x,1,x,2,A,B,容易发现，如果 在 上可导，那么在单调区间的分界点处的导数为零，即,对可导函数，为了确定函数的单调区间，只要求出在 内的导数的零点一般称导数 在区间内部的零点为函数 的驻点,xyOabx1x2AB容易发现，如果 在,4,例1,讨论函数 的单调性,确定函数的单调区间的一般步骤：,第一步 求出函数 在考察范围 (除指定范围外，一,般是指函数的定义域)内部的全部驻点和不可导的,点（因为函数 在经过不可导点时也会改变单,调特性，如 在经过 不可导点时，由,单调减少变为单调增加）；,第二步 用这些驻点和不可导的点将 分成若干个子区间,第三步 确定 在各个子区间上的符号，从而利用定,理3.4判定函数 的单调性为了清楚，常采用列表方式,解题过程,例1 讨论函数,5,例2,讨论函数 的单调性,解题过程,例2 讨论函数,6,例3,证明当 时，,解题过程,(下面内容),函数的极值,例3 证明当 时，解题过程(下面内容,7,返回,返回,8,返回,返回,9,返回,返回,10,例4,解,单调区间为,例4解单调区间为,11,例5,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,例5证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,12,第七节函数的单调性与曲线的凹凸性解读ppt课件,13,图3-8,x,y,O,a,b,x,2,x,4,A,x,0,x,1,x,3,x,5,x,6,x,7,B,C,图3-8xyOabx2x4Ax0 x1x3x5x6x7B,14,函数的极值与最大值最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大值最小值问题,函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法二、最大值最小,15,一、函数极值及其求法,定义,一、函数极值及其求法定义,16,定理1,(必要条件),定义,注意,:,函数的极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,定理1(必要条件)定义注意:函数的极大值与极小值统称为极值,17,定理2,(第一充分条件),(是极值点情形),定理2(第一充分条件)(是极值点情形),18,证明从略,证明从略,19,求极值的步骤:,(不是极值点情形),求极值的步骤:(不是极值点情形),20,第七节函数的单调性与曲线的凹凸性解读ppt课件,21,第七节函数的单调性与曲线的凹凸性解读ppt课件,22,例4,求函数 的极值,例5,求函数 的极值,例6,求函数 的极值,例4求函数,23,(以下内容)函数的最大值与最小值,(以下内容)函数的最大值与最小值,24,二、最大值最小值问题,图3-8,x,y,O,a,b,x,2,x,4,A,x,0,x,1,x,3,x,5,x,6,x,7,B,C,二、最大值最小值问题图3-8xyOabx2x4Ax0 x1x3,25,步骤:,1.求驻点和不可导点;,注意,:,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),2,设,f,(,x,)在(,a,b,)内的驻点为,x,1,x,2,x,n,则比较,f,(,a,),f,(,x,1,),f,(,x,n,),f,(,b,)的,大小,其中最大的便是,f,(,x,)在,a,b,上的,最大值,最小的便是,f,(,x,)在,a,b,上的最小值,步骤:1.求驻点和不可导点;注意:如果区间内只有一个极值,则,26,例3,解,计算,比较得,求点,求值,比较,例3解计算比较得求点,求值,比较,27,例4 把一根直径为,d,的圆木锯成截面为矩形的梁（图317）.问矩形截面的高,h,和宽,b,应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大.,解 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题,由图317看出，b与h有下面的关系：,因而,图317,例4 把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁（图317）,28,解得,由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0，,d,）,内部取得；现在，在（0，,d,)内只有一个根,当 时，,w,的值最大，这时，,解得由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0，d）内部取,29,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,(以下内容)曲线的凹凸性与函数图形的描绘,实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;(以,30,第七节函数的单调性与曲线的凹凸性解读ppt课件,31,二、曲线的凹凸性与拐点,二、曲线的凹凸性与拐点,32,第七节函数的单调性与曲线的凹凸性解读ppt课件,33,定理2,定理2,34,注意,:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,拐点的求法,拐点的概念,例2,求曲线 的凹凸区间与拐点,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法拐点的概念,35,第七节函数的单调性与曲线的凹凸性解读ppt课件,36,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,二、曲线的凹凸性与拐点,问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方,37,定义,定义,38,定理2,定理2,39,例7,解,注意到,例7解注意到,40,注意,:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,拐点的求法,证,拐点的概念,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法证拐点的概念,41,方法1:,方法1:,42,例8,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例8解凹的凸的凹的拐点拐点,43,第七节函数的单调性与曲线的凹凸性解读ppt课件,44,方法2:,例9,解,方法2:例9解,45,注意:,注意:,46,例10,解,例10解,47,